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一元二次方程根与系数的关系的关系(含答案)
一元二次方程根与系数的关系的关系(含答案)

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21。2。4 一元二次方程的根与系数的关系
A基础知识详解—-————————-—-—
☆知识点 一元二次方程根与系数的关系
关系
如果一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根为x1，x2，那么x1+x2= — ,x1x2= 。
常用变形
x12+x22=（x1+x2）2—2x1x2； （x1+1)（x2+1）=x1x2+（x1+x2)+1; ;
=;=。
逆用
如果已知某一元二次方程的两根为x1，x2，则该一元二次方程可表示为x2-（x1+x2）x+x1x2=0或(x—x1）(x—x2)=0。
特别提醒
根与系数关系存在的基础是方程有解,即△≥0.

○随堂例题
例1 ”http://www.jyeoo。com/math/report/detail/be06f207—50a5-4775—9e27-b095658fcb40设a，b是方程x2+x—2018=0的两个不相等的实数根．
（1)a+b= —1
；ab= —2016
；
(2）求代数式a2+2a+b的值．
自主解答：（1）∵a，b是方程x2+x—2016=0的两个不相等的实数根，
∴a+b=-1;ab=—2016;
（2）∵a是方程x2+x-2018=0的实数根，
∴a2+a-2018=0,∴a2=-a+2018，
∴a2+2a+b=-a+2018+2a+b=a+b+2018，
∵a、b是方程x2+x-2018=0的两个实数根，
∴a+b=—1，
∴a2+2a+b=—1+2018=2017．
【一中名师点拨】（1)直接利用根与系数的关系求解;(2)要先变形,利用根与系数的关系已经方程的解来求解.
○随堂训练
1。http://www.jyeoo。com/math/report/detail/1555b121-0590—48eb—ac74—80fde2055664” t 已知x1、x2是方程2x2+3x—4=0的两根，那么x1+ x2= ;x1·x2= 2 ；+ ；= ；= .
2.已知关于x的一元二次方程x2+4x+m-1=0．
（1)当m何值时,方程有两个相等的实数根；
（2）当m=2时，设α、β是方程的两个实数根， 求α2+β2+αβ的值．
解:（1）依题意得:△=42—4（m-1)=0,
解得m=5；
（2）∵当m=2时,设α、β是方程的两个实数根,
∴α+β=-4，αβ=m-1=1，
∴α2+β2+αβ=（α+β）2—αβ=（—4）2-1=15,
即α2+β2+αβ=15．

例2
(1)求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）若方程的一个根是-1,求另一个根及k值．
自主解答：（1)∵△=k2—4×1×（—2）=k2+8＞0，∴方程有两个不相等的实数根;
(2)将x=-1代入原方程，得1—k-2=0，
∴k=-1．设方程的另一个根为x1，
根据题意得—1•x1=—2，∴x1=2．
∴方程的另一个根为2,k值为—1．
【八中名师点拨】利用根与系数的关系可以简便的根据两根求出方程中未知数的值，也可以简便的根据一根求出方程的另一根.
○随堂训练
3.已知关于 x的一元二次方程x2—kx—6=0的一个根为x=3，则另一个根为（　A　）
A．x=—2 B．x=-3 C．x=2 D．x=3
4.(2017绵阳)关于x的方程2x2+mx+n=0的两个根是—2和1，则nm的值为（　C　)
A．—8 B．8 C．16 D．-16
5。 t ”_blank若方程x2+（m+1）x—2n=0的两根分别为2和-5，则m= 2 2
,n= 5 5
．

B重难点解读———-—-———

☆重难点 根据方程中两根的关系确定方程中字母的值

○随堂例题
例1 ”http：//
（1)求实数k的取值范围;
（2）若x1、x2满足x12+x22=16+x1•x2，求实数k的值．
自主解答:（1）∵关于x的方程x2+（2k—1)x+k2-1=0有两个实数根x1，x2，
∴△=(2k-1）2-4(k2-1）=-4k+5≥0，
解得k≤，∴实数k的取值范围为k≤；
（2）∵关于x的方程x2+(2k-1）x+k2—1=0有两个实数根x1,x2,∴x1+x2=1—2k，x1•x2=k2—1．
∵x12+x22=（x1+x2）2-2x1•x2=16+x1•x2，
∴（1-2k）2-2×(k2—1）=16+（k2—1），即k2—4k-12=0，
解得k=—2或k=6（不符合题意,舍去）．
∴实数k的值为—2．
【一中名师点拨】题目中提到两个实数根,即隐含着根的判别式大于等于0；当根据方程中两根的关系确定方程中字母的值,关键是把这种关系式转化为含x1+x2及x1x2的形式。
○随堂训练
1。（2017烟台)若x1,x2是方程x2-2mx+m2-m—1=0的两个根，且x1+x2=1—x1x2,则m的值为（　D　)
A．-1或2 B．1或—2 C．-2 D．1
2.”http：//
（1）求证：无论m取何值，原方程总有两个不相等的实数根;
（2）若x1，x2是原方程的两根，且=—2，求m的值.
解:（1）△=（m+2）2—4m=m2+4＞0，∴无论m取何值，原方程总有两个不相等的实数根;
(2）∵x1,x2是原方程的两根，
∴x1+x2=-(m+2），x1x2=m．
∵==-=—2，
解得m=2,经检验,m=2是分式方程的解，且符合题意，∴m的值为2．

课后达标

基础训练
1。（2017呼和浩特）关于x的一元二次方程x2+（a2—2a）x+a—1=0的两个实数根互为相反数，则a的值为（　B　）
A．2 B．0 C．1 D．2或0
2。（2017新疆）已知关于x的方程x2+x-a=0的一个根为2,则另一个根是（　A　）
A．—3 B．-2 C．3 D．6
3.”　D　)
A．—6 B．-2 C．0 D．2
4.”http://www。jyeoo。com/math/report/detail/73f8c359—0a77-4fe5—8235—b593c0aa892c”已知实数x1，x2满足x1+x2=11，x1x2=30,则以x1，x2为根的一元二次方程是(　A　）
A．x2—11x+30=0 B．x2+11x+30=0
C．x2+11x—30=0 D．x2—11x-30=0
5。已知x1、x2是方程2x2+3x-4=0的两根,那么x1+ x2= ；x1·x2= 2 ;+= ;x12+ x22= ；= 。
6.http：// t ”_blank” 已知关于x的方程x2+ax+b+1=0的解为x1=x2=2，则a+b的值为 -1 .
7.以+和-为两根的一元二次方程是 x2—2x+1=0 。
8。已知方程5x2+mx-10=0的一根是-5，求方程的另一根及m的值.
解：设方程的另一个根为k，
则—5k=—2，解得，又k—5=,得m=23.

9.已知关于x的一元二次方程kx2+x-2=0有两个不相等的实数根．
（1）求实数k的取值范围;
(2)设方程两个实数根分别为x1，x2，且满足x12+x22+3x1•x2=3，求k的值．
解：(1）根据题意得k≠0且△=12—4k•(-2）＞0，解得k＞—且k≠0;（2)根据题意得x1+x2=-,x1x2=—,∵x12+x22+3x1•x2=3，∴（x1+x2）2+x1•x2=3，∴(—)2—=3，整理得3k2+2k-1=0，解得k1=，k2=-1，∵k＞—且k≠0,∴k=．

10.http：// t ”_blank已知关于x的一元二次方程x2+（2m—3）x+m2=0有两个实数根x1和x2．
(1）求实数m的取值范围；
（2）若x1+x2=6-x1x2，求(x1-x2）2+3x1x2-5的值．
解：（1)△=（2m-3）2-4m2=4m2—12m+9-4m2=-12m+9，∵△≥0，∴—12m+9≥0，∴m≤;
(2）由题意可得x1+x2=—（2m-3）=3—2m，x1x2=m2，又∵x1+x2=6-x1x2,∴3-2m=6—m2，∴m2-2m-3=0，∴m1=3，m2=—1，又∵m≤，∴m=-1，∴x1+x2=5，x1x2=1，∴（x1—x2)2+3x1x2—5=(x1+x2)2—4x1x2+3x1x2—5=（x1+x2）2—x1x2-5=52—1-5=19．

能力提升
11。（2017仙桃）若α、β为方程2x2—5x—1=0的两个实数根，则2α2+3αβ+5β的值为（　B　）
A．-13 B．12 C．14 D．15
12.若非零实数a，b（a≠0)满足a2-a-2018=0,b2-b—2018=0，则= 。
13。”http://www.jyeoo。com/math/report/detail/328b6653-1d4f—4ec4-9bc4-e40712ce8ecb已知关于x的方程x2-（k+1）x+k2+1=0的两根是一个矩形两邻边的长,且矩形的对角线长为，求k= 2 。
14。已知关于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2-2=0的两根为x1和x2，且（x1—2)(x1-x2）=0，则k的值是 -2或— .
15.（2017黄石)已知关于x的一元二次方程x2—4x—m2=0。
（1）求证：该方程有两个不等的实根；
（2)若该方程的两实根x1、x2满足x1+2x2=9，求m的值．
解：（1）∵在方程x2-4x—m2=0中，△=（—4)2-4×1×(—m2）=16+4m2＞0，
∴该方程有两个不等的实根；
(2）∵该方程的两个实数根分别为x1、x2，
∴x1+x2=4①,x1•x2=—m2②．
∵x1+2x2=9③，∴联立①③解得x1=—1，x2=5,
∴x1•x2=-5=-m2，解得m=±．