李雅普诺夫直接法.ppt

6.5 李雅普诺夫直接法李雅普诺夫直接法 李雅普诺夫直接法是一种不需要对方程进行求解就可以判定平衡点稳定与否的的定性方法。用李雅普诺夫直接法进行判断所确定的稳定性称为李雅普诺夫意义下的稳定性。1、适用情形当非线性电路的平衡点是非双曲平衡点，即其对应线性化后的矩阵A的特征值至少有一个是零实部时，平衡点的稳定性可以采用李雅普诺夫直接法（Liapunov direct methord）判定。2、平衡点按李雅普诺夫意义稳定的定义设描述电路的微分方程为 ，其中 是一个列向量，是其平衡点，是偏离平衡点 的任一轨道，而且轨道上的起始点 与平衡点的偏离非常微小，并用 代表起始点 到平衡点的距离。如果对于任意给定的 ，存在 ，使得对任何起始点 ，只要距离 ，且对所有的t都有 成立，就称平衡点是按李雅普诺夫意义稳定的。若还有 成立，则称平衡点是按李雅普诺夫意义渐近稳定的。如果不存在 ，称平衡点为不稳定的。二阶系统稳定的几何意义如图所示，粗黑线代表平衡点位置，始终有 ，曲线 为在平衡点邻域内从起始点 出发的轨道。圆柱体半径 ，在相平面上的投影为圆；若原点是稳定的，则从 内开始的轨道不会到达圆柱的柱面上，更不会穿过圆柱面；若原点为渐近稳定，则当 时，；若不稳定，则当 时，将到达柱面或穿过柱面跑到外面去，其中 是一个有限的时间。李雅普诺夫直接法判断平衡点的稳定性在于 了一个具有能量的一般性质的标量函数 ，对于一个动态非线性电路，总可 以列出n个动态变量的状态方程。可以设 总储能为 。电路中除了动态元件 外，还会有吸收或发出能量的正负电阻元 件。在这样的情况下，状态变量空间中 的任一条轨道上点的移动时，相应的能 量函数应是趋于减小或增加的。能量函数趋于减小时，直到到达轨 上的一个能量极小点为止。这个能量极小点便是电路的一个稳定的平衡点。研究充电的线性电容通过线性电阻和电感的串联组合进行放电的电路，其任意时刻的能量函数表示为 若以 ，为两个直角坐标轴 ，以 为V，画出图形，如下图示。曲面与 （等势面）的平面相交的部分是闭曲线。把对应于V1，V2,V3的闭曲线投影到 平面上得到三条闭曲线，称为等值线。电路中的总储能会随着时间的推移不断地减少，最终到达电路的唯一平衡点原点。通过以上事实，可以用下述方法来证明一个平衡点是渐近稳定的；若能找到一个标量函数W，使在所研究的平衡点具有一个局部最小值，而且随着时间的增加在沿该平衡点附近的所有轨道移动时，W总是减小的，那么该平衡点就是渐近稳定的。如果原点是平衡点且在其邻域中，正定函数 沿着状态方程 的解轨道的时间的导数是非正的，即 则平衡点是稳定的，如果 是正定函数，则平衡点是渐近稳定 的。注意：李雅普诺夫直接法判定平衡点是否未定仅是一个充分条件。因此要给出能确定平衡点 不稳定的定理。平衡点不稳定定理：设原点是平衡点且在其邻域中存在一个标量函数 ，当x=0时有 。若函数 沿着状态方程 的解轨道的时间导数是 是正定函数，而且在任意接近平衡点处至少有一点 ，使得 0,则原点是不稳定平衡点。例题6.4（课本p165-p167）谢谢大家！