第20章数据的整理与初步处理全章教案.doc

第20章 数据的整理与初步处理一. 教学内容：21.1 算术平均数与加权平均数21.2 平均数、中位数和众数的选用学习目标理解平均数的概念和意义，会计算一组数据的算术平均数和加权平均数能利用计算器计算一组数据的平均数在具体情境中理解加权平均数的概念，体会“权”的意义，知道算术平均数与加权平均数的联系与区别理解中位数、众数的概念和意义，会求一组数据的中位数、众数二. 重点、难点： 1. 重点：加权平均数的计算方法掌握中位数、众数等数据代表的概念 2. 难点：加权平均的原理选择恰当的数据代表对数据做出判断三. 知识梳理：1. 算术平均数的意义如果有n个数：，那么这组数据的平均数，这个平均数叫做算术平均数平均数是我们日常生活中经常用到的、比较熟悉的的概念，如平均分、平均身高、平均体重、平均产量等等，由公式可知，平均数与给出的一组数据中的每一个数的大小都有关系，所以平均数是这组数据的“重心”，反映了这组数据的平均状态，是描述一组数据集中趋势的特征数字中最重要的数据，也是衡量一组数据波动大小的基准2. 加权平均数一般地，对于f1个x1，f2个x2，fn个xn，共f1f2fn个数组成的一组数据的平均数为这个平均数叫做加权平均数，其中f1，f2，fn叫做权，这个“权”，含有权衡所占份量的轻重之意，即（i1，2，k）越大，表明的个数越多，“权”就越重加权平均数的计算公式与算术平均数的计算公式，实际上是一回事一般情况下，当一组数据中有很多数据多次重复出现时，加权平均数的计算公式是算术平均数计算公式的另一种表现形式，用加权平均数公式计算更简便3. 用计算器求平均数4. 扇形统计图的制作扇形统计图：利用圆和扇形来表示总体和部分的关系，即用圆代表总体，圆中的各个扇形分别代表总体中的各个部分，扇形的大小反映部分占总体的百分比的大小，这样的统计图叫扇形统计图扇形统计图的特点：扇形的大小反映部分占总体的百分比的大小根据统计图可以直接看出统计对象所占的比例和每部分相对总体的大小制作步骤：利用各部分与总体间的百分比关系求出各个扇形的圆心角，计算方法是：圆心角360百分比；画出表示总体的圆，并在圆上画出表示各部分的扇形的区域，加以标注；写出所绘制的扇形统计图的名称扇形统计图利用圆和扇形来表示总体和部分的关系，统计图中圆的大小与具体数据无关各扇形所占的百分比之和为15. 中位数与众数中位数：把一组数据按大小依次排列，把处在最中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数）叫做这组数据的中位数；中位数的计算：先将数据按从小到大的顺序重新排列，如果有奇数个数据，则处在最中间的那个数就是中位数；如果有偶数个数据，则处在最中间的两个数据的平均数就是中位数众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫做这组数据的众数众数的计算：求众数时只要看在一组数中重复出现次数最多的数据就是众数如果有两个或两个以上数据重复出现的都最多，那么这几个数据都是这组数据的众数当一组数据中有不少数据多次重复出现时，我们往往关心众数通常的“最佳”、“最受欢迎”、“最畅销”等等的评选活动都是用投票的方法取众数得到的6. 平均数、中位数和众数的选用平均数、中位数和众数的特点：平均数、中位数、众数都是用来描述一组数据的集中趋势这三个统计量的各自特点是：平均数的大小与一组数据里的每个数据均有关系，其中任何数据的变动都会相应引起平均数的变动；众数着眼于对各数据出现频率的考察，其大小只与这组数据中的部分数据有关，当一组数据中有不少数据多次重复出现时，其众数往往是我们关心的一种统计量；中位数则仅与数据的排列位置有关，即当一组数据按从小到大的顺序排列后，最中间的数据为中位数，因此，某些数据的变动对它的中位数没有影响平均数、中位数、众数从不同的侧面提供了一组数据的面貌，正因为如此，我们把这三种数作为一组数据的代表平均数、中位数、众数分别表示一组数据的一般水平、中等水平、和多数水平，都能反映一组数据的集中趋势它们互相之间可能相等也可能不相等，没有固定的大小关系，但是三个统计量不总是有实际意义、总是合适的，它们都有各自的适用范围这就产生了该选用哪一个统计量的问题了相比之下，平均数是最常用的指标由于计算平均数时，要用到每一个数据，所以它对数据的变化比较敏感有时能获得较多的信息但当数据中含有极个别特别大或特别小的数据时，它就不能很好地反映一般水平了这时就要选用其它的统计量或者像歌唱比赛那样去掉一个最高分，去掉一个最低分了四、典型例题例1：某班第一小组有12人，一次数学测验成绩如下：85、96、74、100、96、85、79、65、74、85、65、80，试计算这12人的数学平均分分析：最简单的方法就是把12个数据全部加起来，再除以12即可但是面对这样一组数字相对比较大的数组时，可以想办法，把数字的大小先降下来，这里可以以80为基准，每个数都减去80组成一个新数组，计算出平均数后，再加上80就得到原数组的平均数解：（解法一）利用平均数公式得：平均分82（分）；（解法二）每个数都减去80后建立新数组为：5、16、6、20、16、5、1、15、6、5、15、0，则新数组的平均数为：2所以原数组的平均分80282（分）例2：我校举行文艺演出，由参加演出的10个班各派一名同学担任评委，每个节目演出后的得分取各个评委所给分的平均数，下面是各评委给七年级三班一个节目的分数评委编号12345678910评分7.207.257.007.1010.007.307.207.106.207.15该节目的得分是多少分?此得分能否反映该节目的水平?你对5号和9号评委的给分有什么看法?你认为怎样计算该节目的分数比较合理?为什么?分析：本题涉及到关于样本的选取要具有代表性的问题，因为有些数据对样本平均数的影响很大（如5号和9号的数据），因此，为了公正、合理应去掉一个最高分和一个最低分，以减少它们对平均数的负面影响，保证评判的公正性解：平均分为：7.35（分）此得分不能反映该节目的水平；5号评委的给分偏高，9号评委的给分偏低，他们都脱离实际，不能公正地代表节目的实际水平；去掉一个最高分和一个最低分，这样可以避免某些特殊数据带来的负面影响，保持评判的公正性例3：若一组数据的平均数是12，那么另一组数据的平均数是多少?分析：平均数是将各个数据的和除以数据的个数求得的，因此，我们可以先求出已知数据的总数，再找出另一组数据与它的联系，从而求解解：因为12 所以60所以15例4：某人事部经理按下表所示的五个方面给应聘者记分，每一方面均以10分为满分，如果各方面的权数及四个应征者得分如下（单位：分），问谁受聘的可能性最大?条件权数张三李四何五白六学历157988经验158778社交76854效率86567外貌55678分析：谁受聘就应看谁的分数高，只要应用加权平均数分别计算各人的平均分，比较大小就可以了解：张三的平均分6.8（分）；李四的平均分7.32（分）；何五的平均分6.86（分）；白六的平均分7.28（分）平均分结果显示李四的分数最高，所以李四受聘的可能性最大例5：下表是某班20名学生的一次语文测验成绩统计表：成绩（分）5060708090人数（人）23xy2若20名学生的平均成绩是72分，请根据上表求x、y的值分析：这里有两个未知量，就应得到关于它们的两个等量关系，不难发现，一个是从总人数方面，另一个是从平均数方面得到两个等量关系，从而列方程组进行求解解：由题意得：解得例6：如图，这是某晚报“百姓热线”一周内接热线电话的统计图，其中有关环境保护问题的电话最多，共70个，请回答下列问题本周“百姓热线”共接到热线电话多少个?根据以上数据绘成扇形统计图分析：学会读图获取信息是关键图中“环境保护问题的电话”达35%，共70个，可求出“百姓热线”电话的总数，再根据各种电话所占的百分比计算出扇形圆心角的度数解：7035%200，即本周“百姓热线”共接到热线电话200个；分别计算出其他项目在扇形统计图中的圆心角的度数：奇闻轶事：360O5%18；其他投拆：36015%54O；道路交通：36020%72O；环境保护：36035%126；房产建筑：36015%54；表扬建议：36010%36画扇形统计图，如图所示例7：为了培养学生的环境保护意识，某校组织课外小组对该市做空气含尘调查，下面是一天每隔2小时测得的数据如下：0.03，0.04，0.02，0.03，0.04，0.01，0.03，0.03，0.04，0.05，0.01，0.03.（单位：克/立方米）求出这组数据的众数和中位数.若国家环保局对大气飘尘的要求为平均值不超过每立方米0.025克，问这天该城市的空气是否符合国家环保局的要求?分析：这组数据的众数就是出现次数最多的数据，是0.03；中位数需按从小到大的顺序排列，然后取中间两个数的平均数即是中位数能否符合要求，关键是看平均数与0.025的大小，若平均数小于0.025就符合，否则，就不符合解：由众数的定义和题意知这组数据中0.03出现的次数最多，故这组数据的众数是0.03将这组数据按从小到大的顺序排列得到：0.01，0.01，0.02，0.03，0.03，0.03，0.03，0.03，0.04，0.04，0.04，0.05.其中最中间的两个数据都是0.03，所以这组数据的中位数是0.03这天测得的数据的平均数为：0.03也就是说这天城市的空气飘尘的平均值为0.03克/立方米，大于国家环保局的规定0.025克/立方米，所以这天该城市的空气不符合国家环保局要求例8：某公司销售部有营销人员15人，销售部为了制定某种商品的月销售定额，统计了这15人某月的销售量如下：每人销售件数1800510250210150120人数113532求这15位营销人员该月销售量的平均数、中位数和众数；假设销售部负责人把每位营销员的月销售额定为320件，你认为是否合理，为什么?如不合理，请制定一个比较合理的销售定额，并说明理由分析：平均数受极个别数据影响，而中位数和众数不受极个别数据影响根据这些知识对本题进行解答即可解：平均数为： 320（件）；中位数是210件，众数是210件不合理因为15人中有13人的销售额达不到320件，320件虽然是这组数据的平均数，但它受1800件这个特殊值的影响，使它不能反映营销人员的一般水平而中位数反映的一组数据的中等水平，众数反映的是一组数据的大多数的水平，所以把每位营销员的月销售额定为210件比较合适例9：如图，公园里有甲、乙两群游客正在做团体游戏，甲群游客的年龄分别是12，12，12，13，14，15，16，16，27；乙群游客的年龄分别为：3，4，4，5，5，6，6，6，55，60分别求出两群游客年龄的平均数、众数和中位数甲、乙两群游客年龄的平均数能代表他们各自的年龄特征吗?如果不能代表，那么哪个数据能代表?分析：我们把一组数据中其值过大（或过小）的数据看作异常数（或异常值），如本例中乙群游客的55和60就是异常数，有异常数时，其平均数可能相差较大，这时用中位数或众数来描述这组数据的一般水平比较合适解：甲群游客：平均数15（岁），众数是12岁，中位数是14岁乙群游客：平均数15.4 （岁），众数是6岁，中位数是5.5岁甲群游客年龄的平均数能代表他们的年龄特征，乙群游客年龄平均数不能代表他们的年龄特征用中位数或众数来代表他们各自的年龄特征比较合适五、 课堂小结：请同学们回顾我们这节课学习了什么知识？用自已的语言概括出来。六、 布置作业：练习册七、 板书设计1、 平均数2、 加权平均数3、 中位数4、 众数例1例2例3一.教学内容：21.3 极差、方差与标准差第21章 数据的整理与初步处理小结与复习二. 重点、难点： 1. 重点：认识算术平均数、加权平均数，并能灵活计算、应用；认识平均数、中位数和众数，会选择恰当的数据代表对数据进行评价； 会求一组数据的极差、方差与标准差，并会用它们表示一组数据的离散程序；能借助计算器求平均数、标准差 2. 难点：灵活计算算术平均数、加权平均数、极差、方差与标准差； 在理解平均数、中位数、众数、极差、方差与标准差意义的基础上，对生活中的某些数据发表自己的看法，做出合理的判断和预测，解决一些实际问题，培养统计意识，提高数据处理能力三. 知识梳理：（一）极差、方差与标准差： 极差 用一组数据中的最大数据减去最小的数据所得到的差来反映这组数据的变化范围，这个差就称为极差 方差 定义 一组数据中各数据与这组数据的平均数的差的平方和的平均数叫做这组数据的方差 方差的意义 方差是反映一组数据波动大小的量，它表示的是一组数据偏离平均值的情况方差越大，数据组的波动就越大 方差的计算公式 数据x1，x2，x3， ，xn的方差是 S2（x1）2（x2）2（x3）2（xn） 注意：上面的计算公式是一般情况下计算方差的办法； 当数据组中的数据个数比较少且绝对值比较小时，又可以采用下面的公式来计算方差： S2（x12x22x32xn2）n2 如果数据组中的每一个数比较接近于常数a时，也可以采用下面的公式计算方差： S（x12x22x32xxn2）n2（其中x1、x2、x3xn分别等于x1a、x2a、x3axna，是数据组x1、x2、x3xn的平均数） 标准差 方差的算术平方根叫做标准差 标准差和方差一样，也是反映一组数据波动大小的指标同样，标准差越大，数据组的波动就越大（二）本章知识回顾：1. 平均数、众数与中位数平均数、众数、中位数都是描述数据的“集中趋势”的“特征数”平均数：求个数，的平均数为（），当给出的一组数据，都在某一常数a上下波动时，一般选用简化的平均数计算公式，其中是每个数值与a的差的平均数，a是取接近于这组数据平均数中比较“整”的数 当所给个数据中出现次，出现次，出现次，且，则（）这个平均数叫做加权平均数，其中，叫做权加权平均数的权：当一组数据中各数据分布情况（或者说比重大小）不同，分布情况（比重大小）称为各个数据的权注意：这三种计算平均数的方法，在具体问题中要灵活使用众数：在一组数据中，出现次数最多的数据，叫做这组数据的众数众数不唯一，可以有一个，也可以有几个，也可以没有中位数：将一组数据按大小依次排列，把处在最中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数）叫做这组数据的中位数 平均数、中位数和众数的区别与联系： 联系：平均数、中位数和众数都反映了一组数据的集中趋势，其中以平均数最为重要 区别：平均数的大小与这组数据里每个数据均有关系，任一数据的变动都会引起平均数的变动中位数仅与数据的排列位置有关，某些数据的变动对它的中位数没有影响当一组数据中的个别数据变动较大时，可用它来描述其集中趋势众数主要研究各数据出现的情况的考查，其大小只与这组数据中的某些数据有关，当一组数据中有不少数据多次重复出现时，我们往往关心众数注意：在实际问题中，到底选择哪一个去说明一组数据的特征，要视情况而定2. 扇形统计图绘制扇形统计图的基本步骤：根据有关数据先算出各部分在总体中所占的百分数 100%各部分数据/总体数据；根据百分数计算出各部分扇形圆心角的度数部分总体的百分数360；按比例，取适当半径画一个圆；按扇形圆心角的度数用量角器在圆内量出各个扇形圆心角的度数；在各扇形内写上相应的名称及百分数，并用不同的标记把各扇形区别开来；写上统计图的名称及制作日期等（2）扇形统计图的特征：扇形统计图适合相对统计数据，可清楚地表示出各部分数量占总量的百分比3. 极差、方差与标准差极差：用一组数据中的最大值减去最小值所得的差来反映这组数据的变化范围，用这种方法得到的差称为极差，极差最大值最小值方差：一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差用“先平均，再求差，然后平方，最后再平均”得到的结果表示一组数据偏离平均值的情况，这个结果叫方差，通常用s2来表示，计算公式是：（）2（）2（）2说明：这一公式可简单记忆为“方差等于差方的平均数”标准差：标准差 极差、方差与标准差异同点：共同点：极差、方差与标准差都是表示一组数据离散程度的特征数 不同点：极差表示一组数据波动范围的大小，一组数据极差越大，则它的波动范围越大；方差和标准差反映了一组数据与其平均值的离散程度的大小方差（或标准差）越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好4. 实际应用通过计算平均数、方差来判断数据的集中或离散程度，从而对现实生活中的实例进行分析和判断，并做出评价或提出建议注意评价要客观、合理，建议要符合实际同时这部分知识还可以与方程、不等式等知识结合，出现一些综合题解决这类题必须弄清基本概念，掌握一些典型题的解法，灵活运用题中的数据和信息，明确解题目标四、典型例题例1. 小明所在小组的12位学生身高如下（单位：cm）：160，160，l70，158，170，168，158，170，158，160，l60，168求小明所在小组学生的平均身高（保留整数）分析：求平均数有3种方法，可根据实际情况选择解：方法一：（160160l70158170168158170158160l60168）12163cm；方法二：整理这组数据：身高/cm158160168170相应人数3423（1583160416821703）12163cm；方法三：以160cm为基准，这12个数据为：0，0，10，2，10，8，2，10，2，0，0，8（10210821028）123.31603.3163cm例2. 经初赛选拔，我市参加省数学竞赛决赛的200人中，一中58人，二中47人，三中45人，四中30人，五中20人，请你绘制扇形统计图表示参赛学生的分布情况分析：画扇形统计图之前要先计算每部分所占百分比，每部分扇形的圆心角度数解：各中学人数占参赛总人数的百分比，占扇形圆心角的度数用下面的表格表示：一中二中三中四中五中人数5847453020占总数的百分比29%23.5%22.5%15%10%圆心角104.484.6815436根据数据画出扇形统计图，如下图所示：例3. 某校学生报要招聘记者一名，小明、小凯和小萍报名进行了三项素质测试，成绩如下：（单位：分）学生采访写作计算机创意设计小明706086小凯907551小萍608478分别计算三人的素质测试的平均分，根据计算，那么谁将被录取？ 学校把采访写作、计算机和创意设计成绩按5：2：3的比例来计算三人的测试平均成绩，那么谁将被录取？ 分析：注意算术平均数与加权平均数在实际问题中的应用解：小明平均分 （706086）372（分）， 小凯平均分（907551）372（分）， 小萍平均分（608478）374（分）， 所以，小萍被录取 按照5：2：3比例，则小明的平均分72.8（分）；小凯的平均分75.3（分）；小萍的平均分70.2（分）所以，小凯被录取例4. 用计算器求下列数据的平均数91，189，37，98，103，103，107，86，97，99分析：按键顺序为：例5. 有甲、乙、丙三种可混合包装的食品，它们的单价分别是：每千克1.80元、2.50元、3.20元现取甲种食品50千克，乙种食品40千克，丙种食品10千克，把这三种食品混合后，每千克的价格是多少？分析：混合后的单价不仅与每种食品的单价有关，而且还与每种食品的质量（千克）有关，应选加权平均数公式来计算本题也可以理解为求混合后的单价解：根据加权平均数公式，得2.22元答：混合后每千克的价格是2.22元例6. 在一次数学知识竞赛中，某班20名学生成绩如下表所示：成绩（分）5060708090人数23672分别求这些学生成绩的众数、中位数、平均数分析：20个数据中，50出现2次，60出现3次，70出现6次，80出现7次，90出现2次，所以由加权平均数公式可得平均数又因为80出现的次数最多，所以众数是80将20个数据从小到大排列，最中间的两个数据都是70，所以这组数据的中位数是70解答：在这20个数据中，80出现了7次，出现的次数最多，即这组数据的众数是80表中的20个数据可看成按从小到大的顺序排列，其中最中间的两个数据都是70，即这组数据的中位数是70 这组数据的平均数是：（502603706807902）2072故20名学生成绩的众数是80分，中位数是70分，平均数是72分例7. 某商场一天中售出运动鞋16双，其中各种尺码的鞋的销量如下表所示：鞋的尺码/厘米23.52424.52526销量/双13462则这16双鞋的尺码组成的一组数据中，众数和中位数分别是多少？通过以上计算，如果商场每10天进一次货，对以上尺码的运动鞋应怎样进货？说明理由分析：运用所学知识对市场经济中某些问题进行科学预测，从而使其合理决策是十分重要的，对商场的销售情况进行了解，通过对数据的计算、处理，从而对以后的进货情况作出了相对准确地估算解答：众数是25，中位数是24.75由知，25码的鞋销售量最大，一天销售了6双，其次是24.5码，24码，26码，23.5码其一天的销售量分别为4双，3双，2双，1双依此估计商场10天的销售量约为：25码60双，24.5码40双，24码30双，26码20双，23.5码10双所以商场可以参照以上数据进货例8. 杂交稻专家袁隆平院士为了考察甲、乙两种水稻，从甲、乙两块实验田中，各任意抽取了10株水稻，测得株高（单位：cm）如下： 甲：78、79、89、82、79、9l、89、82、85、86 乙：76、90、86、87、82、83、85、86、81、84 请问：哪种水稻长得比较整齐？ 分析：要考察哪种水稻长得比较整齐，显然平均数不能反映，需要考察的应是两组数据的离散程度，故需要求方差 解答：（78798986）1084（cm）（76908684）1O84（cm）0.1（7884） 2（7984） 2（8684） 219.8 0.1（7684） 2（9084） 2（8484） 213.2 因为S2甲S2乙，所以乙种水稻长得比较整齐例9. 某校要从A、B两名优秀选手中送一名选手参加全市中学生田径百米比赛，在最近的8次选拔赛中，他们的成绩（单位：秒）如下： A：12.1、l2.5、l3.0、12.5、12.8、12.2、l2.4、12.5；B：12.、12.9、l2.2、13.1、12.2、13.0、12.1、12.9. 他们的平均成绩分别是多少？ 他们这8次比赛成绩的方差是多少？这两名运动员的运动成绩各有什么特点？分析：方差是反映数据波动大小的特征数，当两组数据的平均数相等或比较接近时，方差越小（即越稳定）越好，这是一种思维定势，其实并不然，在实际应用中需结合具体情况具体分析解答：Aa（12.1l2.512.5）8l2.5（秒）， B（12.012.912.9）812.55（秒） S2A（12.112.5） 2 （12.512.5） 2（12.512.5） 2 80.075， S2B（12.0l2.55）2 （12.912.55） 2（12.912.55） 280.1875 可从平均成绩，成绩的稳定性，运动员的潜力等方面去比较 因为AB，故A的平均成绩比B好 又因为S2AS2B，故A的成绩比B更稳定 又因为B的最好成绩比A的最好成绩要好，故B运动员的潜力较大五、课堂小结：请同学们回顾我们这节课学习了什么知识？用自已的语言概括出来。六、布置作业：练习册七、板书设计一、复习1、平均数2、加权平均数3、中位数4、众数二、新课1、方差2、极差例1例2例3