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初一数学寒假专题精讲教材大纲课次十节、专题九讲中考专题精讲第一讲 数系（一）有理数及其运算 第二讲 数与式（一）代数式初步第三讲 平面几何基本元素（一）线段与角第四讲 方程思想（一）一元一次方程第五讲 方程思想（二）一元一次方程应用下册衔接预科第六讲 代数式中的君子第七讲 线与角的亲密关系第八讲 图形中的王者第九讲 x与y的故事第一讲 中考专题精讲之数系（一） 有理数及其运算 一 概念与意义1.有理数的分类 正整数 正分数有理数 0 负整数 负分数 正整数 整数 0有理数 负整数 正分数 负分数正数分数 负数 其中分数包括有限小数和无限循环小数2.数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴（画数轴时，要注意上述规定的三要素缺一不可）。任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示。解题时要真正掌握数形结合的思想，并能灵活运用。3.相反数：（1） 几何意义：在数轴上分别位于原点的两旁，到原点的距离相等的两个点所表示的数， 叫做互为相反数；（2） 代数意义：符号不同但绝对值相等的两个数叫做互为相反数。0的相反数是0。4.绝对值：（1） 几何意义：数轴上表示a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作|a|；（2） 代数意义：一个正数的绝对值是它的本身；一个负数的绝对值是它的相反数；零的绝对值是零。5.倒数： 如果a与b互为倒数，则有ab=1，反之亦成立。倒数等于本身的数是1和-1。零没有倒数。6.有理数比较大小：正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数； 数轴上的两个点所表示的数，右边的总比左边的大； 两个负数，绝对值大的反而小。7.有理数的运算：（1）五种运算：加、减、乘、除、乘方 （2）有理数的运算顺序 先算乘方，再算乘除，最后算加减，如果有括号，先算括号里面的。（3）运算律 加法交换律 加法结合律 乘法交换律 乘法结合律 乘法对加法的分配律 二、 教与学类型一.关于有理数的相关概念1.已知a,b互为相反数，c，d互为倒数，m的绝对值是1，求的值。1、如果那么代数式在的最小值是（ ） A.30 B.0 C.15 D.一个与有关的代数式、2、两个非零有理数的和为正数，那么这两个有理数为（ ）（A）都是正数 （B）至少有一个为正数 （C）正数大于负数 （D）正数大于负数的绝对值，或都为正数。3、 如果有理数，则（ ） A.当为偶数时， B.当为奇数时， C.当为任意数时， D.以上说法都不对4、有下列四个结论：存在最小的正整数；存在绝对值最小的有理数；存在最小的有理数；存在绝对值最小的负整数其中正确的结论有（ ）A、0个B、1个C、2个D、3个5、若，则的值为（ ）ABC0D46、已知0, 则xy=_类型二.关于有理数大小比较2.已知有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，且。（1）求的值；（2）求的值；（3）判断的符号；（4）化简。、8、不相等的有理数、在数轴上对应点分别为A、B、C，若，那么点B（ ） A.在A、C点右边 B.在A、C点左边 C.在A、C点之间 D.以上均有可能9、已知a,b两数在数轴上对应的点如图所示，下列结论正确的是（ ） A. abB. ab”、“”、“”、“” 代数式的规范写法（1）通常写作或； （2）通常写作；（3）数字通常写在字母前面，如通常写作；（4）带分数一般写成假分数如：通常写作。2、同类项 所有字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的项叫做同类项。几个常数项也是同类项。3、合并同类项法则：把同类项的系数相加，字母和字母的指数不变。4、去括号法则 （1）括号前是“+”，把括号和它前面的“+”号去掉后，原括号里各项的符号都不改变。 （2）括号前是“”，把括号和它前面的“”号去掉后，原括号里各项的符号都要改变。5、整式的运算： 整式的加减法：（1）去括号；（2）合并同类项。二、 教与学类型一.与概念有关的问题1.若7xm+2y与-3x3yn是同类项，则 。1、有下列代数式：；其中符合书写要求的有（ ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个2、 五个连续奇数中最大的一个数是，那么这五个数的和是 。3、已知：a0,且|a|b|, 则|b+1|ab|等于( ) A、2ba+1 B.1+a C.a1 D.1a4、 已知：与（是正整数）可以合并成一项，那么 。类型二.代数式求值2.三个数、的积为负数，和为正数，且，则的值是 。5、已知，求 的值是 。6、已知代数式，当时， 值为1，那么当时，该代数式的值是 。7、如果对于某一特定范围内的任意允许值，的值恒为一常数，则此值为 。8、已知多项式中，、为常数，当时，多项式的值是1；当时，多项式的值为2；若当是8和5时，多项式的值分别为M与N，求M与N的值。类型三.列代数式解应用题3.某地电话拨号上网有两种方式，用户可以任选其一：（A）计时制：0.05元/分；（B）包月制：50元/月(限一部个人住宅电话上网)。 此外，每一种上网方式都得加收通信费0.02元/分。（1）某用户某月上网的时间为x小时，请你分别写出两种收费方式下该用户应该支付的费用； （2）若某用户估计一个月内上网的时间为20时，你认为采用哪种方式较好？9、已知甲、乙两种糖果的单价分别为x元/千克，12元/千克；为了使甲、乙两种糖果分别销售与把它们混合成什锦糖果后再销售，收入保持不变，则20千克甲糖果和y千克乙糖果混合而成的什锦糖果的单价应是 元/千克.10、某空调器销售商，今年四月份销出空调台，五月份销售空调比四月份的2倍少1台，六月份销售空调比前两个月的总和的4倍还多5台（1）用代数式表示该销售商今年第二季度共销售空调多少台？（2）若a=220，求第二季度销售的空调总数 11、用字母表示图中阴影部分的面积：类型四,探索规律4.在长为m，宽为m的一块草坪上修了一条1m宽的笔直小路，则余下草坪的面积可表示为 ；现为了增加美感，把这条小路改为宽恒为1m的弯曲小路（如图），则此时余下草坪的面积为 。12、观察下列各式：根据前面各式的规律填空：13、用火柴棒按下图的方式搭三角形。（1） （2） （3） （4） 照这样搭下去 （1）搭5个这样的三角形要用多少根火柴棒？ （2）搭n个这样的三角形要用多少根火柴棒？（用含有n的代数式表示）14、观察下列各式，你会发现什么规律？ 35=421， 57=621， 1113=1221， 你能从中猜想到什么规律，用含有字母n的式子表示出来。15、如图所示，边长为c的大正方形是由四个直角三角形和一个小正方形拼成的，其中每个 直角三角形的两条直角边分别为a、b（ba），请你用两种方法表示大正方形的面积。三、作业1、已知：,求的值。 （6分）2、树的高度与树生长的年数有关，测得某棵树的有关数据如下表：（树苗原高100厘米）年数1234高度h(单位：cm)115130145 （1）填出第4年树苗可能达到的高度； （2）请用含a的代数式表示高度h：_ （3）用你得到的代数式求生长了10年后的树苗可能达到的高度。3、某城市大剧院地面的一部分为扇形，观众席的座位按下列方式设置：排数1234座位数50535659 按这种方式排下去， （1）第5、6排各有多少个座位？ （2）第n排有多少个座位？ （3）在（2）的代数式中，当第n排为28时，有多少个座位？4、某学校有宿舍x间，若每8人住一间，则只有一间住不满，不满的房间住6人。1）用含x的代数式表示学校住校学生的人数；2）如果学校有15间宿舍，那么住校的学生有多少？5、你能很快计算出吗？为了解决这个问题，我们来考察个位为5的自然数的平方，任意一个个位为5的自然数都可以写成10n+5的形式，于是原题即求的值。N为自然数，分析n=1,n=2,n=3,这些简单情况，从中探索其规律，并归纳、猜想出结论。（1）通过计算、探索规律： = = = （2）从（1）小题的结果，归纳、猜想得：= （3）根据上面的归纳、猜想，请计算出= 第三讲 中考专题精讲之平面几何基本元素（一） 线段与角一、知识要点归纳1、几何图形从实物中抽象出来的各种图形，包括立体图形和平面图形。立体图形：有些几何图形的各个部分不都在同一平面内，它们是立体图形。平面图形：有些几何图形的各个部分都在同一平面内，它们是平面图形。2、点、线、面、体（1）几何图形的组成点：线和线相交的地方是点，它是几何图形中最基本的图形。线：面和面相交的地方是线，分为直线和曲线。面：包围着体的是面，分为平面和曲面。体：几何体也简称体。（2）点动成线，线动成面，面动成体。3、生活中的立体图形 圆柱柱生活中的立体图形 球 棱柱：三棱柱、四棱柱（长方体、正方体）、五棱柱、(按名称分) 锥 圆锥棱锥4、棱柱及其有关概念：棱：在棱柱中，任何相邻两个面的交线，都叫做棱。侧棱：相邻两个侧面的交线叫做侧棱。n棱柱有两个底面，n个侧面，共（n+2）个面；3n条棱，n条侧棱；2n个顶点。5、正方体的平面展开图：11种6、截一个正方体：用一个平面去截一个正方体，截出的面可能是三角形，四边形，五边形，六边形。7、三视图物体的三视图指主视图、俯视图、左视图。主视图：从正面看到的图，叫做主视图。左视图：从左面看到的图，叫做左视图。俯视图：从上面看到的图，叫做俯视图。二、题类与技巧（1）立体图形的展开与折叠例1、下图右边四个图形中是左边展形图的立体图的是( ) A B C D1、如图是一多面体的展开图，每个面内都标注了字母，请根据要求回答问题（1）如果面A在多面体的底部，那么哪一面会在上面？（2）如果面F在前面，从左面看是面B，那么哪一面会在上面？（3）从右面看是面C，面D在后面，那么哪一面会在上面？（2）由三视图到立体图形例1、在一仓库里堆放着若干个相同的正方体货箱，仓库管理员将这堆货箱的三视图画了出来如图所示，则这堆正方体货箱共有（ ）A9箱B10箱C11箱D12箱3、下图是由几个小立方块所搭建的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置小立方块的个数。请画出这个几何体的主视图和左视图 专题二 平面几何一、知识要点归纳1、概念线段：直线上的一段叫做线段，线段有两个端点。射线：将线段向一个方向无限延长就形成了射线。射线有一个端点。直线：将线段向两个方向无限延长就形成了直线。直线没有端点。2、点和直线的位置关系有两种：点在直线上，或者说直线经过这个点。点在直线外，或者说直线不经过这个点。3、直线的性质（1）直线公理：经过两个点有且只有一条直线。（2）过一点的直线有无数条。（3）直线是是向两方面无限延伸的，无端点，不可度量，不能比较大小。（4）直线上有无穷多个点。（5）两条不同的直线至多有一个公共点。4、线段的性质（1）线段公理：两点之间的所有连线中，线段最短。（2）两点之间的距离：两点之间线段的长度，叫做这两点之间的距离。（3）线段的中点到两端点的距离相等。（4）线段的大小关系和它们的长度的大小关系是一致的。5、直线、射线和线段的区别与联系（这是重点）名称内容直线射线线段定义原始无定义，只给人以很直的感觉直线上一点和它一旁的部分直线上两个点和它们之间的部分图形和表示方法图形表示方法直线AB（直线BA）直线l射线OA射线l线段AB（线段BA）线段a端点个数没有有且只有一个两个延伸方向向两方无限延伸只能向一方无限延伸不能向任何一方延伸度量无长短，不能度量无长短，不能度量有长短，能度量有关性质公理两点确定一条直线无两点之间，线段最短6、线段的中点对于线段的中点，应注意两点：第一，线段的中点必须在线段上；第二，这个点必须是将原线段二等分，可见，线段的中点有且只有一个. 这两层意义缺一不可. 如果点C是线段AB的中点，则有如下的线段之间的关系. （1）；（2）AB=2AC=2BC. 7、角：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，两条射线的公共端点叫做这个角的顶点，这两条射线叫做这个角的边。或：角也可以看成是一条射线绕着它的端点旋转而成的。8、角的度量角的度量有如下规定：把一个平角180等分，每一份就是1度的角，单位是度，用“”表示，1度记作“1”，n度记作“n”。把1的角60等分，每一份叫做1分的角，1分记作“1”。把1 的角60等分，每一份叫做1秒的角，1秒记作“1”。1=60，1=60”9、角的比较方法（1）度量法：用量角器直接测量出结果并进行比较. （2）重合法两个角比较大小时，将两个角的顶点及一条边重合，另一条边在重合边的同侧，根据第二条边的位置确定角的大小. AOBCOD AOBCOD AOBCOD10、角的平分线及画法从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线。OC是AOB的平分线AOCCOBAOBAOB2AOC2COB 11、平行线公理及其推论平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。推论：如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。补充平行线的判定方法：（1）平行于同一条直线的两直线平行。（2）在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行。（3）平行线的定义。12、垂直的定义及性质：两条直线相交成直角，就说这两条直线互相垂直。其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。直线AB，CD互相垂直，记作“ABCD”（或“CDAB”)，读作“AB垂直于CD”（或“CD垂直于AB”）。性质1：平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。性质2：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短。简称：垂线段最短。13、点到直线的距离：过A点作l的垂线，垂足为B点，线段AB的长度叫做点A到直线l的距离。 14、同一平面内，两条直线的位置关系：相交或平行。二、题类与技巧（1）直线、射线和线段的概念及性质例1、如图，能用字母表示的直线、射线、线段各有哪几条？ 例2、 已知平面内的四个点A、B、C、D，过其中两个点画直线可以画出几条？1、如图，图中有_条线段，它们是_图中以A点为端点的射线有_条，它们是_图中有_条直线，它们是_2、在同一平面内，三条直线两两相交，最多有3个交点，那么4条直线两两相交，最多有 个交点，8条直线两两相交，最多有 个交点。（2）线段的比较及性质例1、已知A，B，C为直线l上的三点，线段AB9cm，BC1cm，那A，C两点间的距离是 。例2、已知线段AB10cm，APBP20cm下列说法正确的是( )(A)点P不能在直线AB上(B)点P只能在直线AB上(C)点P只能在线段AB的延长线上(D)点P不能在线段AB上例3、 如图，某汽车公司营运的公路AB段有四个车站依次为A、C、D、B，ACCDDB，现想在AB段建一个加油站M，要使A、B、C、D站的各辆汽车到加油站所花费的总时间最少，试找出M的位置。3、能判定A，B，C三点共线的是( )(A)AB3，BC4，AC6(B)AB13，BC6，AC7(C)AB4，BC4，AC4(D)AB3，BC4，AC5A4、如图所示，设A，B，C，D为四个居民小区，现要在四边形ABCD内建一个乳品代销点，请你在图中画出当乳品代销点在何处时，才能使A,B,C,D四个居民小区到乳品代销点的距离之和最小？并说明你的想法。B CD （3）线段的中点问题例1、如图，延长线段AB到C，使D为AC的中点，DC2，求AB的长例2、已知：如图，点C在线段AB上，点M、N分别是AC、BC的中点(1)若线段AC6，BC4，求线段MN的长度；(2)若ABa，求线段MN的长度；(3)若将(1)小题中“点C在线段AB上”改为“点C在直线AB上”，(1)小题的结果会有变化吗?求出MN的长度 例3、AB、AC是同一条直线上的两条线段，M是线段AB的中点，N是线段AC的中点，线段BC与MN的大小有什么关系？请说明理由。5、已知A、B、C三点在同一条直线上，M、N分别为线段AB、BC的中点，且AB=60，BC=40，则MN的长为 。6、如下图，线段AB=a，C为AB上一点，M为AB中点，MC=b，N为AC中点，求MN的长. （4）角的度量例1、图中共有_个小于平角的角，它们分别是_，其中以D为顶点的小于平角的角有_个 例2、已知：如图，AOB是直线，123132，求DOB的度数 例3、如图，PQ是一条线段，有一只蚂蚁从点C出发，按顺时针方向沿着图中实线爬行，最后又回到点C，则蚂蚁共转了_的角 例4、计算（1）3607(精确到1) （2）32162547825（3）180375493.157、如图，下列表示角的方法，错误的是（ ）A. 1与AOB表示同一个角； B. AOC也可用O来表示C. 图中共有三个角：AOB、AOC、BOC； D. 表示的是BOC8、如图，(1)中有_个角，(2)中有_个角；(3)中有_个角以此类推，若一个角内有n条射线，则可有_个角9、计算：（1）1804642； （2）2836+7224； （3）50243； （4）4928524.（5）角的比较与运算例1、已知：AOB31.5，BOC24.3，求AOC的度数例2、如图，从O点引四条射线OA、OB、OC、OD，若AOB，BOC，COD，DOA度数之比为1234(1)求BOC的度数(2)若OE平分BOC，OF、OG三等分COD，求EOG例3、如图所示，将书页斜折过去，使角的顶点A落在处，BC为折痕，BD平分，求的度数 DEBCA例4、如图，AOB的平分线为OM，ON为MOA内的一条射线，OG为AOB外的一条射线，某同学经过认真的分析，得出一个关系式是MON(BONAON)，你认为这个同学得出的关系式是正确的吗?若正确，请把得出这个结论的过程写出来。 10、如图，点O在直线AC上，OD平分AOB，EOC=2BOE，DOE=72，求EOC.11、（1）如图，已知AOB=90，BOC=30，OM平分AOC，ON平分BOC，求MON的度数.（2）如果（1）中的AOB=，其它条件不变，求MON的度数.（3）如果（1）中BOC=（为锐角），其它条件不变，求MON的度数.（4）从（1）、（2）、（3）的结果中能得出什么结论？（6）平行、垂直例1、如图，已知直线a、b、c在同一平面内，ab，a与c相交于点P，那么b与c也一定相交，为什么？例2、如图，点P为直线m外一点，点P到直线m上的三点A、B、C的距离分别为PA4cm，PB6cm，PC3cm，则点P到直线m的距离为( )(A)3cm(B)小于3cm(C)不大于3cm(D)以上结论都不对例3、已知：如图，三条直线AB，CD，EF相交于O，且CDEF，AOE70，若OG平分BOF求DOG 12、如图，BCAC，CDAB，ABm，CDn，则AC的长的取值范围是( )(A)ACm(B)ACn(C)nACm(D)nACm三、作业：1、已知O是直线AB上一点，OC是一条射线，则AOC与BOC的关系是（ ）A. AOC一定大于BOC； B. AOC一定小于BOCC. AOC一定等于BOC； D. AOC可能大于，等于或小于BOC2、（1）102024=_（2）47.43=_.（3）17403_3、如图，射线OD是平角AOB的平分线，COE90，那么下列式子中错误的是( )(A)AOCDOE(B)CODBOE(C)AODBOD(D)BOEAOC4、如图，O为直线AB上一点，AOC=BOC，OC是AOD的平分线.（1）求COD的度数； （2）试判断OD与AB的位置关系.第四讲 中考专题精讲之方程思想（一） 一元一次方程一、 知识要点归纳1、一元一次方程的概念（1）方程：含有未知数的等式叫做方程。（2）一元一次方程：一个方程里，只含有一个未知数（元），并且未知数的指数是1（次），这样的方程叫做一元一次方程。（3）一元一次方程的解也叫根。2、等式的基本性质（重点、难点）（1）等式两边同时加上（或减去）同一个代数式，所得结果仍是等式。若a=b，那么ac=bc，ac=bc。（2）等式两边同时乘同一个数（或除以同一个不为0的数），所得结果仍是等式若a=b，那么ac=bc，（c0）。说明：对于（1）（2）这两条性质，是在解方程中经常用到的对方程的变形对于前面的“对称性”和“传递性”，知道即可。3、解一元一次方程的一般步骤 口诀：先去分母再括号，移项变号要记牢。同类各项去合并，系数化“1”还没好。求得未知须检验，回代值等才算了。二、题类与技巧1、有关一元一次方程概念及解的问题例1、等式是关于x的一元一次方程，求这个方程的解例2、若关于x的一元一次方程=1的解是x=-1，则k的值是（ ）A B1 C- D0例3、（2011江苏）小明在做解方程作业时，不小心将方程中的一个常数污染得看不清楚，被污染的方程是： ，怎么办呢？小明想了一想便翻看了书后的答案，此方程的解是，他很快补好了这个常数，并迅速地完成了作业，你能补出这个常数吗？例4、小马虎解方程去分母时，方程右边的-3忘记乘6，因而求得的解为x=2，试求a的值，并正确地解出这个方程。1、已知关于x的方程与方程有相同的解，求a的值2、已知方程解是m-5，求关于x的方程的解3、小明在解方程去分母时，方程右边的-1没有乘6，因而求出方程的解为x=2,。你能求出a的值，并正确求出方程的解吗？2、解一元一次方程（1）复杂方程（回忆解题步骤） 例1、解方程 例2、解方程 2、解方程 （2）含字母系数方程的解法：例1、问当a、b满足什么条件时，方程2x+5-a=1-bx：（1）有唯一解；（2）有无数解；（3）无解。3、解方程（3）含绝对值的方程解法例1、解方程 4、解方程 5、解方程 （3）日历中的方程例1. （20