1、 常微分方程 绵阳师范学院2.4 奇解与包络奇解与包络2.4.1 奇解奇解1.6节节 方程方程通解通解:及一个特解及一个特解:特解曲线上的每一点特解曲线上的每一点唯一性被破坏唯一性被破坏.1 常微分方程 绵阳师范学院定定义2.3:微分方程的某一解称为微分方程的某一解称为奇解奇解,如果在这个解如果在这个解的积分曲线上每一点还有方程的另外一个的积分曲线上每一点还有方程的另外一个解存在解存在.2.4.2 不存在奇解的判不存在奇解的判别法法 奇解只能存在于不奇解只能存在于不满足解的存在唯一性条件的足解的存在唯一性条件的区域上区域上-这由解的存在唯一性定理保由解的存在唯一性定理保证.(P103例例)2
2、常微分方程 绵阳师范学院1 包包络的定的定义定定义2.4：给定的单参数曲线族：给定的单参数曲线族：曲线族曲线族(2.10)的的包包络是指是指这样的曲的曲线,它本身不包含在它本身不包含在曲曲线(2.10)中中,但但过这曲曲线的每一点有的每一点有(2.10)中的一中的一条曲条曲线和它在和它在这点相切点相切.2.4.3 包络线及奇解的求法包络线及奇解的求法3 常微分方程 绵阳师范学院其中其中为参数参数.若存在一条曲若存在一条曲线 满足下列条件足下列条件:对于给定的一个单参数曲线族：对于给定的一个单参数曲线族：(1)(2)对任意的对任意的 存在唯一的存在唯一的使得使得则称称为曲曲线族族的一条包的一条包
3、络线,简称称为包包络.且且与与在在有相同的切有相同的切线.或定义：或定义：定理定理2.6 一一阶微分方程微分方程(2.1)的通解的包的通解的包络一定是奇一定是奇解解;反之微分方程的奇解反之微分方程的奇解(若存在若存在)也是方程的包也是方程的包络.4 常微分方程 绵阳师范学院例如例如单参数曲参数曲线族：族：（其中其中R是常数，是常数，C是参数）表示是参数）表示圆心心为（C,0）而而半径等于半径等于R的一族的一族圆.如如图R从从图形可形可见,此曲此曲线族的包族的包络显然然为:5 常微分方程 绵阳师范学院注注:并不是每个曲并不是每个曲线族都有包族都有包络.例如例如:单参数曲参数曲线族族:(其中其中c
4、为参数参数)表示一族同心表示一族同心圆.如如图从从图形可形可见,此曲此曲线族没有包族没有包络.6 常微分方程 绵阳师范学院问题:对于给定的单参数曲线族对于给定的单参数曲线族:其中其中为参数参数.如何判断它是否有包如何判断它是否有包络?如果有包如果有包络,如何求如何求?根据定根据定义,假假设该单参数曲参数曲线族有包族有包络则对任意的任意的存在唯一的存在唯一的使得使得于是得到于是得到对应关系关系:7 常微分方程 绵阳师范学院从而得到二元函数从而得到二元函数使得使得若若可用参数形式表示可用参数形式表示为:记则于是于是,8 常微分方程 绵阳师范学院由于由于与与在在M点有相同的切点有相同的切线,因因为与
5、与在在M点的切点的切线的斜率的斜率分别为分别为与与所以所以,有有从而从而由于在由于在上不同的点也在不同的上不同的点也在不同的上上,即即因此因此任取一个固定点任取一个固定点M,则M在某一条曲在某一条曲线上上.现在现在9 常微分方程 绵阳师范学院因此因此,包包络线任意一点任意一点M M 不不仅要要满足足而且而且还要要满足足联立方程立方程组:中消去参数中消去参数c c得到的方程得到的方程F(x,y)=0F(x,y)=0所表示的曲所表示的曲线称称为曲曲线族族的的c c-判判别曲曲线10 常微分方程 绵阳师范学院定理定理 2.7曲曲线族族(2.10)(2.10)的包的包络包含在下列两方程包含在下列两方程
6、注注:11 常微分方程 绵阳师范学院解解:记则即即例例1:的包的包络.求曲求曲线族族12 常微分方程 绵阳师范学院因此因此c-判判别曲曲线包括两条曲包括两条曲线(3)和和(4),Oxy13 常微分方程 绵阳师范学院方程方程的奇解包含在由方程组的奇解包含在由方程组注注:奇解的求法奇解的求法14 常微分方程 绵阳师范学院例例2:求微分方程求微分方程的奇解的奇解.解解:从从消去消去p(实际上上p=0),得到得到 p-判判别曲曲线即即由于方程的通解由于方程的通解为:15 常微分方程 绵阳师范学院形如形如的方程，的方程，称称为克莱克莱罗(Clairaut)方程方程.克莱罗（克莱罗（Clairaut）方程
7、方程为求它的解求它的解,令令得得经化化简,得得这是是y已解出的一已解出的一阶微分方程微分方程.16 常微分方程 绵阳师范学院如果如果则得到得到于是于是,Clairaut方程的通解方程的通解为:如果如果它与等式它与等式联立立,则得到得到Clairaut方程的以方程的以p为参数的解参数的解:或或其中其中c为参数参数.消去参数消去参数p便得方程的一个解便得方程的一个解.17 常微分方程 绵阳师范学院结果果:Clairaut方程方程的通解的通解是一直是一直线族族,此直此直线族的包族的包络或或是是Clairaut方程的奇方程的奇积分曲分曲线,所所对应的解是奇解的解是奇解.如果令如果令则因此因此,求得此
8、解的过程正好与从通解中求包络的手续一样求得此解的过程正好与从通解中求包络的手续一样.易验证易验证,此参数曲线恰为通解的包络此参数曲线恰为通解的包络将方程中将方程中导数导数换为换为C C得通解得通解18 常微分方程 绵阳师范学院例例4:求解方程求解方程解解:这是是Clairaut方程方程,因而它有通解因而它有通解:其中其中因因为所以所以从从中消去参数中消去参数c,得到原方程的奇解得到原方程的奇解:将通解关于将通解关于C C求求导导得得19 常微分方程 绵阳师范学院Oxy如如图:故故,此方程的通解是直此方程的通解是直线族族:而奇解是通解的包而奇解是通解的包络:20 常微分方程 绵阳师范学院作业P109 1,2，321
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