导数文科大题含详细答案.doc

导数文科大题
1. 知函数 ， . 
（1）求函数 的单调区间； 
（2）若关于 的方程 有实数根，求实数 的取值范围.
答案

解析

2. 已知 ,  (1)若 ,求函数 在点 处的切线方程; (2)若函数 在 上是增函数,求实数a的取值范围; (3)令 , 是自然对数的底数);求当实数a等于多少时,可以使函数 取得最小值为3.
解:(1)时,,
′(x), 
′(1)=3,, 
数在点处的切线方程为, 
(2)函数在上是增函数, 
′(x),在上恒成立, 
即,在上恒成立, 
令,当且仅当时,取等号, 
, 
的取值范围为
(3),
′(x), 
①当时,在上单调递减,,计算得出(舍去); 
②当且时,即,在上单调递减,在上单调递增, 
,计算得出,满足条件; 
③当,且时,即,在上单调递减,,计算得出(舍去); 
综上,存在实数,使得当时,有最小值3.
解析(1)根据导数的几何意义即可求出切线方程. 
(2)函数在上是增函数,得到f′(x),在上恒成立,分离参数,根据基本不等式求出答案, 
(3),求出函数的导数,讨论,,的情况,从而得出答案
3. 已知函数 ,  
(1)分别求函数 与 在区间 上的极值; 
(2)求证:对任意 , 
解:(1), 
令,计算得出:,,计算得出:或, 

故在和上单调递减, 
在上递增, 
在上有极小值,无极大值; 
,,则, 
故在上递增,在上递减, 
在上有极大值,,无极小值; 
(2)由(1)知,当时,,, 
故; 
当时,, 
令,则, 
故在上递增,在上递减, 
,; 
综上,对任意,
解析(1)求导,利用导数与函数的单调性及极值关系,即可求得及单调区间及极值; 
4. 已知函数,其中,为自然数的底数.(1)当时,讨论函数的单调性;
(2)当时,求证:对任意的,.
解:(1)当时,,
则,
,
故则在R上单调递减.
(2)当时,,要证明对任意的,.
则只需要证明对任意的,.
设,
看作以a为变量的一次函数,要使,
则,即,
恒成立,①恒成立,
对于②,令,则,
设时,,即.
,,
在上,,单调递增,在上,,单调递减,
则当时,函数取得最大值
,
故④式成立,综上对任意的,.
解析:(1)求函数的导数,利用函数单调性和导数之间的关系进行讨论即可.
(2)对任意的,转化为证明对任意的,,即可,构造函数,求函数的导数,利用导数进行研究即可.
5. 已知函数  
(1)当 时,求函数 在 处的切线方程; 
(2)求 在区间 上的最小值.
解:(1)设切线的斜率为k. 
因为,所以,
所以,
所以所求的切线方程为,即
(2)根据题意得, 令,可得

①若,则, 
当时,,则在上单调递增. 
所以
②若,则, 当时,,则在上单调递减. 所以
③若,则, 
所以,随x的变化情况如下表: 
x
1

2

0
-
0
+
0

-e
Φ
极小值
Γ
0
所以的单调递减区间为,单调递增区间为
所以在上的最小值为
综上所述:当时,; 
当时,; 
当时,
解析(1)设切线的斜率为k.利用导数求出斜率,切点坐标,然后求出切线方程. 
(2)通过,可得.通过①,②,③,判断函数的单调性求出函数的最值.
6. 已知函数。（I）求f(x)的单调区间；
（II）若对任意x∈［1，e］，使得g(x)≥－x2＋（a＋2）x恒成立，求实数a的取值范围；（III）设F（x）＝，曲线y＝F（x）上是否总存在两点P，Q，使得△POQ是以O（O为坐标原点）为钝角柄点的钝角三角开，且最长边的中点在y轴上？请说明理由。
解：（Ⅰ）∵   
∴当 、 时， 在区间 、 上单调递减. 
当 时， 在区间 上单调递增.         ………3分 
（Ⅱ）由 ，得 ． 
∵ ，且等号不能同时取得，∴ ， 
∵对任意 ，使得 恒成立， 
∴ 对 恒成立，即 ．( ) 
令 ，求导得， ，     ………5分 
∵ ， 
∴ 在 上为增函数， ， ．           ………7分 

（Ⅲ）由条件， ， 
假设曲线 上总存在两点 满足： 是以 为钝角顶点的钝角三角形，且最长边的中点在 轴上，则 只能在 轴两侧. 
不妨设 ，则 ． 
∴ ，  …（※）， 
是否存在 两点满足条件就等价于不等式（※）在 时是否有解．………9分 
①    若 时， ，化简得 ，对 此不等式恒成立，故总存在符合要求的两点P、Q；                   ………11分 
②    若 时，（※）不等式化为 ，若 ,此不等式显然对 恒成立，故总存在符合要求的两点P、Q； 
若a>0时，有 …（）， 
设 ，则 ， 
显然， 当 时， ，即 在 上为增函数， 
的值域为 ，即 ， 
当 时，不等式（）总有解．故对 总存在符合要求的两点P、Q. ……13分 
综上所述，曲线 上总存在两点 ，使得 是以 为钝角顶点的钝角三角形，且最长边的中点在 轴上.                               ………14分
7. 已知函数为常数).(Ⅰ)若a=-2,求函数f(x)的单调区间；(Ⅱ)若当时,恒成立,求实数a的取值范围.
解：(Ⅰ)a=-2时,
；
时,
时,f'(x)>0,
函数f(x)的单调递减区间是(0,1],单调递增区间为
(Ⅱ)由已知条件得：
；

且等号不能同时取；

令 

；

在[1,e]上为增函数；
在[1,e]上的最大值为：；
的取值范围为：
8. 已知函数(1)若,试判断在定义域内的单调性;
(2)若在上恒成立,求a的取值范围.
解:(1)函数,
函数的定义域为,函数的导数,
当,,此时函数单调递增.
(2)若在上恒成立,即在上恒成立,
即,令,只要求得的最大值即可,
,,
,,
,即在上单调递减,
9. 已知函数
(1)若,试判断在定义域内的单调性;
(2)若在上恒成立,求a的取值范围.
答案详解
解:(1)函数,
函数的定义域为,
函数的导数,
当,,此时函数单调递增.
(2)若在上恒成立,
即在上恒成立,
即,
令,只要求得的最大值即可,
,,
,,
,
即在上单调递减,
10. 设函数
(Ⅰ)若函数在上单调递增,求实数a的取值范围;
(Ⅱ)当时,求函数在上的最大值.
答案
解:(Ⅰ)的导数为,
函数在上单调递增,
即有在上恒成立,
则在上恒成立.
因为,
则,计算得出;
(Ⅱ),
,
当时,,,;
,,;
,,
令,
,
,,,,

,
即,
,
单调递减,单调递增,
,
,,
当时,
,
函数在上的最大值为.
解析
(Ⅰ)求出函数的导数,根据题意可得在上恒成立,则在上恒成立.运用指数函数的单调性,即可得到a的取值范围;
Ⅱ)求出导函数,判断出在单调递减,单调递增,判断求出最值.
11. 本小题满分12分）已知函数。
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）当时，恒成立，求的取值范围。
答案详解（1）当时，，则，即切点为，因为，则，故曲线在处的切线方程为：，即。      ......4分
（2），求导得：，      ......5分
令，（）；
①当，即时，，所以在上为增函数，所以在上满足，故当时符合题意；      ......8分
②当，即时，令，得，

当时，，即，所以在为减函数，所以，与题意条件矛盾，故舍去。      ......11分
综上，的取值范围是。      12分
解析:本题主要考查导数在研究函数中的应用。
（1）将代入，求出得到切点坐标，求出得切线斜率，即可得切线方程；
（2）根据题意对的取值范围进行分讨论，利用导数来研究函数的单调性，进而判断与的关系，便可得出的取值范围。
12. 已知函数，是的导函数（为自然对数的底数）（Ⅰ）解关于的不等式：；
（Ⅱ）若有两个极值点，求实数的取值范围。
答案（Ⅰ），。
当时，无解；当时，解集为；
当时，解集为。
（Ⅱ）若有两个极值点，则是方程的两个根。
，显然，得：。
令， 。若时，单调递减且；
若时，当时，,在上递减；
当时，，在上递增。
。
要使有两个极值点，需满足在上有两个不同解，得，即。
解析本题主要考查利用导函数求解函数问题。
(Ⅰ）原不等式等价于，分，，和讨论可得；
（Ⅱ）设，则是方程的两个根，求导数可得，若时，不合题意，若时，求导数可得单调区间，进而可得最大值，可得关于的不等式，解之可得。
13. 已知函数,.
(Ⅰ)如果函数在上是单调增函数,求a的取值范围;
(Ⅱ)是否存在实数,使得方程在区间内有且只有两个不相等的实数根?若存在,请求出a的取值范围;若不存在,请说明理由. 
解:(Ⅰ)当时,在上是单调增函数,符合题意.
当时,的对称轴方程为,
因为在上是单调增函数,
所以,计算得出或,所以.
当时,不符合题意.综上,a的取值范围是.
(Ⅱ)把方程整理为
,即为方程.
设,
原方程在区间内有且只有两个不相等的实数根,
即为函数在区间内有且只有两个零点

令,因为,计算得出或(舍)
当时,,是减函数;
当时,,是增函数.
在内有且只有两个不相等的零点,
只需即
计算得出,
所以a的取值范围是. 
解析:(1)因为函数的解析式中含有参数a,故我们要对a进行分类讨论,注意到a出现在二次项系数的位置,故可以分,,三种情况,最后将三种情况得到的结论综合即可得到答案.
(2)方程整理为构造函数,则原方程在区间内有且只有两个不相等的实数根即为函数在区间内有且只有两个零点,根据函数零点存在定理,结合函数的单调性,构造不等式组,解不等式组即可得到结论. 
14. 设函数(1)若,求函数的单调区间. (2)若曲线在点处与直线相切,求a,b的值.
解:(1)当时,,, 
令,则或; 
,则
函数的单调递增区间为和,递减区间为
(2), 
曲线在点处与直线相切, 
, 即解之,得,.
解析
(1)当时,求出的导函数,令,得出函数的单调增区间,反之得出单调减区间; 
(2)求出函数的导函数,得出,求出a和b.
15.

16. 已知函数，且.
（1）若在处取得极小值，求函数的单调区间；
（2）令，若的解集为，且满足，
求的取值范围。
答案：F'(-1)=0 则a-2b+c=0;
（1）若F(x)在x=1处取得最小值-2，则F'(1)=0，a+2b+c=0，则b=0,c=-a。
F(1)=-2，，则 a=3,c=-3。
，x∈（-∞，-1）时，F'(x)>0，函数F(x)单调递增；
x∈（-1，1）时，F'(x)<0，函数F(x)单调递减;
x∈（1，∞）时，F'(x)>0，函数F(x)单调递增。
（2）令，，，则，即，得即
17.

18. 设直线是曲线的一条切线，．
（1）求切点坐标及的值；
（2）当时，存在，求实数的取值范围．
答案
（1）解：设直线与曲线相切于点，
,
 , 解得或,

当时，，在曲线上，∴,
当时，，在曲线上，∴,
切点，，
切点， ．
(2)解法一：∵，∴，设，若存在，则只要，
， (ⅰ)若即，令，得，    ，∴在上是增函数，令，解得，在上是减函数，，,解得，
(ⅱ)若即，令，解得，， ∴在上是增函数，  ，不等式无解，不存在，
综合（ⅰ）（ⅱ）得，实数的取值范围为．
解法二：由得,  (ⅰ)当时，，设若存在，则只要，…8分，令  解得在上是增函数，令，解得 在上是减函数，，，
（ⅱ）当时，不等式 不成立，∴不存在，
综合（ⅰ）（ⅱ）得，实数的取值范围为．
19. 已知函数 在点 处的切线与直线 平行. （1）求 的值； （2）若函数 在区间 上不单调，求实数 的取值范围； （3）求证：对任意 时， 恒成立.
答案

20. 已知函数 ,  
(Ⅰ)求曲线 在点 处的切线方程; 
(Ⅱ)若方程 有唯一解,试求实数a的取值范围.
答案
解:(Ⅰ),又, 
可得切线的斜率, 
切线方程为,即; 
(Ⅱ)方程有唯一解有唯一解, 
设, 
根据题意可得,当时,函数与的图象有唯一的交点. 
, 
令,得,或,在上为增函数, 
在、上为减函数, 
故,, 
如图可得,或
解析(Ⅰ)求得函数的导数,可得切线的斜率和切点,由点斜式方程,可得所求切线的方程; 
(Ⅱ)方程有唯一解有唯一解,设,求得导数和单调区间、极值,作出图象,求出直线和的图象的一个交点的情况,即可得到所求a的范围.
21. 已知函数(Ⅰ)讨论的单调性
(Ⅱ)若时,都成立,求a的取值范围.
解:(Ⅰ)函数的定义域为,函数的的导数,
当时,,此时函数单调递增,
当时,,
由,计算得出,由,计算得出,
函数在上增函数,则是减函数.
(Ⅱ)令,
,
当,即时,
       x

+
        0
-

↗
     极大值
↘
,计算得出
;
(2)当即时,在上无最大值,故不可能恒小于0,故不成立.
综上所述a的取值范围为.
解析(Ⅰ)求函数的导数,即可讨论函数的单调性;
(Ⅱ)令,利用导数求得函数的最大值为,只要有即可求得结论.
22. 已知函数  
(1)若曲线 在点 处的切线斜率为 ,求函数 的单调区间; (2)若关于x的不等式 有且仅有两个整数解,求实数m的取值范围.
解:(1)函数的导数为: 
f′(x), 
可得在点处的切线斜率为f′(1), 
计算得出,即有的导数为f′(x), 
由f′(x)可得或;由f′(x)可得
可得的单调增区间,;单调减区间为; 
(2)关于x的不等式即为,① 
对于,当时,,
当时,,
①即为,令, 
g′(x),令,h′(x), 
又,,在R上递增, 
可得,使得, 
则在递增,在递减, 
在处取得极大值,又, 
则关于x的不等式有且仅有两个整数解, 
只需有且仅有两个整数解, 
则,计算得出
解析(1)求出的导数,可得切线的斜率,解方程可得,进而由导数大于0,得增区间;导数小于0,得减区间; 
(2)根据题意可得即为,讨论x的符号,确定,即有 
,令,求出导数,再令令,求得导数,判断单调性和极值点,求得的单调区间,可得极值,结合条件可得不等式组,解不等式可得m的范围.
23. 知函数  
(1)若 ,则当 时,讨论 单调性; 
(2)若 , ,且当 时,不等式 在区间 上有解,求实数a的取值范围.
解:(1),, 
, 
令,得, 
当时,,函数在定义域内单调递减 
当时,在区间, 
在区间上单调递增, 
当时,在区间上,单调递减, 
在区间上,单调递增; 
(2)根据题意知,当时,在上的最大值, 
当时,, 
则
①当时,, 
故在上单调递增,
②当时时,设的两根分别为:, 
则故在上单调递增,, 
综上,当时,在上单调递增, 
, 
所以实数a的取值范围是
解析(1)求出函数的导数,通过讨论a的范围,求出函数的单调区间即可; 
(2)求出的导数,通过讨论a的范围求出的最大值是,求出a的范围即可.

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