概率论考试题目.pptx

2、分球入盒、分球入盒问题例例2 2：将将3 3个球随机的放入个球随机的放入3 3个盒子中去，个盒子中去，问：（1 1）每盒恰有一球的概率是多少？）每盒恰有一球的概率是多少？（2 2）空一盒的概率是多少？）空一盒的概率是多少？解解:设A:A:每盒恰有一球每盒恰有一球,B:,B:空一盒空一盒1随机分组问题：3.分分组问题例例3：30名学生中有名学生中有3名运名运动员，将，将这30名学生平均分名学生平均分成成3组，求：（求：（1）每）每组有一名运有一名运动员的概率；的概率；（2）3名运名运动员集中在一个集中在一个组的概率。的概率。解解:设A:每每组有一名运有一名运动员;B:3名运名运动员集中在一集中在一组2例例4 设袋中装有袋中装有 a只只红球和球和 b (b3)只只白球白球,从中从中连续取球四次取球四次,每次取一球每次取一球,取取后不放回后不放回,试求第四次才取到求第四次才取到红球的概率球的概率 解解:Ai:“第第 i次取到白球次取到白球”(i=1,2,3,4)则:“第四次取到第四次取到红球球”:“第四次才取到第四次才取到红球球”3故故:4例例5 市市场上有甲，乙，丙三家工厂生上有甲，乙，丙三家工厂生产同一品牌同一品牌商品，已知三家工厂的市商品，已知三家工厂的市场占有率是，且三家工占有率是，且三家工厂的次品率是厂的次品率是0.02，0.01，0.03，试求市求市场上上该品品牌的次品率牌的次品率？解解:B:“买到的是次品到的是次品”A1:“次品取自甲厂次品取自甲厂”A2:“次品取自乙厂次品取自乙厂”A3:“次品取自丙厂次品取自丙厂”三、全概率公式和三、全概率公式和贝叶斯公式叶斯公式5例例5 市市场上有甲，乙，丙三家工厂生上有甲，乙，丙三家工厂生产同一品牌商品，已知三家工厂的市同一品牌商品，已知三家工厂的市场占占有率是，且三家工厂的次品率是，已知有率是，且三家工厂的次品率是，已知取到一件次品，取到一件次品，试求求该品牌的次品取自品牌的次品取自甲厂的概率甲厂的概率？解解:B:“买到的是次品到的是次品”A1:“次品取自甲厂次品取自甲厂”60.02，0.01,0.03例例1 有三批种子有三批种子,发芽率分芽率分别为0.9,0.8,0.85,在在这三批种子中各任取一粒三批种子中各任取一粒,求取求取得的三粒种子中至少有一粒能得的三粒种子中至少有一粒能发芽的概芽的概率率 解解:A:“取得的三粒种子中至少有一粒能取得的三粒种子中至少有一粒能 发芽芽”Ai:“由第由第i批种子中取得的一粒种子能批种子中取得的一粒种子能 发芽芽”(i=1,2,3)A1,A2,A3相互独立相互独立,且且A=A1A2A3三、独立性的概念在三、独立性的概念在计算概率中的算概率中的应用用7例例2 设袋中有袋中有3个个红球球,2个个绿球球,连续不返回地从袋中取球不返回地从袋中取球,直到取到直到取到红球球为止止设此此时取出了取出了X个个绿球球.试求求:(1)X的分布律的分布律(2)X的分布函数的分布函数 F(x)(3)8解解:(1)X可能的取可能的取值为0,1,2 且且 故故X的分布律的分布律为:X 0 1 2P 0.6 0.3 0.1设袋中有袋中有3个个红球球,2个个绿球球,连续不返不返回地从袋中取球回地从袋中取球,直到取到直到取到红球球为止止.设此此时取出了取出了X个个绿球球.试求求:9(2)当当x0时,Xx为不可能事件不可能事件 得得:F(x)=PXx=0 当当0 x1时,得得:F(x)=PXx=PX=0=0.6 Xx=X=0 x 012Xx012X10当当1x2时,又又X=0与与X=1互不相容互不相容得得:F(x)=PXx=PX=0+PX=1 =0.6+0.3=0.9Xx=X=0X=1x012X当当x2时,Xx为必然事件必然事件 x012X110.90 1 2 x得得:F(x)=PXx=1 注注:左左闭右开右开10.612(3)=0.3+F(2)F(1)=0.3+1 0.9=0.4P(1X2)=P(X=11X2)=P(X=1)+P(1X2)13例例1 设连续型随机型随机变量量X的概率密度的概率密度为 f(x)=Ae|x|,x+试求求:(1)常数常数A (2)P(0X1)(3)X的分布函数的分布函数 解解:(1)=2A=114(2)P(0X0 x0 f(x)=Ae|x|,x0 FY(y)=P(Yy)=P(eXy)FY(y)=P()=0fY(y)=F Y(y)=0FY(y)=P(Xlny)17即即 本例用到本例用到变限的定限的定积分的求分的求导公式公式:18求求:(1)常数常数C (2)(X,Y)的分布函数的分布函数 (3)P0X1,00,y0时:=(1 e 3x)(1 e 4y)当当x,y为其它情形其它情形时:F(x,y)=020注注:“其它情形其它情形”不能写成不能写成“x0,y0”,并不同于一并不同于一维分布分布(3)P0X1,0Y2=F(1,2)F(1,0)F(0,2)+F(0,0)=(1 e 3)(1 e 8)或或21222324例例2 设随机随机变量量(X,Y)的概率密度的概率密度为求求:X和和Y的的边缘概率密度概率密度解解:0,其它其它=0 x125=0,其它其它0y226例例2 2 一个袋中有三个球,依次标有数字 1,2,2,从中任取一个,不放回袋中,再任取一个,设每次取球时,各球被取到的可能性相等,以 X,Y 分别记第一次和第二次取到的球上标有的数字,求 (X,Y)的分布律与分布函数.(X,Y )的可能取的可能取值为解解27故故(X,Y )的分布律的分布律为下面求分布函数下面求分布函数.282930所以所以(X,Y)的分布函数的分布函数为31例例3 设X与与Y相互独立相互独立,它它们的概率密度的概率密度分分别为:试求求:Z=X+Y的概率密度的概率密度(一般函数求一般函数求导法法)解解:32当当z0时,当当0z1时,xy0 z 1fZ(z)=0=z 1+e zfZ(z)=FZ(z)=1 e z33当当z1时,0 1 zxy综合合,得得:=1+e z e1 zfZ(z)=FZ(z)=(e 1)e z34例例2 设(X,Y)的概率密度的概率密度为求求Cov(X,Y)、XY解解:同理同理,得得:35有有:Cov(X,Y)=E(XY)E(X)E(Y)D(X)=E(X2)E2(X)同理同理,得得:36有有:37