2022年安徽省合肥二十一中学九年级数学第一学期期末检测模拟试题含解析.doc

2022-2023学年九上数学期末模拟试卷
请考生注意：
1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题(每小题3分,共30分)
1．如图，一次函数y＝ax+a和二次函数y＝ax2的大致图象在同一直角坐标系中可能的是（　　）
A． B．
C． D．
2．在一个不透明的袋子里装有6个颜色不同的球(除颜色不同外，质地、大小均相同)，其中个球为红球，个球为白球，若从该袋子里任意摸出1个球，则摸出的球是白球的概率为(　　)
A． B． C． D．
3．已知一个单位向量，设、是非零向量，那么下列等式中正确的是（ ）．
A．； B．； C．； D．．
4．如图所示是二次函数y=ax2﹣x+a2﹣1的图象，则a的值是（ ）

A．a=﹣1 B．a= C．a=1 D．a=1或a=﹣1
5．2018年某市初中学业水平实验操作考试，要求每名学生从物理、化学、生物三个学科中随机抽取一科参加测试，小华和小强都抽到物理学科的概率是（ ）．
A． B． C． D．
6．抛物线y＝﹣（x﹣）2﹣2的顶点坐标是（　　）
A．（，2） B．（﹣，2） C．（﹣，﹣2） D．（，﹣2）
7．抛物线y=(x+2)2-3的对称轴是（   ）
A．直线 x=2 B．直线x=-2 C．直线x=-3 D．直线x=3
8．把多项式分解因式，结果正确的是（　　）
A． B．
C． D．
9．抛物线y=（x﹣2）2﹣1可以由抛物线y=x2平移而得到，下列平移正确的是（　　）
A．先向左平移2个单位长度，然后向上平移1个单位长度
B．先向左平移2个单位长度，然后向下平移1个单位长度
C．先向右平移2个单位长度，然后向上平移1个单位长度
D．先向右平移2个单位长度，然后向下平移1个单位长度
10．小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．如图：一把直尺压住射线OB，另一把直尺压住射线OA并且与第一把直尺交于点P，小明说：“射线OP就是∠BOA的角平分线．”他这样做的依据是(　　)

A．角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上
B．角平分线上的点到这个角两边的距离相等
C．三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等
D．以上均不正确
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．已知关于x的分式方程有一个正数解，则k的取值范围为________.
12．在平面直角坐标系中，点（﹣3，2）关于原点对称的点的坐标是_____．
13．已知，则＝____
14．掷一个质地均匀的正方体骰子，向上一面的点数为奇数的概率是_____．
15．当﹣1≤x≤3时，二次函数y＝﹣（x﹣m）2+m2﹣1可取到的最大值为3，则m＝_____．
16．如图在Rt△OAB中∠AOB＝20°，将△OAB绕点O逆时针旋转100°得到△OA1B1，则∠A1OB＝____．

17．若扇形的圆心角为，半径为，则该扇形的弧长为__________．
18．二次函数y＝2x2﹣4x+4的图象如图所示，其对称轴与它的图象交于点P，点N是其图象上异于点P的一点，若PM⊥y轴，MN⊥x轴，则＝_____．

三、解答题(共66分)
19．（10分）二次函数的部分图象如图所示，其中图象与轴交于点与轴交于点，且经过点．

求此二次函数的解析式；
将此二次函数的解析式写成的形式，并直接写出顶点坐标以及它与轴的另一个交点的坐标．
利用以上信息解答下列问题：若关于的一元二次方程（为实数）在的范围内有解，则的取值范围是________．
20．（6分）抛物线经过点O（0，0）与点A（4，0），顶点为点P，且最小值为-1．

（1）求抛物线的表达式；
（1）过点O作PA的平行线交抛物线对称轴于点M，交抛物线于另一点N，求ON的长；
（3）抛物线上是否存在一个点E，过点E作x轴的垂线，垂足为点F，使得△EFO∽△AMN，若存在，试求出点E的坐标；若不存在请说明理由．
21．（6分）如图1，点E是正方形ABCD边CD上任意一点，以DE为边作正方形DEFG，连接BF，点M是线段BF中点，射线EM与BC交于点H，连接CM．
（1）请直接写出CM和EM的数量关系和位置关系；
（2）把图1中的正方形DEFG绕点D顺时针旋转45°，此时点F恰好落在线段CD上，如图2，其他条件不变，（1）中的结论是否成立，请说明理由；
（3）把图1中的正方形DEFG绕点D顺时针旋转90°，此时点E、G恰好分别落在线段AD、CD上，如图3，其他条件不变，（1）中的结论是否成立，请说明理由．

22．（8分）如图，一次函数的图像与反比例函数(k＞0)的图像交于A，B两点，过点A做x轴的垂线，垂足为M，△AOM面积为1.
（1）求反比例函数的解析式；
（2）在y轴上求一点P,使PA+PB的值最小，并求出其最小值和P点坐标.

23．（8分）如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD⊥CD，（点D在⊙O外）AC平分∠BAD．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若DC、AB的延长线相交于点E，且DE＝12，AD＝9，求BE的长．

24．（8分）（1）计算：
（2）解方程：
25．（10分）新春佳节，电子鞭炮因其安全、无污染开始走俏．某商店经销一种电子鞭炮，已知这种电子鞭炮的成本价为每盒80元，市场调查发现，该种电子鞭炮每天的销售量y（盒）与销售单价x（元）有如下关系：y=﹣2x+320（80≤x≤160）．设这种电子鞭炮每天的销售利润为w元．
（1）求w与x之间的函数关系式；
（2）该种电子鞭炮销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？
（3）该商店销售这种电子鞭炮要想每天获得2400元的销售利润，又想卖得快．那么销售单价应定为多少元？
26．（10分）已知抛物线经过点，，与轴交于点．

（1）求这条抛物线的解析式；
（2）如图，点是第三象限内抛物线上的一个动点，求四边形面积的最大值．

参考答案

一、选择题(每小题3分,共30分)
1、B
【分析】根据a的符号分类，当a＞0时，在A、B中判断一次函数的图象是否相符；当a＜0时，在C、D中判断一次函数的图象是否相符．
【详解】解：①当a＞0时，二次函数y＝ax2的开口向上，一次函数y＝ax+a的图象经过第一、二、三象限，A错误，B正确；
②当a＜0时，二次函数y＝ax2的开口向下，一次函数y＝ax+a的图象经过第二、三、四象限，C错误，D错误．
故选：B．
【点睛】
此题主要考查了二次函数与一次函数的图象，利用二次函数的图象和一次函数的图象的特点求解．
2、D
【分析】让白球的个数除以球的总个数即为所求的概率．
【详解】解：因为一共有6个球，白球有4个，
所以从布袋里任意摸出1个球，摸到白球的概率为：．
故选：D．
【点睛】
本题考查了概率公式，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比．
3、B
【分析】长度不为0的向量叫做非零向量，向量包括长度及方向，而长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量，注意单位向量只规定大小没规定方向，则可分析求解．
【详解】解：、左边得出的是的方向不是单位向量，故错误；
、符合向量的长度及方向，正确；
、由于单位向量只限制长度，不确定方向，故错误；
、左边得出的是的方向，右边得出的是的方向，两者方向不一定相同，故错误．
故选：．
【点睛】
本题考查了向量的性质．
4、C
【解析】由图象得，此二次函数过原点（0，0），
把点（0，0）代入函数解析式得a2-1=0，解得a=±1；
又因为此二次函数的开口向上，所以a＞0；
所以a=1．
故选C．
5、D
【分析】直接利用树状图法列举出所有的可能，进而利用概率公式求出答案．
【详解】解：如图所示：

一共有9种可能，符合题意的有1种，
故小华和小强都抽到物理学科的概率是：，
故选D.
【点睛】
此题主要考查了树状图法求概率，正确列举出所有可能是解题关键．
6、D
【分析】根据二次函数的顶点式的特征写出顶点坐标即可.
【详解】因为y＝﹣（x﹣）2﹣2是抛物线的顶点式，
根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为（，﹣2）．
故选：D．
【点睛】
此题考查的是求二次函数的顶点坐标,掌握二次函数的顶点式中的顶点坐标是解决此题的关键.
7、B
【解析】试题解析：在抛物线顶点式方程中，抛物线的对称轴方程为x=h，

∴抛物线的对称轴是直线x=-2，
故选B.
8、B
【分析】如果把乘法公式反过来，就可以把某些多项式分解因式，这种方法叫公式法．平方差公式：；完全平方公式： ；
【详解】解： ，
故选B．
【点睛】
本题考查了分解因式，熟练运用平方差公式是解题的关键
9、D
【解析】分析：抛物线平移问题可以以平移前后两个解析式的顶点坐标为基准研究．
详解：抛物线y=x2顶点为（0，0），抛物线y=（x﹣2）2﹣1的顶点为（2，﹣1），则抛物线y=x2向右平移2个单位，向下平移1个单位得到抛物线y=（x﹣2）2﹣1的图象．
故选D．
点睛：本题考查二次函数图象平移问题，解答时最简单方法是确定平移前后的抛物线顶点，从而确定平移方向．
10、A
【分析】过两把直尺的交点C作CF⊥BO与点F，由题意得CE⊥AO，因为是两把完全相同的长方形直尺，可得CE=CF，再根据角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上可得OP平分∠AOB
【详解】如图所示：过两把直尺的交点C作CF⊥BO与点F，由题意得CE⊥AO，

∵两把完全相同的长方形直尺，
∴CE=CF，
∴OP平分∠AOB（角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上），
故选A．
【点睛】
本题主要考查了基本作图，关键是掌握角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上这一判定定理．

二、填空题(每小题3分,共24分)
11、k<6且k≠1
【解析】分析：根据解分式方程的步骤，可得分式方程的解，根据分式方程的解是正数，可得不等式，解不等式，可得答案，并注意分母不分零．
详解：，
方程两边都乘以（x-1），得
x=2（x-1）+k，
解得x=6-k≠1，
关于x的方程程有一个正数解，
∴x=6-k＞0，
k＜6，且k≠1，
∴k的取值范围是k＜6且k≠1．
故答案为k＜6且k≠1．

点睛：本题主要考查了解分式方程、分式方程的解、一元一次不等式等知识，能根据已知和方程的解得出k的范围是解此题的关键．
12、（3，﹣2）
【解析】根据平面直角坐标系内两点关于原点对称横纵坐标互为相反数，即可得出答案．
【详解】解：平面直角坐标系内两点关于原点对称横纵坐标互为相反数，
∴点（﹣3，2）关于原点对称的点的坐标是（3，﹣2），
故答案为（3，﹣2）．
【点睛】
本题主要考查了平面直角坐标系内点的坐标位置关系，难度较小．
13、1
【分析】由，得a＝3b，进而即可求解．
【详解】∵，
∴a＝3b，
∴；
故答案为：1．
【点睛】
本题主要考查比例式的性质掌握比例式的内项之积等于外项之积，是解题的关键．
14、
【解析】解：掷一次骰子6个可能结果，而奇数有3个，
所以掷到上面为奇数的概率为：．
故答案为．
15、﹣1.5或1．
【分析】根据题意和二次函数的性质，利用分类讨论的方法可以求得m的值．
【详解】∵当﹣1≤x≤3时，二次函数y＝﹣(x﹣m)1+m1﹣1可取到的最大值为3，
∴当m≤﹣1时，x＝﹣1时，函数取得最大值，
即3＝﹣(﹣1﹣m)1+m1﹣1，得m＝﹣1.5；
当﹣1＜m＜3时，x＝m时，函数取得最大值，
即3＝m1﹣1，得m1＝1，m1＝﹣1（舍去）；
当m≥3时，x＝3时，函数取得最大值，
即3＝﹣(3﹣m)1+m1﹣1，得m＝（舍去）；
由上可得，m的值为﹣1.5或1，
故答案为：﹣1.5或1．
【点睛】
本题考查了二次函数的最值问题，熟练掌握二次函数的性质，分类讨论是解题的关键．
16、80°．
【分析】由将△OAB绕点O逆时针旋转100°得到△OA1B1，可求得∠A1OA的度数，继而求得答案．
【详解】∵将△OAB绕点O逆时针旋转100°得到△OA1B1，
∴∠A1OA＝100°，
∵∠AOB＝20°，
∴∠A1OB＝∠A1OA﹣∠AOB＝80°．
故答案为：80°．
【点睛】
此题考查了旋转的性质．注意找到旋转角是解此题的关键．
17、
【分析】根据弧长公式求解即可．
【详解】扇形的圆心角为，半径为，
则弧长
故答案为：．
【点睛】
本题考查了弧长计算，熟记弧长公式是解题的关键．
18、1．
【分析】根据题目中的函数解析式可得到点P的坐标，然后设出点M、点N的坐标，然后计算即可解答本题．
【详解】解：∵二次函数y＝1x1﹣4x+4＝1（x﹣1）1+1，
∴点P的坐标为（1，1），
设点M的坐标为（a，1），则点N的坐标为（a，1a1﹣4a+4），
∴＝＝＝1，
故答案为：1．
【点睛】
本题考查了二次函数与几何的问题，解题的关键是求出点P左边，设出点M、点N的坐标，表达出．

三、解答题(共66分)
19、 (1) (2)，顶点坐标为(2,-9)，B(5,0) (3)
【解析】(1)直接代入三个坐标点求解解析式；
(2)利用配方法即可；
(3)关于的一元二次方程的根，就是二次函数与的交点，据此分析t的取值范围.
【详解】解：(1)代入A、D、C三点坐标：
，解得，故函数解析式为：；
(2)，故其顶点坐标为(2,-9)，
当y=0时，，解得x=-1或5，由题意可知B(5,0)；
(3)，故当时，-9≤y＜0，故-9≤t＜0.
【点睛】
本题第3问中，要理解t是可以取到-9这个值的，只有x=-1和x=3这两个端点对应的y值是不能取的.
20、（1）抛物线的表达式为或）；（1）；（3）抛物线上存在点E，使得△EFO∽△AMN，这样的点共有1个，分别是（，）和（，）．
【分析】（1）由点O（0，0）与点A（4，0）的纵坐标相等，可知点O、A是抛物线上的一对对称点，所以对称轴为直线x=1，又因为最小值是-1，所以顶点为（1，-1），利用顶点式即可用待定系数法求解；
（1）设抛物线对称轴交轴于点D、N（,），先求出=45°，由ON∥PA，依据平行线的性质得到=45°，依据等腰直角三角形两直角边的关系可得到=，解出即可得到点N的坐标，再运用勾股定理求出ON的长度；
（3）先运用勾股定理求出AM和OM，再用ON-OM得MN，运用相似三角形的性质得到EF：FO的值，设E（，），分点E在第一象限、第二或四象限讨论，依据EF：FO=1
:1列出关于m的方程解出即可.
【详解】解：（1）∵抛物线经过点O（0，0）与点A（4，0），
∴对称轴为直线x=1，
又∵顶点为点P，且最小值为-1,，
∴顶点P（1，-1）,
∴设抛物线的表达式为
将O（0，0）坐标代入，解得
∴抛物线的表达式为，即；
（1）设抛物线对称轴交轴于点D，
∵顶点P坐标为（1，-1），
∴点D坐标为（1，0）
又∵A（4，0），
∴△ADP是以为直角的等腰直角三角形，=45°
又∵ON∥PA ，
∴=45°
∴若设点N的坐标为（,）则=
解得，
∴点N的坐标为（，）
∴
（3）抛物线上存在一个点E，使得△EFO∽△AMN，理由如下：
连接PO、AM，

∵=45°，=90°,
∴，
又∵由点D坐标为（1，0），得OD=1，
∴，
又∵=90°,由A（4，0），D（1，0）得AD=1，
∴,
同理可得,
∴,
∴AM：MN=： =1：1
∵△EFO∽△AMN
∴EF：FO=AM：MN=1：1
设点E的坐标为（，）（其中），
①当点E在第一象限时，，
解得，此时点E的坐标为（，），
②当点E在第二象限或第四象限时，，
解得，此时点E的坐标为（，）
综上所述，抛物线上存在一个点E，使得△EFO∽△AMN，这样的点共有1个，分别是（，）和（，）．
【点睛】
本题是二次函数综合题，考查了运用待定系数法求解析式，运用勾股定理求线段长度，二次函数中相似的存在性问题，解题的关键是用点的坐标求出线段长度，并根据线段之间的关系，建立方程解出得到点的坐标.
21、（1）CM=EM，CM⊥EM；（2）成立，理由见解析；（3）成立，理由见解析．
【分析】（1）延长EM交AD于H，证明△FME≌△AMH，得到HM=EM，根据等腰直角三角形的性质可得结论；
（2）根据正方形的性质得到点A、E、C在同一条直线上，根据直角三角形斜边上的中线是斜边的一半证明即可；
（3）根据题意画出完整的图形，根据平行线分线段成比例定理、等腰三角形的性质证明即可．
【详解】解：（1）如图1，结论：CM=EM，CM⊥EM．

理由：∵AD∥EF，AD∥BC，
∴BC∥EF，
∴∠EFM=∠HBM，
在△FME和△BMH中，
，
∴△FME≌△BMH，
∴HM=EM，EF=BH，
∵CD=BC，
∴CE=CH，∵∠HCE=90°，HM=EM，
∴CM=ME，CM⊥EM．
（2）如图2，连接AE，

∵四边形ABCD和四边形EDGF是正方形，
∴∠FDE=45°，∠CBD=45°，
∴点B、E、D在同一条直线上，
∵∠BCF=90°∠BEF=90°，M为AF的中点，
∴CM=AF，EM=AF，
∴CM=ME，
∵∠EFD=45°，
∴∠EFC=135°，
∵CM=FM=ME，
∴∠MCF=∠MFC，∠MFE=∠MEF，
∴∠MCF+∠MEF=135°，
∴∠CME=360°-135°-135°=90°，
∴CM⊥ME．
（3）如图3，连接CF，MG，作MN⊥CD于N，

在△EDM和△GDM中，
，
∴△EDM≌△GDM，
∴ME=MG，∠MED=∠MGD，
∵M为BF的中点，FG∥MN∥BC，
∴GN=NC，又MN⊥CD，
∴MC=MG，
∴MD=ME，∠MCG=∠MGC，
∵∠MGC+∠MGD=180°，
∴∠MCG+∠MED=180°，
∴∠CME+∠CDE=180°，
∵∠CDE=90°，
∴∠CME=90°，
∴（1）中的结论成立．
【点睛】
本题考查的是正方形的性质、全等三角形的判定定理和性质定理以及直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．
22、（1）y=；（2）最小值即为，P（0，）.
【解析】（1）根据反比例函数比例系数的几何意义得出，进而得到反比例函数的解析式；
（2）作点关于轴的对称点，连接，交轴于点，得到最小时，点的位置，根据两点间的距离公式求出最小值的长；利用待定系数法求出直线的解析式，得到它与轴的交点，即点的坐标．
【详解】（1）反比例函数的图象过点，过点作轴的垂线，垂足为，面积为1，
，
，
，
故反比例函数的解析式为：；
（2）作点关于轴的对称点，连接，交轴于点，则最小．
由，解得，或，
，，
，最小值．
设直线的解析式为，
则，解得，
直线的解析式为，
时，，
点坐标为．

【点睛】
考查的是反比例函数图象与一次函数图象的交点问题以及最短路线问题，解题的关键是确定最小时，点的位置，灵活运用数形结合思想求出有关点的坐标和图象的解析式是解题的关键．
23、（1）证明见解析；（2）BE的长是
【分析】（1）连接OC根据条件先证明OC∥AD，然后证出OC⊥CD即可；
（2）先利用勾股定理求出AE的长，再根据条件证明△ECO∽△EDA，然后利用对应边成比例求出OC的长，再根据BE=AE﹣2OC计算即可．
【详解】（1）连接OC，

∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC=∠CAB，
∵OC=OA，
∴∠OAC=∠OCA，
∴∠DAC=∠OCA，
∴OC∥AD，
∵AD⊥CD，
∴OC⊥CD，
∵OC为⊙O半径，
∴CD是⊙O的切线．
（2）在Rt△ADE中，由勾股定理得：AE==15，
∵OC∥AD，
∴△ECO∽△EDA，
∴
∴
解得：OC=，
∴BE=AE﹣2OC=15﹣2×=，
答：BE的长是．
24、（1）；（2）x 1=1，．
【分析】（1）代入特殊角的三角函数值，根据实数的运算法则计算即可；
（2）利用提公因式法解方程即可.
【详解】（1）

；
（2）
移项得：，
提公因式得：，
解得：，．
【点睛】
本题考查了特殊角的三角函数值及实数的运算、一元二次方程的解法，熟记特殊角的三角函数值，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键.
25、（1）w=﹣2x2+480x﹣25600；（2）销售单价定为120元时，每天销售利润最大，最大销售利润1元（3）销售单价应定为100元
【解析】（1）用每件的利润乘以销售量即可得到每天的销售利润，即 然后化为一般式即可；
（2）把（1）中的解析式进行配方得到顶点式然后根据二次函数的最值问题求解；
（3）求所对应的自变量的值，即解方程然后检验即可.
【详解】（1）

w与x的函数关系式为：
（2）

∴当时，w有最大值．w最大值为1．
答：销售单价定为120元时，每天销售利润最大，最大销售利润1元．
（3）当时，
解得：
∵想卖得快，
不符合题意，应舍去．
答：销售单价应定为100元．
26、（1）；（2）1
【分析】（1）将，代入抛物线中求解即可；
（2）利用分割法将四边形面积分成，假设P点坐标，四边形面积可表示为二次函数解析式，再利用二次函数的图像和性质求得最值．
【详解】解：（1）∵抛物线经过点，，
∴，解得，
∴抛物线的解析式为，
（2）如图，连接，设点，
，四边形的面积为，
由题意得点，
∴

，
∵，∴开口向下，有最大值，
∴当时，四边形的面积最大，最大值为1．

【点睛】
本题考查了待定系数法求二次函数解析式、分割法求面积、二次函数的图象及性质的应用，比较综合，是中考中的常考题型．