2022年蒙古北京八中学乌兰察布分校数学九上期末复习检测试题含解析.doc

2022-2023学年九上数学期末模拟试卷
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题(每小题3分,共30分)
1．小悦乘座中国最高的摩天轮“南昌之星”，从最低点开始旋转一圈，她离地面的高度y（米）与旋转时间x（分）之间的关系可以近似地用二次函数来刻画．经测试得出部分数据如表．根据函数模型和数据，可推断出南昌之星旋转一圈的时间大约是（ ）
x（分）
…
13.5
14.7
16.0
…
y（米）
…
156.25
159.85
158.33
…

A．32分 B．30分 C．15分 D．13分
2．下列函数关系式中，是的反比例函数的是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，抛物线与轴交于点，对称轴为，则下列结论中正确的是（ ）

A．
B．当时，随的增大而增大
C．
D．是一元二次方程的一个根
4．在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，AD：DB=4：5，下列结论中正确的是
A． B． C． D．
5．在△ABC中，∠C＝Rt∠AC＝6，BC＝8，则cosB的值是（ ）
A． B． C． D．
6．化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，⊙C过原点，与x轴、y轴分别交于A、D两点．已知∠OBA=30°，点D的坐标为（0，2），则⊙C半径是（　　）

A． B． C． D．2
8．下列说法正确的是（ ）
A．袋中有形状、大小、质地完全一样的5个红球和1个白球，从中随机抽出一个球，一定是红球
B．天气预报“明天降水概率10%”，是指明天有10%的时间会下雨
C．某地发行一种福利彩票，中奖率是千分之一，那么，买这种彩票1000张，一定会中奖
D．连续掷一枚均匀硬币，若5次都是正面朝上，则第六次仍然可能正面朝上
9．如图，已知与位似，位似中心为点且的面积与面积之比为，则的值为（ ）

A． B．
C． D．
10．如图，一张扇形纸片OAB，∠AOB＝120°，OA＝6，将这张扇形纸片折叠，使点A与点O重合，折痕为CD，则图中未重叠部分（即阴影部分）的面积为（ ）

A．9 B．12π﹣9 C． D．6π﹣
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．若A（-2，a），B（1，b），C（2，c）为二次函数的图象上的三点，则a，b，c的大小关系是__________________．(用“<”连接)
12．如图，在正方形和正方形中，点和点的坐标分别为，，则两个正方形的位似中心的坐标是___________.

13．如图，在中，.动点以每秒个单位的速度从点开始向点移动，直线从与重合的位置开始，以相同的速度沿方向平行移动，且分别与边交于两点，点与直线同时出发，设运动的时间为秒，当点移动到与点重合时，点和直线同时停止运动.在移动过程中，将绕点逆时针旋转，使得点的对应点落在直线上，点的对应点记为点，连接，当时，的值为___________.

14．如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形ODEF和四边形ABCD都是正方形，点F在x轴的正半轴上，点C在边DE上，反比例函数（k≠0，x＞0）的图象过点B，E，若AB=2，则k的值为___．

15．已知袋中有若干个小球，它们除颜色外其它都相同，其中只有2个红球，若随机从中摸出一个，摸到红球的概率是，则袋中小球的总个数是_____
16．已知二次函数y=x2﹣2mx（m为常数），当﹣1≤x≤2时，函数值y的最小值为﹣2，则m的值是_____．
17．如图，在矩形纸片中，将沿翻折，使点落在上的点处，为折痕，连接；再将沿翻折，使点恰好落在上的点处，为折痕，连接并延长交于点，若，，则线段的长等于_____．

18．如图，在半径为5的⊙中，弦，是弦所对的优弧上的动点，连接，过点作的垂线交射线于点，当是以为腰的等腰三角形时，线段的长为_____．

三、解答题(共66分)
19．（10分）用适当的方法解下列一元二次方程：
（1）x（2x﹣5）＝4x﹣1．
（2）x2+5x﹣4＝2．
20．（6分）如图，一次函数图象经过点，与轴交于点，且与正比例函数的图象交于点，点的横坐标是.

请直接写出点的坐标(， )；
求该一次函数的解析式;
求的面积.
21．（6分）已知正方形ABCD，P为射线AB上的一点，以BP为边作正方形BPEF，使点F在线段CB的延长线上，连接EA、EC
(1)如图1，若点P在线段AB的延长线上，求证：EA=EC；
(2)若点P在线段AB上．
①如图2，连接AC，当P为AB的中点时，判断△ACE的形状，并说明理由；
②如图3，设AB=a，BP=b，当EP平分∠AEC时，求a：b及∠AEC的度数．

22．（8分）已知：如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E分别在边BC、DC上，AB2 =BE · DC ，DE:EC=3:1 ，F是边AC上的一点，DF与AE交于点G．
（1）找出图中与△ACD相似的三角形，并说明理由；
（2）当DF平分∠ADC时，求DG:DF的值；
（3）如图，当∠BAC=90°，且DF⊥AE时，求DG:DF的值．

23．（8分）如图，已知直线与轴、轴分别交于点与双曲线分别交于点，且点的坐标为．

（1）分别求出直线、双曲线的函数表达式；

（2）求出点的坐标；
（3）利用函数图像直接写出：当在什么范围内取值时．
24．（8分）如图，内接于，且为的直径．的平分线交于点，过点作的切线交的延长线于点，过点作于点，过点作于点．

（1）求证：；
（2）试猜想线段，，之间有何数量关系，并加以证明；
（3）若，，求线段的长．
25．（10分）某校为了解每天的用电情况，抽查了该校某月10天的用电量，统计如下（单位：度）：
用电量
90
93
102
113
114
120
天数
1
1
2
3
1
2
（1）该校这10天用电量的众数是 度，中位数是 度；
（2估计该校这个月的用电量（用30天计算）.
26．（10分）如图，四边形、、都是正方形．
求证：；
求的度数．

参考答案

一、选择题(每小题3分,共30分)
1、B
【分析】利用二次函数的性质，由题意，最值在自变量大于14.7小于16.0之间，由此不难找到答案．
【详解】最值在自变量大于14.7小于16.0之间，
所以最接近摩天轮转一圈的时间的是30分钟．
故选：B．
【点睛】
此题考查二次函数的实际运用，利用表格得出函数的性质，找出最大值解决问题．
2、C
【分析】根据反比例函数的定义即可得出答案.
【详解】A为正比例函数，B为一次函数，C为反比例函数，D为二次函数，故答案选择C.
【点睛】
本题考查的是反比例函数的定义：形如的式子，其中k≠0.
3、D
【解析】根据二次函数图象的开口方向向下可得a是负数，与y轴的交点在正半轴可得c是正数，根据二次函数的增减性可得B选项错误，根据抛物线的对称轴结合与x轴的一个交点的坐标可以求出与x轴的另一交点坐标，也就是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根，从而得解．
【详解】A、根据图象，二次函数开口方向向下，∴a＜0，故本选项错误；
B、当x＞1时，y随x的增大而减小，故本选项错误；
C、根据图象，抛物线与y轴的交点在正半轴，∴c＞0，故本选项错误；
D、∵抛物线与x轴的一个交点坐标是（−1，0），对称轴是x＝1，
设另一交点为（x，0），
−1＋x＝2×1，
x＝3，
∴另一交点坐标是（3，0），
∴x＝3是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的一个根，
故本选项正确．
故选：D．
【点睛】
本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象的增减性，抛物线与x轴的交点问题，熟记二次函数的性质以及函数图象与系数的关系是解题的关键．
4、B
【分析】根据平行线分线段成比例，相似三角形性质，以及合比性质，分别对每个选项进行判断，即可得到答案.
【详解】解：如图，在△ABC中，DE∥BC，AD∶DB=4∶5，则

∴△ADE∽△ABC，
∴，故A错误；
则，故B正确；
则，故C错误；
则，故D错误.
故选择：B.
【点睛】
本题考查了相似三角形的性质，平行线分线段成比例，合比性质，解题的关键是熟练掌握平行线分线段成比例的性质.
5、C
【分析】利用勾股定理求出AB，根据余弦函数的定义求解即可．
【详解】解：如图，

在中，，，
，
，
故选：C．
【点睛】
本题考查解直角三角形，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
6、B
【解析】根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加计算即可.
【详解】a2•a4=a2+4=a1．
故选：B.
7、B
【解析】连接AD

∵∠AOD=90°，∴AD是圆的直径．
在直角三角形AOD中，∠D=∠B=30°，OD=2，
∴AD= ,则圆的半径是 ．
故选B．
点睛：连接AD．根据90°的圆周角所对的弦是直径，得AD是直径，根据等弧所对的圆周角相等，得∠D=∠B=30°，运用解直角三角形的知识即可求解．
8、D
【解析】试题分析：选项A，袋中有形状、大小、质地完全一样的5个红球和1个白球，从中随机抽出一个球，一定是红球的概率是，本选项错误；选项B，天气预报“明天降水概率10%”，是指明天有10%的概率会下雨，本选项错误；选项C，某地发行一种福利彩票，中奖率是千分之一，那么，买这种彩票1000张，可能会中奖，也可能不中奖，本选项错误；选项D、连续掷一枚均匀硬币，若5次都是正面朝上，则第六次仍然可能正面朝上，本选项正确．故答案选D．
考点：概率的意义
9、A
【分析】根据位似图形的性质得到AC：DF=3：1，AC∥DF，再证明∽，根据相似的性质进而得出答案．
【详解】∵与位似，且的面积与面积之比为9：4，
∴AC：DF=3：1，AC∥DF，
∴∠ACO=∠DFO，∠CAO=∠FDO，
∴∽，
∴AO：OD=AC：DF=3：1．
故选：A．
【点睛】
本题考查位似图形的性质，及相似三角形的判定与性质，注意掌握位似是相似的特殊形式，位似比等于相似比，其对应的面积比等于相似比的平方．
10、A
【分析根据阴影部分的面积=S扇形BDO﹣S弓形OD计算即可．
【详解】由折叠可知，

S弓形AD=S弓形OD，DA=DO．
∵OA=OD，
∴AD=OD=OA，
∴△AOD为等边三角形，
∴∠AOD=60°．
∵∠AOB=120°，
∴∠DOB=60°．
∵AD=OD=OA=6，
∴AC=CO=3，
∴CD=3，
∴S弓形AD=S扇形ADO﹣S△ADO6×36π﹣9，
∴S弓形OD=6π﹣9，
阴影部分的面积=S扇形BDO﹣S弓形OD(6π﹣9)=9．
故选：A．
【点睛】
本题考查了扇形面积与等边三角形的性质，熟练运用扇形公式是解答本题的关键．

二、填空题(每小题3分,共24分)
11、a＜b＜c
【分析】先求出二次函数的对称轴，再根据点到对称轴的距离远近即可解答.
【详解】由二次函数的解析式可知，对称轴为直线x=-1，且图象开口向上，
∴点离对称轴距离越远函数值越大，
∵-1-（-2）=1，
1-（-1）=2，
2-（-1）=3，
∴a＜b＜c，
故答案为：a＜b＜c.
【点睛】
此题主要考查二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的顶点式以及图象上点的坐标特征是解答的关键.
12、或
【分析】根据位似变换中对应点的坐标的变化规律，分两种情况：一种是当点E和C是对应顶点，G和A是对应顶点；另一种是A和E是对应顶点，C和G是对应顶点.
【详解】∵正方形和正方形中，点和点的坐标分别为，
∴
（1）当点E和C是对应顶点，G和A是对应顶点，位似中心就是EC与AG的交点.
设AG所在的直线的解析式为
解得
∴AG所在的直线的解析式为
当时，，所以EC与AG的交点为
（2）A和E是对应顶点，C和G是对应顶点.，则位似中心就是AE与CG的交点
设AE所在的直线的解析式为
解得
∴AE所在的直线的解析式为
设CG所在的直线的解析式为
解得
∴AG所在的直线的解析式为
联立解得
∴AE与CG的交点为
综上所述，两个正方形的位似中心的坐标是或
故答案为或
【点睛】
本题主要考查位似图形，涉及了待定系数法求函数解析，求位似中心，正确分情况讨论是解题的关键.
13、
【分析】由题意得CP=10-3t，EC=3t,BE=16-3t，又EF//AC可得△ABC∽△FEB，进而求得EF的长；如图，由点P的对应点M落在EF上，点F的对应点为点N，可知∠PEF=∠MEN，由EF//AC∠C=90°可以得出∠PEC=∠NEG，又由，就有∠CBN=∠CEP.可以得出∠CEP=∠NEP=∠B,过N做NG⊥BC,可得EN=BN,最后利用三角函数的关系建立方程求解即可；
【详解】解：设运动的时间为秒时；
由题意得：CP=10-3t，EC=3t,BE=16-3t
∵EF//AC
∴△ABC∽△FEB
∴
∴
∴EF=
在Rt△PCE中，PE=
如图：过N做NG⊥BC,垂足为G

∵将绕点逆时针旋转，使得点的对应点落在直线上，点的对应点记为点，
∴∠PEF=∠MEN，EF=EN,
又∵EF//AC
∴∠C=∠CEF=∠MEB=90°
∴∠PEC=∠NEG
又∵
∴∠CBN=∠CEP.
∴∠CBN=∠NEG
∵NG⊥BC
∴NB=EN,BG=
∴NB=EN=EF=
∵∠CBN=∠NEG，∠C=NGB=90°
∴△PCE∽△NGB
∴
∴=，解得t=或-（舍）
故答案为.
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定及性质的运用、三角函数值的运用、勾股定理的运用，灵活利用相似三角形的性质和勾股定理是解答本题的关键.
14、
【详解】解：设E(x,x)，
∴B(2,x+2)，
∵反比例函数 (k≠0,x>0)的图象过点B. E.
∴x2=2(x+2)，
，(舍去)，
，
故答案为
15、8个
【解析】根据概率公式结合取出红球的概率即可求出袋中小球的总个数．
【详解】袋中小球的总个数是：2÷=8（个）．
故答案为8个．
【点睛】
本题考查了概率公式，根据概率公式算出球的总个数是解题的关键．
16、﹣1.5或
【解析】将二次函数配方成顶点式，分m＜-1、m＞2和-1≤m≤2三种情况，根据y的最小值为-2，结合二次函数的性质求解可得．
【详解】y=x2-2mx=（x-m）2-m2，
①若m＜-1，当x=-1时，y=1+2m=-2，
解得：m=-=-1.5；
②若m＞2，当x=2时，y=4-4m=-2，
解得：m=＜2（舍）；
③若-1≤m≤2，当x=m时，y=-m2=-2，
解得：m=或m=-＜-1（舍），
∴m的值为-1.5或，
故答案为：﹣1.5或．
【点睛】
本题考查了二次函数的最值，根据二次函数的增减性分类讨论是解题的关键．
17、．
【分析】根据折叠可得是正方形，，，，可求出三角形的三边为3，4，5，在中，由勾股定理可以求出三边的长，通过作辅助线，可证∽，三边占比为3：4：5，设未知数，通过，列方程求出待定系数，进而求出的长，然后求的长．
【详解】过点作，，垂足为、，
由折叠得：是正方形，，
，，，
∴，
在中，，
∴，
在中，设，则，由勾股定理得，
，
解得：，
∵，，
∴∽，
∴，
设，则，，
∴，，
解得：，
∴，
∴，
故答案为．

【点睛】
考查折叠轴对称的性质，矩形、正方形的性质，直角三角形的性质等知识，知识的综合性较强，是有一定难度的题目．
18、8或
【解析】根据题意，以为腰的等腰三角形有两种情况，当AB=AP时，利用垂径定理及相似三角形的性质列出比例关系求解即可，当AB=BP时，通过角度运算，得出BC=AB=8即可．
【详解】解：①当AB=AP时，如图，连接OA、OB，延长AO交BP于点G，故AG⊥BP， 过点O作OH⊥AB于点H，
∵在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，
∴，
由垂径定理可知，
∴，
在Rt△OAH中，
在Rt△CAP中， ，且
∴，
在Rt△PAG与Rt△PCA中，∠GPA=∠APC，∠PGA=∠PAC，
∴Rt△PAG∽Rt△PCA
∴ ，则，
∴；

②当AB=BP时，如下图所示，∠BAP=∠BPA，
∴在Rt△PAC中，∠C=90°-∠BPA=90°-∠BAP=∠CAB，
∴BC=AB=8
故答案为8或
【点睛】
本题考查了圆的性质及圆周角定理、相似三角形的性质、等腰三角形的判定等知识点，综合性较强，难度较大，解题的关键是灵活运用上述知识进行推理论证．

三、解答题(共66分)
19、（1）x＝2.5或x＝2；（2）x＝．
【分析】（1）利用因式分解法求解可得；
（2）利用公式法求解可得．
【详解】解：（1）∵x（2x﹣5）﹣2（2x﹣5）＝2，
∴（2x﹣5）（x﹣2）＝2，
则2x﹣5＝2或x﹣2＝2，
解得x＝2.5或x＝2；
（2）∵a＝1，b＝5，c＝﹣4，
∴△＝52﹣4×1×（﹣4）＝41＞2，
则x＝．
【点睛】
本题考查因式分解法、公式法解一元二次方程，解题的关键是掌握因式分解法、公式法解一元二次方程.
20、（1）；（2）；（3）1
【分析】（1）根据正比例函数即可得出答案；
（2）根据点A和B的坐标，利用待定系数法求解即可；
（3）先根据题（2）求出点C的坐标，从而可知OC的长，再利用三角形的面积公式即可得.
【详解】（1）将代入正比例函数得，
故点的坐标是；
（2）设这个一次函数的解析式为
把代入，得
解方程组，得
故这个一次函数的解析式为；
（3）在中，令，得
即点的坐标是，
则的面积
故的面积为1.
【点睛】
本题考查了一次函数的几何应用、利用待定系数法求一次函数的解析式，掌握一次函数的图象与性质是解题关键.
21、（1）详见解析；（2）△ACE为直角三角形，理由见解析；（3）∠AEC=45°．
【解析】试题分析：（1）根据正方形的性质和全等三角形的判定定理易证△APE≌△CFE，由全等三角形的性质即可得结论；（2）①根据正方形的性质、等腰直角三角形的性质即可判定△ACE为直角三角形；②根据PE∥CF，得到，代入a、b的值计算求出a：b，根据角平分线的判定定理得到∠HCG=∠BCG，证明∠AEC=∠ACB，即可求出∠AEC的度数．
试题解析：（1）证明：∵四边形ABCD为正方形
∴AB=AC
∵四边形BPEF为正方形
∴∠P=∠F=90°，PE=EF=FB=BP
∵AP=AB+BP,CF=BC+BF
∴CF=AP
在△APE和△CFE中：EP="EF," ∠P="∠F=90°," AP= CF
∴△APE≌△CFE
∴EA=EC
（2）①∵P为AB的中点，
∴PA=PB，又PB=PE，
∴PA=PE，
∴∠PAE=45°，又∠DAC=45°，
∴∠CAE=90°，即△ACE是直角三角形；
②∵EP平分∠AEC，EP⊥AG，
∴AP=PG=a﹣b，BG=a﹣（2a﹣2b）=2b﹣a
∵PE∥CF，
∴，即，
解得，a=b；
作GH⊥AC于H，
∵∠CAB=45°，
∴HG=AG=×2b﹣2b）=（2﹣）b，又BG=2b﹣a=（2﹣）b，
∴GH=GB，GH⊥AC，GB⊥BC，
∴∠HCG=∠BCG，
∵PE∥CF，
∴∠PEG=∠BCG，
∴∠AEC=∠ACB=45°．
∴a：b=：1；∴∠AEC=45°．

考点：四边形综合题．
22、（1）△ABE、△ADC，理由见解析；（2）；（3）
【分析】（1）根据相似三角形的判定方法，即可找出与△ACD相似的三角形；
（2）由相似三角形的性质，得，由DE=3CE，先求出AD的长度，然后计算得到；
（3）由等腰直角三角形的性质，得到∠DAG=∠ADF=45°，然后证明△ADE∽△DFA，得到，求出DF的长度，即可得到.
【详解】解：（1）与△ACD相似的三角形有：△ABE、△ADC，理由如下：
∵AB2 =BE · DC ，
∴．
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，，
∴△ABE∽△DCA．
∴∠AED=∠DAC．
∵∠AED=∠C+∠EAC，∠DAC=∠DAE+∠EAC，
∴∠DAE=∠C．
∴△ADE∽△CDA ．
（2）∵△ADE∽△CDA，DF平分∠ADC，
∴，
设CE=a，则DE=3CE=3a，CD=4a，
∴ ，解得（负值已舍）
∴；
（3）∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠B=∠C=45° ，
∴∠DAE=∠C=45°，
∵DG⊥AE
∴∠DAG=∠ADF=45°，
∴AG=DG=，
∴，
∵∠AED=∠DAC ，
∴△ADE∽△DFA，
∴，
∴，
∴.
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定和性质，正确找出证明三角形相似的条件.
23、（1），；（2）D；（3）．
【分析】（1）把代入得到的值，把代入双曲线得到的值；
（2）把一次函数和反比例函数的解析式联立方程，解方程即可求得；
（3）直线图象在双曲线上方的部分时的值，即为时的取值范围．
【详解】解：（1）把点代入，
得：，
直线的解析式；
把点代入，
得：，
双曲线的解析式；
（2）解得，，
点的坐标为；
（3），的坐标为，
观察图形可知：当时，的取值范围为：．
【点睛】
本题考查了反比例函数与一次函数图象的交点问题：把两函数的解析式联立起来组成方程组，解方程组即可得到它们的交点坐标．也考查了数形结合的思想，利用数形结合解决取值范围的问题，是非常有效的方法．
24、（1）见解析；（2），证明见解析;（3）
【分析】（1）连结OD，先由已知△ABD是等腰直角三角形，得DO⊥AB，再根据切线的性质得OD⊥PD，于是可得到DP∥AB；
（2）由“一线三垂直模型”易得，进而可得．
（3）利用勾股定理依次可求直径AB=10，得，再证明可得，，进而由求得PD即可．
【详解】（1）证明：连结，如图，

∵为的直径，
∴，
∵的平分线交于点，
∴，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∵为的切线，
∴，
∴；
（2）答：，证明如下：
∵是的直径，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
在和中，

∴，
∴，，
∴，
即.
（3）解：在中，，
∵为等腰直角三角形，
∴
∵，
∴为等腰直角三角形，
∴，
在中，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，，
而，
∴，
∴．
【点睛】
本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径．也考查了圆周角定理定理、等腰直角三角形的性质和三角形相似的判定与性质．解题关键是抓住45°角得等腰直角三角形进行解答．
25、（1）113；113；（2）3240度.
【分析】（1）分别利用众数、中位数的定义求解即可；
（2）根据平均数的计算方法计算出平均用电量，再乘以总用电天数即可得解．
【详解】解：（1）113度出现了3此,出现的次数最多，故众数为113度；
将数据按从小到大的顺序排列，共10个数据，位于第5,6的数均为113，故中位数为113度；
（2）（度）．
答：估计该校该月的用电量为3240度．
【点睛】
本题考查的知识点是中位数、众数的概念定义以及算数平均线的计算方法，属于基础题目，易于理解掌握．
26、（1）见解析；（2）45°.
【分析】（1）设正方形的边长为a，求出AC的长为a，再求出△ACF与△GCA中∠ACF的两边的比值相等，根据两边对应成比例、夹角相等，两三角形相似，即可判定△ACF与△GCA相似；（2）根据相似三角形的对应角相等可得∠1=∠CAF，再根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，∠2+∠CAF=∠ACB=45°，所以∠1+∠2=45°．
【详解】设正方形的边长为，则，
∴，
又∵，
∴；
解：由得：，
∴，
∴．
【点睛】
本题主要考查相似三角形的判定，利用两边对应成比例，夹角相等两三角形相似的判定和相似三角形对应角相等的性质以及三角形的外角性质，求出两三角形的对应边的比值相等是解题关键．