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中等数学18赛题另解题1在ABC中，ABAC,I是内心，AM是中线.设过I且与BC垂直的直线与AM交于点L，I 关于点A的对称点为J.证明：ZABJ=ZLBI.（第2 1届中国女子数学奥林匹克）证明引理在ABC中，I是内心，I切三边BC、C A、A B分别于点D、E、F.设DI交EF于点L.则AL过BC的中点M.引理证明见文1.如图1，设ABC的内切圆I切三边分别于点D、E、F.AFEK111-BMDC图1由引理知点L位于EF上。设ILF的外接圆与BI交于点K.延长LK,交BC于点N.注意到IA工EF,结合IE工AC,IF工AB知ZBACZBKN=ZIKL=ZIFL=ZIEL=2延长BI交EF于点G，联结CG.则ZFGB=ZAFE-ZFBGZBACZABC=9022ZACBZECI.2于是，C、E、G、I 四点共圆.结合DL工BC,IE工AC,知C、D、I、E 四点共圆.从而，C、D、I、CE 五点共圆.ZBAC故ZIDG=ZIEG=ZIEL=2 ZLKG=ZLDGL、K、D、G 四点共圆=ZKLD=ZKGD=ZICD=ZICEZACB=ZLGK=ZLDK=2结合LD工DN，知K是LN的中点从而,LK=KN=KD.AIKV由ABI SK BNBIBV2AI2KVJILNBIBVBIBNZACB并注意到ZAIB=90+ZKNB,2于是,JIB L NB=ZJBI=ZL BN.又 ZABI=ZNBI,所以,ZABJ=ZLBI.参考文献：1】第2 1届中国女子数学奥林匹克J.中等数学,2 0 2 3(3):40-46.（李耀文山东省枣庄市第十八中学，277200)题2如图2,四边形ABCD内接于圆，AB+BC=AD+DC.E是弧BCD的中点，FEK与PF的交点在圆厂上，T、E、C、F 四点共圆ZCFPZCEK则ZCET：设EK与PF交于点T.从而,ECKSF C P.故ECFSK C P.CEFFBALABCZCBI-90JBCCBIJKCJKPZCKP且KCPECFJACZKDC=:KLC则ZJLP：因此，C、P是KJL的等角共轭点.IKPIBC+0：90-ZLDCLKC由于K、C、L、D 四点共圆KJP故ZCJL=ZACIT则CI由于CI、CJ为ZACB的内、外角平分线，从而，P是AJL的垂心三点共线.故A、C、P2023年第4期19是点A的对径点（F不与C重合），I是ABC的内心，J是ABC在ZBAC内的旁心，K是BCD 的内心.点P满足BIC与KPJ顺向相似（顶点对应）.证明：直线EK与直线PF的交点在圆厂上.TAD厂FLCPBEJ=X图2（2 0 2 1，中国国家集训队选拔考试（测试二）)证明取L为ACD的顶点A所对的旁切圆的圆心.由 AB+BC=AD+DCAB+BC-CAAD+DC-CA22故点J、L 在AC上的投影重合，即JL工AC.下面证明P是AJL的垂心.设AB=2,BC=2,CD=2,DA=20.由BICSK JP知ZKJP=ZBCI=,ZIJK=ZIBK=(0+r)-=0,1ZAJP=ZIJK+ZKJP=0+=BCD2=90-ZBAD=90-ZJAL.故JPAL.由内心的性质知B、I、C、J四点共圆，B、K、C、J四点共圆,故B、I、K、C、J五点共圆.设KC与BJ交于点X.则XBCSX K J.又IBCSK PJ,于是,IB.KJIB.XJKP:BCCX注意到,XXJA=XBJI,XXAJ=XEAB+XBAI=XKBC.XAsin ZXJAsin ZBJIIB故XJsin ZXAJsin ZKBCCK=IB.XJ=CK.XJ.CK.KJ从而,KP=CX=C K P SC X A.（黄驰涵南京理工大学设计艺术与传媒学院2 0 2 2 级本科生，2 10 0 94）