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完整版)二次函数基础知识和经典练习题
二次函数
一、基础知识
1.定义：一般地，如果是常数,，那么叫做的二次函数.
2.二次函数的表示方法:数表法、图像法、表达式.
3。二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式:
①(；
②;(
③（顶点式）；
④；(
⑤.它们的图像都是对称轴平行于（或重合）轴的抛物线.
4。各种形式的二次函数的图像性质如下表：
函数解析式
开口方向
对称轴
顶点坐标

当时
开口向上
当时
开口向下
(轴）
（0,0）

（轴）
（0， )

(,0)

(，）

（)

1。抛物线中的系数
（1）决定开口方向： 几个不同的二次函数，如果二次项系数相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同。 当时,抛物线开口向上，顶点为其最低点；当时，抛物线开口向下，顶点为其最高点。
（2）和共同决定抛物线对称轴的位置：当时，对称轴为轴；当、同号时,对称轴在轴左侧；当、异号时，对称轴在轴右侧.
（3）决定抛物线与轴交点位置:当时，抛物线经过原点； 当时，相交于轴的正半轴；当时，则相交于轴的负半轴。
2。求抛物线的顶点、对称轴的方法
（1）公式法：,顶点是，对称轴是直线.

（2)配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为的形式，得到顶点为(，)，对称轴是直线.其中。
（3）运用抛物线的对称性：抛物线是轴对称图形，所以对称点的连线的垂直平分线就是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点..
3．用待定系数法求二次函数的解析式
(1）一般式:.已知图像上三点或三对、的值，通常选择一般式。
（2）顶点式：。已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.
（3）两点式:已知图像与轴的交点坐标、，通常选用交点式：.
4。抛物线与轴的交点
设二次函数的图像与轴的两个交点的横坐标、，是对应一元二次方程的两个实数根.抛物线与轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式来判定:
（1）抛物线与轴有两个交点；
（2)抛物线与轴有一个交点(顶点在轴上）;
（3)抛物线与轴没有交点.
5。二次函数的应用

一、的性质
1．已知二次函数与x轴有交点，则k的取值范围是 .
解：

2．二次函数的图象如图，则直线的图象不经过第 象限。
理由：

3.二次函数的图象如图，试判断a、b、c和的符号。
解：

4。二次函数的图象如图,下列结论（1）c＜0；（2）b＞0；（3）4a+2b+c＞0；（4)（a+c）2＜0，其中正确的是：（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
理由：

5． 二次函数的图象如图，那么abc、2a+b、a+b+c、a—b+c这四个代数式中，值为正数的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
理由：

6． 已知直线的图象经过第一、二、三象限,那么的图象为（ ）
A． B． C．D．
7．已知函数，当函数值y随x的增大而减小时，x的取值范围是（ ）
A．x＜1 B．x＞1 C．x＞－2 D．－2＜x＜4
8．二次函数y＝a(x＋k)2＋k,当k取不同的实数值时，图象顶点所在的直线是( )
A．y＝x B．x轴 C．y＝－x D．y轴

9．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如右图所示，则（ ）

A．a＞0，c＞0，b2－4ac＜0 B．a＞0，c＜0，b2－4ac＞0
C．a＜0,c＞0，b2－4ac＜0 D．a＜0，c＜0，b2－4ac＞0
10．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如下图所示，则（ )

A．b＞0,c＞0，D＝0 B．b＜0，c＞0，D＝0
C．b＜0，c＜0，D＝0 D．b＞0，c＞0，D＞0
11．二次函数y＝mx2＋2mx－（3－m)的图象如下图所示，那么m的取值范围是（ ）

A．m＞0 B．m＞3
C．m＜0 D．0＜m＜3
12．在同一坐标系内，函数y＝kx2和y＝kx－2(k≠0)的图象大致如图（ )

13．函数（ab＜0)的图象在下列四个示意图中，可能正确的是（ )

14．图中有相同对称轴的两条抛物线，下列关系不正确的是（ )

A．h＝m B．k＞n
C．k＝n D．h＞0，k＞0
15．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0)的图象如图所示,有下列结论：①abc＞0；②a＋b＋c＝2；;④b＜1．其中正确的结论是（ ）

A．①② B．②③
C．②④ D．③④
16．下列命题中，正确的是( )
①若a＋b＋c＝0，则b2－4ac＜0；
②若b＝2a＋3c，则一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有两个不相等的实数根；
③若b2－4ac＞0，则二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与坐标轴的公共点的个数是2或3；
④若b＞a＋c，则一元二次方程ax2＋bx＋c＝0，有两个不相等的实数根．
A．②④ B．①③ C．②③ D．③④
二、的最值
1． 心理学家发现，学生对概念的接受能力y和提出概念所用的时间x（单位：分)之间大体满足函数关系式：（0≤x≤30）。y的值越大，表示接受能力越强。试根据关系式回答：
（1） 若提出概念用10分钟,学生的接受能力是多少？
（2） 概念提出多少时间时?学生的接受能力达到最强？

2． 某地要建造一个圆形喷水池，在水池中央垂直于水面安装一个花形柱子OA，O恰在水面中心，安置在柱子顶端A处的喷头向外喷水,水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下,且在过OA的任一平面上,抛物线形状如图（1)所示。图（2）建立直角坐标系，水流喷出的高度y（米）与水平距离x(米)之间的关系是。请回答下列问题：
（1） 柱子OA的高度是多少米？
（2） 喷出的水流距水平面的最大高度是多少米？
（3） 若不计其他因素，水池的半径至少要多少米才能使喷出的水流不至于落在池外？

3． 体育测试时，初三一名高个学生推铅球,已知铅球所经过的路线为抛物线的一部分,根据关系式回答
（1） 该同学的出手最大高度是多少？
（2） 铅球在运行过程中离地面的最大高度是多少？
（3） 该同学的成绩是多少？

4． 如图，正方形EFGH的顶点在边长为a的正方形ABCD的边上,若AE=x，正方形EFGH的面积为y。
（1） 求出y与x之间的函数关系式；
（2） 正方形EFGH有没有最大面积？若有,试确定E点位置；若没有，说明理由.

三、函数解析式的求法(1）
1． 某菜农搭建了一个横截面为抛物线的大棚，尺寸如图:
（1） 根据如图直角坐标系求该抛物线的解析式；
（2） 若菜农身高为1。60米,则在他不弯腰的情况下，在棚内的横向活动范围有几米？（精确到0.01米）

2． 根据下列条件求抛物线的解析式:
（1） 图象过点（-1，—6）、（1,-2）和（2,3)；
（2） 图象的顶点坐标为（—1，—1），且与y轴交点的纵坐标为—3；
（3） 图象过点（1，—5），对称轴是直线x=1,且图象与x轴的两个交点之间的距离为4.

3． 在一场足球赛中，一球员从球门正前方10米处将球踢起射向球门,当球飞行的水平距离为6米时,球到达最高点，此时球高3米，已知球门高为2.44米，问能否射中球门？

4． 已知二次函数的图象与x轴交于A2，0）、B（3，0)两点，且函数有最大值是2。
（1） 求二次函数的图象的解析式；
（2） 设次二次函数的顶点为P，求△ABP的面积。

5． 如图:
（1） 求该抛物线的解析式；
（2） 根据图象回答：当x为何范围时，该函数值大于0。

6． 已知抛物线经过A（-3，0)、B（0，3）、C（2，0）三点。
（1） 求这条抛物线的解析式；
（2） 如果点D（1，m）在这条抛物线上，求m值和点D关于这条抛物线对称轴的对称点E的坐标，并求出tan∠ADE的值。

四、函数解析式的求法（2）
1． 已知某绿色蔬菜生产基地收获的大蒜，从四月一日起开始上市的30天内，大蒜每10千克的批发价y（元）是上市时间x (天)的二次函数，有近几年的行情可知如下信息：
x(天）
5
15
25
y（元)
15
10
15
（1） 求y与x的函数关系式;
（2） 大蒜每10千克的批发价为10。8元时，问此时是在上市的多少天？

2． 如图，某建筑物从10m高的窗口A用水管向外喷水，喷出的水呈抛物线状，如果抛物线的最高点M离墙1m，离地面m，求水流落点B离墙的距离OB的长.

3． 一男生推铅球，成绩为10米，已知该男生的出手高度为米，且当铅球运行的水平距离为4米时达到最大高度,试求铅球运行的抛物线的解析式。

4． 某工厂的大门是一抛物线型水泥建筑物，大门的地面宽度为8米,两侧距地面3米高处各有一个壁灯，两壁灯之间的水平距离为6米,试求厂门的高度.

5． 抛物线经过A、B、C三点，顶点为D，且与x轴的另一个交点为E。
（1） 求该抛物线的解析式；
（2） 求四边形ABDE的面积；
（3） 求证：△AOB∽△BDE 。

6．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0）的图象经过一次函数的图象与x轴、y轴的交点,并也经过(1，1)点．求这个二次函数解析式，并求x为何值时,有最大（最小)值,这个值是什么？

7．已知抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴的两个交点分别为A(m，0),B（n，0)，且，
(1）求此抛物线的解析式；
(2)设此抛物线与y轴的交点为C，过C作一条平行x轴的直线交抛物线于另一点P，求△ACP的面积．

8．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点A（－1，0），且经过直线y＝x－3与x轴的交点B及与y轴的交点C．
(1）求抛物线的解析式;
(2）求抛物线的顶点坐标;
(3)若点M在第四象限内的抛物线上，且OM⊥BC，垂足为D，求点M的坐标．

9．某商业公司为指导某种应季商品的生产和销售，对三月份至七月份该商品的售价和生产进行了调研,结果如下：一件商品的售价M（元)与时间t(月）的关系可用一条线段上的点来表示（如图甲)，一件商品的成本Q(元）与时间t(月)的关系可用一条抛物线上的点来表示，其中6月份成本最高（如图乙）．
根据图象提供的信息解答下面问题：

（1）一件商品在3月份出售时的利润是多少元?(利润＝售价－成本）
(2）求出图（乙)中表示的一件商品的成本Q（元)与时间t(月)之间的函数关系式；
(3)你能求出3月份至7月份一件商品的利润W(元）与时间t(月）之间的函数关系式吗?若该公司能在一个月内售出此种商品30000件，请你计算该公司在一个月内最少获利多少元？

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