河南省周口市鹿邑县2022-2023学年九年级数学第一学期期末达标检测模拟试题含解析.doc

2022-2023学年九上数学期末模拟试卷
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题(每小题3分,共30分)
1．如图，内接于⊙，是⊙的直径，，点是弧上一点，连接，则的度数是（ ）

A．50° B．45° C．40° D．35°
2．已知，点是线段上的黄金分割点，且，则的长为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，点A，B是反比例函数y=（x＞0）图象上的两点，过点A，B分别作AC⊥x轴于点C，BD⊥x轴于点D，连接OA、BC，已知点C（2，0），BD=3，S△BCD=3，则S△AOC为( )

A．2 B．3 C．4 D．6
4．已知函数是反比例函数，则此反比例函数的图象在（ ）
A．第一、三象限 B．第二、四象限
C．第一、四象限 D．第二、三象限
5．如图，一艘轮船从位于灯塔C的北偏东60°方向，距离灯塔60 n mile的小岛A出发，沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔C的南偏东45°方向上的B处，这时轮船B与小岛A的距离是( )

A． n mile B．60 n mile C．120 n mile D．n mile
6．如图，将绕点，按逆时针方向旋转120°，得到（点的对应点是点，点的对应点是点），连接.若，则的度数为（ ）

A．15° B．20 ° C．30° D．45°
7．菱形的两条对角线长分别为6，8，则它的周长是（　　）
A．5 B．10 C．20 D．24
8．如图，在中，．以为直径作半圆，交于点，交于点，若，则的度数是（ ）

A． B． C． D．
9．用配方法解方程x2+2x﹣5=0时，原方程应变形为（　　）
A．（x﹣1）2=6 B．（x+1）2=6 C．（x+2）2=9 D．（x﹣2）2=9
10．函数与在同一直角坐标系中的大致图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．若，，则______.
12．一组正方形按如图所示的方式放置，其中顶点在轴上，顶点，，，，，，在轴上，已知正方形的边长为，，则正方形的边长为__________________．

13．已知正六边形的边长为4cm，分别以它的三个不相邻的顶点为圆心，边长为半径画弧（如图），则所得到的三条弧的长度之和为 cm．（结果保留π）

14．关于的方程的一个根是1，则方程的另一个根是____．
15．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件赢利40元，为了扩大销售，增加赢利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件．若商场平均每天要赢利1 200元，设每件衬衫应降价x元，则所列方程为__________________________________．（不用化简）
16．若函数是二次函数，则的值为__________．
17．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠BAC=60°,若⊙O的半径OC为2，则弦BC的长为___________．
18．在等腰△ABC中，AB＝AC＝4，BC＝6，那么cosB的值＝_____．
三、解答题(共66分)
19．（10分）在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+2nx+c的图象过坐标原点.
(1)若a=-1.
①当函数自变量的取值范围是-1≤x≤2，且n≥2时，该函数的最大值是8，求n的值;
②当函数自变量的取值范围是时，设函数图象在变化过程中最高点的纵坐标为m，求m与n的函数关系式，并写出n的取值范围;
（2）若二次函数的图象还过点A（-2，0），横、纵坐标都是整数的点叫做整点.已知点，二次函数图象与直线AB围城的区域（不含边界）为T，若区域T内恰有两个整点，直接写出a的取值范围.
20．（6分）某商店经销的某种商品，每件成本为30元.经市场调查，当售价为每件70元时，可销售20件.假设在一定范围内，售价每降低2元，销售量平均增加4件.如果降价后商店销售这批商品获利1200元，问这种商品每件售价是多少元？
21．（6分）（1）已知：如图1，为等边三角形，点为边上的一动点（点不与、重合），以为边作等边，连接.求证：①，②；

（2）如图2，在中，，，点为上的一动点（点不与、重合），以为边作等腰，（顶点、、按逆时针方向排列），连接，类比题（1），请你猜想：①的度数；②线段、、之间的关系，并说明理由；
（3）如图3，在（2）的条件下，若点在的延长线上运动，以为边作等腰，（顶点、、按逆时针方向排列），连接.
①则题（2）的结论还成立吗？请直接写出，不需论证；
②连结，若，，直接写出的长.
22．（8分）某班“数学兴趣小组”对函数的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整.
（1）自变量的取值范围是全体实数，与的几组对应值列表如下：其中， .

……

0
1
2

3
……

……
3

0

0

3
……
（2）根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，已画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分；
（3）观察函数图象，写出一条函数的性质： ；
（4）观察函数图象发现：若关于的方程有4个实数根，则的取值范围是 .

23．（8分）（1）计算：
（2），求的度数
24．（8分）在一个不透明的小布袋中装有4个质地、大小完全相同的小球，它们分别标有数字0，1，2，3，小明从布袋里随机摸出一个小球，记下数字为，小红在剩下的3个小球中随机摸出一个小球，记下数字为，这样确定了点的坐标．
1）画树状图或列表，写出点所有可能的坐标；
（2）小明和小红约定做一个游戏，其规则为：若在第一象限，则小明胜；否则，小红胜；这个游戏公平吗？请你作出判断并说明理由．
25．（10分）如图，在直角坐标系中，矩形的顶点、分别在轴和轴正半轴上，点的坐标是，点是边上一动点（不与点、点重合），连结、，过点作射线交的延长线于点，交边于点，且，令，.

（1）当为何值时，？
（2）求与的函数关系式，并写出的取值范围；
（3）在点的运动过程中，是否存在，使的面积与的面积之和等于的面积.若存在，请求的值；若不存在，请说明理由.
26．（10分）如图，已知一次函数分别交、轴于、两点，抛物线经过、两点，与轴的另一交点为．
（1）求、的值及点的坐标；
（2）动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度向点运动，过作轴的垂线交抛物线于点，交线段于点．设运动时间为秒．
①当为何值时，线段长度最大，最大值是多少？（如图1）
②过点作，垂足为，连结，若与相似，求的值（如图2）

参考答案

一、选择题(每小题3分,共30分)
1、A
【分析】根据直径所对的圆周角是直角可知∠ABC=90°，计算出∠BAC的度数，再根据同弧所对的圆周角相等即可得出∠D的度数．
【详解】解：∵是⊙的直径，
∴∠ABC=90°，
又∵，
∴∠BAC=90°-40°=50°，
又∵∠BAC与所对的弧相等，
∴∠D=∠BAC=50°，
故答案为A．
【点睛】
本题考查了直径所对的圆周角是直角、同弧所对圆周角相等等知识点，解题的关键是熟知直径所对的圆周角是直角及同弧所对圆周角相等．
2、A
【分析】根据黄金分割点的定义和得出，代入数据即可得出AP的长度．
【详解】解：由于P为线段AB＝2的黄金分割点，且，
则．
故选：A．
【点睛】
本题考查了黄金分割．应该识记黄金分割的公式：较短的线段＝原线段的，较长的线段＝原线段的．
3、D
【分析】先求CD长度，再求点B坐标，再求函数解析式，可求得面积.
【详解】因为，BD=3，S△BCD==3，
所以，,
解得，CD=2，
因为，C(2，0)
所以，OD=4，
所以，B（4，3）
把B(4，3)代入y=，得k=12,
所以，y=
所以，S△AOC=
故选D
【点睛】
本题考核知识点：反比例函数. 解题关键点：熟记反比例函数性质.
4、A
【分析】首先根据反比例函数的定义，即可得出，进而得出反比例函数解析式，然后根据其性质，即可判定其所在的象限.
【详解】根据已知条件,得
即
∴函数解析式为
∴此反比例函数的图象在第一、三象限
故答案为A.
【点睛】
此题主要考查反比例函数的性质，熟练掌握，即可解题.
5、D
【分析】过点C作CD⊥AB，则在Rt△ACD中易得AD的长，再在直角△BCD中求出BD，相加可得AB的长．
【详解】过C作CD⊥AB于D点，

∴∠ACD=30°，∠BCD=45°，AC=1．
在Rt△ACD中，cos∠ACD=，
∴CD=AC•cos∠ACD=1×．
在Rt△DCB中，∵∠BCD=∠B=45°，
∴CD=BD=30，
∴AB=AD+BD=30+30．
答：此时轮船所在的B处与灯塔P的距离是（30+30）nmile．
故选D．
【点睛】
此题主要考查了解直角三角形的应用-方向角问题，求三角形的边或高的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．
6、C
【分析】根据旋转的性质得到∠BAB′=∠CAC′=120°，AB=AB′，根据等腰三角形的性质易得∠AB′B=30°，再根据平行线的性质即可得∠C′AB′=∠AB′B=30°．
【详解】解：∵将△ABC绕点A按逆时针方向旋转l20°得到△AB′C′，
∴∠BAB′=∠CAC′=120°，AB=AB′，
∴∠AB′B=（180°-120°）=30°，
∵AC′∥BB′，
∴∠C′AB′=∠AB′B=30°，
∴∠CAB=∠C′AB′=30°，
故选：C．
【点睛】
本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．
7、C
【分析】根据菱形的对角线互相垂直且平分这一性质解题即可.
【详解】解：∵菱形的对角线互相垂直且平分,
∴勾股定理求出菱形的边长=5,
∴菱形的周长=20,
故选C.
【点睛】
本题考查了菱形对角线的性质,属于简单题,熟悉概念是解题关键.
8、A
【分析】连接BE、AD，根据直径得出∠BEA=∠ADB=90°，求出∠ABE、∠DAB、∠DAC的度数，根据圆周角定理求出即可．
【详解】解：连接BE、AD，

∵AB是圆的直径，
∴∠ADB=∠AEB=90°，
∴AD⊥BC，
∵AB=AC，∠C=70°，
∴∠ABD=∠C=70°.∠BAC=2∠BAD
∴.∠BAC=2∠BAD=2 （90°-70°）=40°，
∵∠BAC+=90°
∴=50°．
故选A.
【点睛】
本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质等知识，准确作出辅助线是解题的关键.
9、B
【解析】x2+2x﹣5=0，
x2+2x=5，
x2+2x+1=5+1，
（x+1）2=6，
故选B.
10、B
【分析】分a>0与a<0两种情况分类讨论即可确定正确的选项.
【详解】解：当a>o时，函数的图象位于一、三象限，的开口向下，交y轴的负半轴，选项B符合；
当a点是反比例函数的图象与二次函数的图象，理解掌握函数图象的性质是解此题的关键.

二、填空题(每小题3分,共24分)
11、28
【分析】先根据完全平方公式把变形，然后把，代入计算即可.
【详解】∵，，
∴(a+b)2-2ab=36-8=28.
故答案为：28.
【点睛】
本题考查了完全平方公式的变形求值，熟练掌握完全平方公式(a±b)2=a2±2ab+b2是解答本题的关键.
12、
【分析】由正方形的边长为，，，得D1E1=B2E2，D2E3=B3E4，∠D1C1E1=∠C2B2E2=∠C3B3E4=30°，根据三角函数的定义和正方形的性质，即可得到答案．
【详解】∵正方形的边长为，，，
∴D1E1=B2E2，D2E3=B3E4，∠D1C1E1=∠C2B2E2=∠C3B3E4=30°，
∴D1E1=C1D1=，B2C2==，
同理可得：B3C3= ，
以此类推：正方形的边长为：，
∴正方形的边长为：．
故答案是：．
【点睛】
本题主要考查正方形的性质和三角函数的定义综合，掌握用三角函数的定义解直角三角形，是解题的关键．
13、8π
【解析】试题分析：先求得正多边形的每一个内角，然后由弧长计算公式．
解：方法一：
先求出正六边形的每一个内角==120°，
所得到的三条弧的长度之和=3×=8π（cm）；
方法二：先求出正六边形的每一个外角为60°，
得正六边形的每一个内角120°，
每条弧的度数为120°，
三条弧可拼成一整圆，其三条弧的长度之和为8πcm．
故答案为8π．
考点：弧长的计算；正多边形和圆．
14、
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系求解即可．
【详解】设方程的另一个根为x1，
∵方程的一个根是1，
∴x1·1=1，即x1=1，
故答案为：1．
【点睛】
本题主要考查一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理），掌握知识点是解题关键．
15、 (40-x)(2x+20)=1200
【解析】试题解析：每件衬衫的利润：
销售量：
方程为：
故答案为：
点睛：这个题目属于一元二次方程的实际应用，利用销售量每件利润=总利润，列出方程即可.
16、-1
【分析】直接利用二次函数的定义分析得出答案．
【详解】解：∵函数是二次函数，
∴m1+m=1，且m-1≠0，
∴m=−1．
故答案为-1．
【点睛】
此题主要考查了二次函数的定义，正确把握二次函数的次数与系数的值是解题关键．
17、.
【解析】⊙O是△ABC的外接圆，∠BAC=60°，；因为OB、OC是⊙O的半径，所以OB=OC，所以=，在中，若⊙O的半径OC为2，OB=OC=2，在中，BC="2"=
【点睛】
本题考查圆周角与圆心角、弦心距，要求考生熟悉圆周角与圆心角的关系，会求弦心距和弦长

18、
【解析】作AD⊥BC于D点，根据等腰三角形的性质得到BD＝BC＝3，然后根据余弦的定义求解．
【详解】解：如图，作AD⊥BC于D点，

∵AB＝AC＝4，BC＝6，
∴BD＝BC＝3，
在Rt△ABD中，cosB＝＝．
故答案为．
【点睛】
本题考查了锐角三角函数的定义：在直角三角形中，一锐角的余弦值等于这个角的邻边与斜边的比．也考查了等腰三角形的性质．

三、解答题(共66分)
19、 (1) ①n=1;② （2）
【分析】（1）①根据已知条件可确定抛物线图象的基本特征，从而列出关于的方程，即可得解；②根据二次函数图象的性质分三种情况进行分类讨论，从而得到与的分段函数关系；
（2）由得正负进行分类讨论，结合已知条件求得的取值范围．
【详解】解：(1) ∵抛物线过坐标原点
∴c=0，a=-1
∴y=-x2+2nx
∴抛物线的对称轴为直线x=n，且n≥2，抛物线开口向下
∴当-1≤x≤2时，y随x的增大而增大
∴当x=2时，函数的最大值为8
∴-4+4n=8
∴n=1．
②若
则
∴抛物线开口向下，在对称轴右侧，随的增大而减小
∴当时，函数值最大，；
若
则
∴此时，抛物线的顶点为最高点
∴；
若
则
∴抛物线开口向下，在对称轴左侧，随的增大而增大
∴当时，函数值最大，
∴综上所述：
（2）结论：或
证明：∵过
∴
∴
①
∵若，直线的解析式为，抛物线的对称轴为直线
∴顶点为，对称轴与直线交点坐标为
∴两个整点为，
∵不含边界
∴
∴
②
∵若，区域内已经确定有两个整点，
∴在第三项象限和第一象限的区域内都要确保没有整点
∴
∴
∵当时，直线上的点的纵坐标为，抛物线上的点的纵坐标为
∴
∴
∴
故答案为：（1）①；②（2）或
【点睛】
本题属于二次函数的综合创新题目，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键，注意分类讨论思想方法的应用．
20、每件商品售价60元或50元时，该商店销售利润达到1200元.
【分析】根据题意得出，(售价-成本)(原来的销量+2降低的价格)=1200，据此列方程求解即可.
【详解】解：设每件商品应降价元时，该商店销售利润为1200元.
根据题意，得
整理得：，
解这个方程得：，.
所以，或50
答：每件商品售价60元或50元时，该商店销售利润达到1200元.
【点睛】
本题考查的知识点是生活中常见的商品打折销售问题，弄清题目中的关键概念，找出题目中隐含的等量关系式是解决问题的关键.
21、（1）①见解析；②∠DCE＝110°；（1）∠DCE＝90°, BD1+CD1＝DE1．证明见解析；（3）①（1）中的结论还成立，②AE＝.
【分析】（1）①根据等边三角形的性质就可以得出∠BAC=∠DAE=60°，AB=BC=AC，AD=DE=AE，进而就可以得出△ABD≌△ACE，即可得出结论；②由△ABD≌△ACE，以及等边三角形的性质，就可以得出∠DCE＝110°；
（1）先判定△ABD≌△ACE（SAS），得出∠B=∠ACE=45°，BD=CE，在Rt△DCE中，根据勾股定理得出CE1+CD1=DE1，即可得到BD1+CD1=DE1；
（3）①运用（1）中的方法得出BD1+CD1=DE1；②根据Rt△BCE中，BE=10，BC=6，求得进而得出CD=8-6=1，在Rt△DCE中，求得最后根据△ADE是等腰直角三角形，即可得出AE的长．
【详解】（1）①如图1，∵△ABC和△ADE是等边三角形，
∴AB＝AC，AD＝AE，∠ ACB＝∠B＝ 60°，
∠BAC＝∠DAE＝60°，
∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，
∴∠BAD＝∠EAC．
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD＝CE；
②∵△ABD≌△ACE ,
∠ACE＝∠B＝60°,
∴∠DCE＝∠ACE +∠ACB＝60°+60°＝110°；
（1）∠DCE＝90°, BD1+CD1＝DE1．
证明：如图1，∵∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，
即∠BAD＝∠CAE，
在△ABD与△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠B＝∠ACE＝45°，BD＝CE，
∴∠B+∠ACB＝∠ACE+∠ACB＝90°，
∴∠BCE＝90°，
∴Rt△DCE中，CE1+CD1＝DE1，
∴BD1+CD1＝DE1；
（3）①（1）中的结论还成立．
理由：如图3，∵∠BAC=∠DAE=90°，
∴∠BAC+∠DAC=∠DAE+∠DAC，
即∠BAD=∠CAE，
在△ABD与△ACE中，

∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠ABC=∠ACE=45°，BD=CE，
∴∠ABC+∠ACB=∠ACE+∠ACB=90°，
∴∠BCE=90°=∠ECD，
∴Rt△DCE中，CE1+CD1=DE1，
∴BD1+CD1=DE1；
②∵Rt△BCE中，BE=10，BC=6，

∴BD=CE=8，
∴CD=8-6=1，
∴Rt△DCE中，

∵△ADE是等腰直角三角形，

【点睛】
本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质以及勾股定理的综合应用，解决问题的关键是掌握全等三角形的对应边相等，对应角相等．解题时注意：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
22、（1）1；（2）图见解析；（3）图象关于轴对称（或函数有最小值，答案不唯一）；（4）.
【分析】（1）把x=-2代入函数解释式即可得m的值；
（2）描点、连线即可得到函数的图象；
（3）根据函数图象得到函数y=x2-2|x|的图象关于y轴对称；当x>1时，y随x的增大而增大；
（4）根据函数的图象即可得到a的取值范围-1a<1，
故答案为： −11）利用列表法或画树状图可得出所有可能的结果；
（2）利用概率公式计算出小明胜的概率，小红胜的概率，从而可判断这个游戏的公平性．
【详解】解：（1）点的坐标共12个，如下表：

0
1
2
3
0
\

1

\

2

\

3

\
（2）游戏公平，理由如下：
由列表可知，点M在第一象限共有6种情况，∴小明获胜的概率为：，
点M不在第一象限共有6种情况，∴小红获胜的概率为：．
∴两人获胜的概率相等，故这个游戏是公平的．
【点睛】
本题考查了游戏的公平性：判断游戏公平性需要先计算每个事件的概率，然后比较概率的大小概率相等就公平，否则就不公平．同时也考查了列表法与画树状图法．
25、（1）当时，；（2）（）；（3）存在，.
【分析】（1）由题意可知，当OP⊥AP时，∽，∴，即，于是解得x值；（2）根据已知条件利用两角对应相等两个三角形相似，证明三角形OCM和三角形PCO相似,得出对应边成比例即可得出结论；（3）假设存在x符合题意. 过作于点，交于点，由与面积之和等于的面积，∴.然后求出ED，EF的长，再根据三角形相似：∽，求出MP的长，进而由上题的关系式求出符合条件的x.
【详解】解：（1）证明三角形OPC和三角形PAB相似是解决问题的关键，由题意知，
，BC∥OA,
∵，
∴.
∴.

∴∽,
∴，即，解得（不合题意,舍去）.
∴当时，；
(2)由题意可知，∥，
∴.
∵（已知），
∴.
∵，
∴∽，
∴对应边成比例：，即.
∴，因为点是边上一动点（不与点、点重合），且满足∽，
所以的取值范围是.
（3）假设存在符合题意. 如图所示，过作于点，交于点， 则.
∵与面积之和等于的面积，
∴.
∴.
∵∥，
∴∽.
∴. 即，解得.
由（2）得，所以.
解得（不合题意舍去）.
∴在点的运动过程中存在x,，使与面积之和等于的面积，此时.

【点睛】
1.相似三角形的判定与性质；2.矩形性质.
26、（1）2，3，2）①时，长度最大，最大值为；②或
【解析】（1）先求得坐标，把代入中，利用待定系数法求得系数得出解析式，进一步求解点坐标即可；
（2）①由题知、;将函数化为顶点式，即可得到最大值．）②将BF、DF用含有t的代数式表示，分类讨论当相似，则，即：,求得t，当相似，则，即：,求得t即可．
【详解】解：（1）在中令,得，令,得，
∴，把代入中，得：，解得，
∴抛物线的解析式为，
∴点坐标为；
（2）①由题知、；
∴
∴当时，长度最大，最大值为．
②∵，
∴，
∴，
在中，，；在中，，；
∴
若相似，则，即：，
解得：（舍去），；
若相似，则，即：,解得：（舍去），；综上，或时，与相似．
【点睛】
本题考查了二次函数的综合运用以及相似三角形性质．求出二次函数解析式，研究二次函数的顶点坐标及相关图形的特点，是解题的关键．