椭圆双曲线抛物线综合测试题.docx

椭圆、双曲线、抛物线综合测试题
一 选择题（本大题共12小题，每题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的）
1设双曲线的一个焦点为，则双曲线的离心率为( ).
A B 2 C D
2椭圆的左、右焦点分别为，一直线经过交椭圆于、两点，则的周长为（ ）
A 32 B 16 C 8 D 4
3 两个正数、的等差中项是，等比中项是，则椭圆的离心率为（ ）
A B C D
4设、是双曲线的两个焦点，是双曲线上的一点，且3=4，
则的面积为（ ）
A B C 24 D 48
5 是双曲线=1的右支上一点，M、N分别是圆和=4上的点，则的最大值为（ ）
6 7 8 9
6已知抛物线上的动点在轴上的射影为点，点，则的最小值为（ ）
A B C D
7 一动圆与两圆和都外切，则动圆圆心的轨迹为（ ）
A 圆 B 椭圆 C 双曲线 D 抛物线
8若双曲线的焦点到渐近线的距离等于实轴长，则双曲线的离心率为（ ）
A B C D 2
9抛物线上到直线距离最近的点的坐标（ ）
A B C D
10已知是椭圆的半焦距，则的取值范围（ ）
A B C D
11方程0与1表示的曲线在同一坐标系中图象可能是（ ）

o
D

o
C

o
B

o
A

12若是抛物线的动弦，且，则的中点M到轴的最近距离是（ ）
A B C D －
二 填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分.把答案填写在题中横线上）
13 设、分别是双曲线的左、右焦点，是双曲线上一点，且=60，
=，离心率为2，则双曲线方程的标准方程为 ．
14 已知椭圆与双曲线，有共同的焦点、，点是双曲线与椭圆的一个交点，则= ．
15 已知抛物线上一点A到其焦点的距离为，则= ．
16已知双曲线=1的两条渐近线的夹角为，则双曲线的离心率为 ．

三 解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（10分）求适合下列条件的双曲线的标准方程：
⑴ 焦点在轴上，虚轴长为12，离心率为；
⑵ 顶点间的距离为6，渐近线方程为.

18．（12分）在平面直角坐标系中，已知两点及．动点Q到点A的距离为10，线段BQ的垂直平分线交AQ于点P．
⑴求的值；
⑵写出点的轨迹方程．

19．（12分）设椭圆的左、右焦点分别为、，过右焦点且与轴垂直的直线与椭圆相交，其中一个交点为．
⑴求椭圆的方程；
⑵设椭圆的一个顶点为，直线交椭圆于另一点，求的面积．

20．（12分）已知抛物线方程，过点作抛物线的两条切线、，切点为、．
⑴求证：直线过定点；
⑵求（O为坐标原点）面积的最小值．

21 ．（12分）已知双曲线的左、右焦点分别为、，点在双曲线的右支上，且=3|．
⑴求双曲线离心率的取值范围，并写出取得最大值时，双曲线的渐近线方程；
⑵若点的坐标为，且=0，求双曲线方程．

22．（12分）已知O为坐标原点，点、、、满足=，，，⊥，∥．
⑴求当变化时，点的轨迹方程；
⑵若是轨迹上不同于的另一点，且存在非零实数使得，
求证：=1.

参考答案

1A 提示：根据题意得==4，∴=2，∴=
=．故选A．
2B 提示：的周长=+==16.故选B．
3C 提示：根据题意得，解得3，2，∴=，∴=．
x
y
P
M
N
O
F
F
2题图
4C 提示：∵是双曲线上的一点，且3=4，
－=2，解得=8，=6，又==10，∴是直角三角形，==24.故选C．
5 D 提示：由于两圆心恰为双曲线的焦点，+1，
，
∴≤+1—（）
=—+3=+3=9.
6A 提示：设为点到准线的距离，为抛物线的焦点，由抛物线的定义及数形结合得，=－1+=+－1≥－1=．故选A．
7C 提示：设圆的圆心为，半径为1，圆的圆心为，为动圆的圆心，为动圆的半径，则==1，
所以根据双曲线的定义可知．故选C．
8C 提示：设其中一个焦点为，一条渐近线方程为，根据题意得=，化简得，∴ ====．故选C．
9 B 提示：设为抛物线上任意一点，则点到直线的距离为=，∴当时，距离最小，即点．故选B．
10 D 提示：由于≤=2，则≤，
又，则＞1.故选D．
11 C 提示：椭圆与抛物线开口向左．
12 D 提示：设，，结合抛物线的定义和相关性质，则的中点M到轴的距离为==，显然当过焦点时，其值最小，即为－．故选D．
二 填空题

13 提示：设双曲线方程为，∵，∴．∵=，∴×=48.+-2，解得，∴=4，=12.
14 提示：根据题意得，解得，．∴=．
15 提示：利用抛物线的定义可知4=，=．
16 提示：根据题意得，，∴，∴．
三 解答题
17解：⑴因为焦点在轴上，设双曲线的标准方程为，
∴，解得 ，，，∴双曲线的标准方程为．
⑵设以为渐近线的双曲线的标准方程为，
① 当时，2=6，解得，此时所求的双曲线的标准方程为；
② 当时，2=6，解得，此时所求的双曲线的标准方程为．
18解：⑴ 因为线段BQ的垂直平分线交AQ于点P，∴=，
∴=+==10；
⑵由⑴知=10（常数），又=10＞6=，∴点的轨迹是中心在原点，以为焦点，长轴在轴上的椭圆，其中，所以椭圆的轨迹方程为．
19解：⑴∵⊥轴，∴，根据题意得，解得，
∴所求椭圆的方程为：．
⑵ 由⑴可知，∴直线的方程为，∴，
解得点的纵坐标为，∴===．
20解：⑴设切点，，又，
则切线的方程为：，即；
切线的方程为：，即，又因为点是切线、的交点，∴ ， ，
∴过、两点的直线方程为，即，
∴直线过定点．
⑵ 由，解得=0，∴，．
∴==2=2≥16.
当且仅当时，（O为坐标原点）面积的最小值
21解：⑴∵－=，=3|，∴=3，=，
由题意得+≥，∴4≥2，∴≤2，又因为，∴双曲线离心率的取值范围为．故双曲线离心率的最大值为2.
⑵∵=0，∴+=，即，即，
又因为点在双曲线上，∴=1，∴=1，
解得 ，，∴所求双曲线方程为；=1.
22解⑴设，则由得点是线段中点，∴，则=，又因为=，=，
∵ ⊥， ∴ ， ①
∵ ∥，∴ =0，即 ②
由 ①和②消去参数得 ．
⑵证明：易知是抛物线的焦点，由，得、、三点共线，即为过焦点的弦．
①当垂直于轴时，结论显然成立；
② 当不垂直于轴时，设，，直线的方程为，
∴，整理得，∴，1，
∴===1.