二-参数方程.doc

第二节　参数方程
【最新考纲】　1.了解参数方程，了解参数的意义.2.能选择适当的参数写出直线、圆和椭圆的参数方程

1．曲线的参数方程
一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x，y都是某个变数t的函数并且对于t的每一个允许值，由这个方程组所确定的点M(x，y)都在这条曲线上，那么这个方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x，y的变数t叫做参变数，简称参数．
2．参数方程与普通方程的互化
通过消去参数从参数方程得到普通方程，如果知道变数x，y中的一个与参数t的关系，例如x＝f(t)，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系y＝g(t)，那么就是曲线的参数方程．在参数方程与普通方程的互化中，必须使x，y的取值范围保持一致．
3．常见曲线的参数方程和普通方程

1．(质疑夯基)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)参数方程中的x，y都是参数t的函数．(　　)
(2)过M0(x0，y0)，倾斜角为α的直线l的参数方程为 (t为参数)．参数t的几何意义表示：直线l上以定点M0为起点，任一点M(x，y)为终点的有向线段的数量．(　　)
(3)方程表示以点(0，1)为圆心，以2为半径的圆．(　　)
(4)已知椭圆的参数方程 (t为参数)，点M在椭圆上，对应参数t＝，点O为原点，则直线OM的斜率为.(　　)
答案1)√　(2)√　(3)√　(4)×
2．(2014·北京卷)曲线 (θ为参数)的对称中心(　　)
A．在直线y＝2x上　　　B．在直线y＝－2x上
C．在直线y＝x－1上 D．在直线y＝x＋1上
解析：
所以(x＋1)2＋(y－2)2＝1.
曲线是以(－1，2)为圆心，1为半径的圆，
所以对称中心为(－1，2)，在直线y＝－2x上．
答案：B
3．在平面直角坐标系中，曲线C： (t为参数)的普通方程为________．
解析：由x＝2＋t，且y＝1＋t
消去t，得x－y＝1，即x－y－1＝0.
答案：x－y－1＝0
4．已知直线l的参数方程为 (t为参数)圆C的极坐标方程为ρ＝2 sin θ，则直线l与圆C的位置关系是________．
解析：将直线的参数方程 (t为参数)
化为普通方程，得2x－y＋1＝0.
将圆C的极坐标方程ρ＝2 sin θ化为直角坐标方程．
得x2＋y2－2 y＝0，即x2＋(y－)2＝2，
圆心到直线的距离为d＝由ρ(cos θ＋sin θ)＝－2，得x＋y＝－2.①
由消去t得y2＝8x②
联立①，②得即交点坐标为(2，－4)．
答案：(2，－4)

一种思想
在解决参数方程和极坐标方程问题时，常将各类方程相互转化以方便求解．
一点注意
将参数方程化为普通方程时，要注意参数的取值范围对普通方程中x，y的取值范围的影响．
两个结论
设过点M(x0，y0)的直线l交曲线C于A、B两点，若直线的参数方程为 (t为参数)注意以下两个结论的应用：
1．|AB|＝|t1－t2|；
2．|MA|·|MB|＝|t1·t2|.

1．在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为 t为参数)，直线l与抛物线y2＝4x相交于A，B两点，求线段AB的长．
解：将直线l的参数方程代入抛物线方程
y2＝4x，得＝4.
解得t1＝0，t2＝－8 .
所以AB＝|t1－t2|＝8 .
2．(2015·福建卷)在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为 (t为参数)．在极坐标系(与平面直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴)中，直线l的方程为ρsin＝m(m∈R)．
(1)求圆C的普通方程及直线l的直角坐标方程；
(2)设圆心C到直线l的距离等于2，求m的值．
解：(1)消去参数t，得到圆C的普通方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝9
由ρsin＝m，得ρsin θ－ρcos θ－m＝0.
所以直线l的直角坐标方程为x－y＋m＝0.
(2)依题意，圆心C到直线l的距离等于2，
＝2，解得m＝－3±2 .
3．(2014·课标全国Ⅱ卷)在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程为ρ＝2cos θ，θ∈ .
(1)求C的参数方程；
(2)设点D在C上，C在D处的切线与直线l：y＝x＋2垂直，根据(1)中你得到的参数方程，确定D的坐标．
解：(1)C的普通方程为(x－1)2＋y2＝1(0≤y≤1)．
可得C的参数方程为 (t为参数，0≤t≤π)．
(2)设D(1＋cos t，sin t)，由(1)知C是以C(1，0)为圆心，
1为半径的上半圆．因为C在点D处的切线与l垂直，
所以直线CD与l的斜率相同，tan t＝，t＝.
故D的直角坐标为，即.
4．已知直线l经过点A(1，2)，倾斜角为，圆C的参数方程为(θ为参数)．
(1)求直线l的参数方程；
(2)若直线l与圆C交于两点B、C，求|AB|·|AC|的值．
解：(1)∵直线l的倾斜角α＝，
∴cos α＝，sin α＝，
又直线l过点A(1，2)，

(2)由x＝3cos θ，且y＝3sin θ，消去θ.
得圆C的直角坐标方程x2＋y2＝9.
将直线l的参数方程代入x2＋y2＝9，得
t2＋(1＋2 )t－4＝0，∴t1t2＝－4.
由参数t的几何意义得直线l和圆x2＋y2＝9的两个交点到点A的距离之积为|t1t2|＝4.
因此|AB|·|AC|＝4.
5．(2015·陕西卷)在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为
(t为参数)．以原点为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，⊙C的极坐标方程为ρ＝2 sin θ.
(1)写出⊙C的直角坐标方程；
(2)P为直线l上一动点，当P到圆心C的距离最小时，求P的直角坐标．
解：(1)由ρ＝2 sin θ，得ρ2＝2 ρsin θ，
从而有x2＋y2＝2 y，所以x2＋(y－)2＝3.
(2)设P，又C(0，)，
则|PC|＝ ＝，
故当t＝0时，|PC|取得最小值，
此时，点P的直角坐标为(3，0)．
6．(2017·广州一模)在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数)．在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C：ρ＝2cos.
(1)求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；
(2)求曲线C上的点到直线l的距离的最大值．
解：(1)由消去t得x＋y－4＝0，
所以直线l的普通方程为x＋y－4＝0.
由ρ＝2cos＝2＝2cos θ＋2sin θ，
得ρ2＝2ρcos θ＋2ρsin θ.
将ρ2＝x2＋y2，ρcos θ＝x，ρsin θ＝y代入上式，
得曲线C的直角坐标方程为x2＋y2＝2x＋2y，即(x－1)2＋(y－1)2＝2.
(2)设曲线C上的点为P(1＋cos α，1＋sin α)，
则点P到直线l的距离为d＝＝＝.
当sin＝－1时，dmax＝2.
所以曲线C上的点到直线l的距离的最大值为2.