1、中国科学技中国科学技术大学近代力学系大学近代力学系主主讲：黄生洪：黄生洪0 绪论0.1 张量概念的引入物理世界t标量矢量u温度u密度 u高度u位移u速度u作用力值+方向S1,S2,S3e3e1e2共性：u标示客观物理量u具有坐标不变性u满足客观的数学运算规则以上量是否能描述物质世界所有的物理状态一微元受力状态要描述清楚，则需要知道每个微元表面的受力情况P应力矢量（表面力）e3e2e1把应力矢量分解到三个坐标方向9个相关联的数ABCPx2x1x3根据力平衡调整四面体三角形，n方向可以任意底面向P点收缩体积力趋于0也就是说，只要知道这9个相互关联的量，则该点任意方向的应力矢量均可以得到，它们确定了
2、该点的受力状态，显然，再用标量、矢量来定义均不合适，于是引入“张量”来描述应力张量张量定义u 一种广义向量,它有超过三个的分量,每个分量是特定维数空间中的任意一个点的坐标函数u 张量是与标量和向量相对来说的,或者说是向量的推广u 张量实际上是标量，向量，线性算子的母概念，可以描述更复杂的物理规律或状态以上是感性的定义，严格的数学定义将在后面给出0.2 张量的特点与应用描述复杂的物理定律非常简单弹性力学平衡方程弹性力学平衡方程张量方程“,”表示求导j：哑标i：自由标 表达式简洁；如 用张量写出的方程（张量方程），与参考系无关，亦即在所有参考系中都成立。张量代数与线性代数密不可分，但二者不等同，张
3、量代数有自己的体系及侧重。1 矢量与张量1.1 矢量及其代数运算公式1.1.1矢量的定义、表示不变量记法：分量记法：满足一定坐标变换关系的有序数指标记法矢量的规则矢量的关系：矢量空间，线性相关、无关，互表1.1.2 矢量的运算u点积指标记法表示爱因斯坦求和约定若指标中有两个相同，表示在默认范围内求和i=1,2,3u叉积偶排列奇排列置换符号u混合积根据叉积指标记法，容易推得1.1.21证明1.2 斜角直线坐标系的基矢量与矢量分量哑标替换逆变分量协变分量三维情况1.3 曲线坐标系的基矢量与矢量分量1.4 坐标转换1.5 并矢与并矢式1.6 张量的解析定义与表示矢量的解析定义与表示1）三维空间中的3个有序数集合2）坐标转换时满足：线性齐次变换张量的解析定义与表示1）三维空间中的32个有序数集合2）坐标转换时满足：2次线性齐次变换有序数集合为张量推广1）n维空间中的nm个有序数集合2）坐标转换时满足：m次线性齐次变换有序数集合为n维空间m阶张量并矢与张量度量张量：
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