广东省惠州仲恺区七校联考2022-2023学年数学九上期末检测模拟试题含解析.doc

2022-2023学年九上数学期末模拟试卷
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题(每小题3分,共30分)
1．口袋中有14个红球和若干个白球，这些球除颜色外都相同，从口袋中随机摸出一个球，记下颜色后放回，多次实验后发现摸到白球的频率稳定在0.3，则白球的个数是( )
A．5 B．6 C．7 D．8
2．用配方法解方程,下列配方正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．定义：如果一个一元二次方程的两个实数根的比值与另一个一元二次方程的两个实数根的比值相等，我们称这两个方程为“相似方程”，例如，的实数根是3或6，的实数根是1或2，，则一元二次方程与为相似方程.下列各组方程不是相似方程的是( )
A．与 B．与
C．与 D．与
4．下列运算中，结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．已知⊙O的半径为4cm，点P在⊙O上，则OP的长为（ ）
A．2cm B．4cm C．6cm D．8cm
6．某天的体育课上，老师测量了班级同学的身高，恰巧小明今日请假没来，经过计算得知，除了小明外，该班其他同学身高的平均数为172，方差为，第二天，小明来到学校，老师帮他补测了身高，发现他的身高也是172，此时全班同学身高的方差为，那么与的大小关系是（ ）
A． B． C． D．无法判断
7．下列运算中，计算结果正确的是（　　）
A．a4•a＝a4 B．a6÷a3＝a2 C．（a3）2＝a6 D．（ab）3＝a3b
8．关于的一元二次方程，则的条件是( )
A． B． C． D．
9．关于二次函数y＝x2+2x+3的图象有以下说法：其中正确的个数是（　　）
①它开口向下；②它的对称轴是过点（﹣1，3）且平行于y轴的直线；③它与x轴没有公共点；④它与y轴的交点坐标为（3，0）．
A．1 B．2 C．3 D．4
10．△ABC在网络中的位置如图所示，则cos∠ACB的值为（　　）

A． B． C． D．
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．长度等于6的弦所对的圆心角是90°，则该圆半径为_____．
12．如图，一人口的弧形台阶，从上往下看是一组同心圆被一条直线所截得的一组圆弧．已知每个台阶宽度为32cm（即相邻两弧半径相差32cm），测得AB=200cm，AC=BD=40cm，则弧AB所在的圆的半径为_______________cm

13．已知x=1是一元二次方程x2﹣3x+a=0的一个根，则方程的另一个根为_____.
14．将一枚标有数字1、2、3、4、5、6的均匀正方体骰子抛掷一次，则向上一面数字为奇数的概率等于_____．
15．在一个不透明的口袋中装有5个除了标号外其余都完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4，5，从中随机摸出一个小球，其标号小于4的概率为_____．
16．如图，⊙O是正五边形ABCDE的外接圆，则∠CAD＝_____．

17．如图，绕着点顺时针旋转得到，连接，延长交于点，若，则的长为__________．

18．如图，菱形的顶点在轴正半轴上，顶点的坐标为，以原点为位似中心、在点的异侧将菱形缩小，使得到的菱形与原菱形的相似比为，则点的对应点的坐标为________.

三、解答题(共66分)
19．（10分）（2016山东省聊城市）如图，在直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于关于原点对称的A，B两点，已知A点的纵坐标是1．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）将直线向上平移后与反比例函数在第二象限内交于点C，如果△ABC的面积为48，求平移后的直线的函数表达式．

20．（6分）如图所示是我国古代城市用以滞洪或分洪系统的局部截面原理图，图中为下水管道口直径，为可绕转轴自由转动的阀门，平时阀门被管道中排出的水冲开，可排出城市污水：当河水上涨时，阀门会因河水压迫而关闭，以防止河水倒灌入城中．若阀门的直径为检修时阀门开启的位置，且．

（1）直接写出阀门被下水道的水冲开与被河水关闭过程中的取值范围；
（2）为了观测水位，当下水道的水冲开阀门到达位置时，在点处测得俯角，若此时点恰好与下水道的水平面齐平，求此时下水道内水的深度．（结果保留根号）
21．（6分）关于的一元二次方程.
（1）求证：此方程必有两个不相等的实数根；
（2）若方程有一根为1，求方程的另一根及的值.
22．（8分）如图，在中，，.，平分交于点，过点作交于点，点是线段上的动点，连结并延长分别交，于点，.

（1）求的长.
（2）若点是线段的中点，求的值.
23．（8分）已知二次函数y = x2 -4x + 1．

（1）用配方法将y = x2 -4x + 1化成y = a(x - h)2 + k的形式；
（2）在平面直角坐标系xOy中，画出该函数的图象．
（1）结合函数图象，直接写出y＜0时自变量x的取值范围 ．
24．（8分）某校综合实践小组要对一幢建筑物的高度进行测量.如图，该小组在一斜坡坡脚处测得该建筑物顶端的仰角为，沿斜坡向上走到达处，（即）测得该建筑物顶端的仰角为.已知斜坡的坡度，请你计算建筑物的高度（即的长，结果保留根号）.

25．（10分）已知抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A(－1，0)、B(3，0)、C(0，3)三点，直线l是抛物线的对称轴．
(1)求抛物线的函数关系式；
(2)设点P是直线l上的一个动点，当△PAC的周长最小时，求点P的坐标；
(3)在直线l上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．

26．（10分）解一元二次方程：．

参考答案

一、选择题(每小题3分,共30分)
1、B
【分析】设白球的个数为x，利用概率公式即可求得.
【详解】设白球的个数为x，
由题意得，从14个红球和x个白球中，随机摸出一个球是白球的概率为0.3，
则利用概率公式得：，
解得：，
经检验，x=6是原方程的根，
故选：B.
【点睛】
本题考查了等可能下概率的计算，理解题意利用概率公式列出等式是解题关键.
2、C
【分析】配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数的绝对值一半的平方．
【详解】解： 等式两边同时加上一次项系数的绝对值一半的平方22，
，
∴；
故选：C．
【点睛】
此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．
3、C
【分析】根据“相似方程”的定义逐项分析即可.
【详解】A. ∵，
∴.
∴x1=4，x2=-4，
∵，
∴x1=5，x2=-5.
∵4：(-4)=5:(5)，
∴与是相似方程，故不符合题意；
B. ∵，
∴x1=x2=6.
∵，
∴(x+2)2=0，
∴x1=x2=-2.
∵6：6=(-2)：(-2)，
∴与是相似方程，故不符合题意；
C. ∵，
∴，
∴x1=0，x2=7.
∵，
∴，
∴(x-2)(x+3)=0，
∴x1=2，x2=-3.
∵0：7≠2：(-3)，
∴与不是相似方程，符合题意；
D. ∵，
∴x1=-2，x2=-8.
∵，
∴(x-1)(x-4)=0，
∴x1=1，x2=4.
∵(-2)：(-8)=1：4，
∴与是相似方程，故不符合题意；
故选C.
【点睛】
本题考查了新定义运算，以及一元二次方程的解法，正确理解“相似方程”的定义是解答本题的关键.
4、C
【解析】A:完全平方公式: ,据此判断即可
B: 幂的乘方,底数不变,指数相乘,据此判断即可
C:幂的乘方,底数不变,指数相乘
D:同底数幂相除,底数不变指数相减
【详解】选项A不正确;
选项B不正确;
选项C正确
选项D不正确.
故选:C
【点睛】
此题考查幂的乘方，完全平方公式，同底数幂的除法，掌握运算法则是解题关键
5、B
【分析】根据点在圆上，点到圆心的距离等于圆的半径求解．
【详解】∵⊙O的半径为4cm，点P在⊙O上，
∴OP=4cm．
故选：B．
【点睛】
本题考查了点与圆的位置关系：设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则有：点P在圆外⇔d＞r；点P在圆上⇔d=r；点P在圆内⇔d＜r．
6、B
【分析】设该班的人数有n人，除小明外，其他人的身高为x1，x2……xn-1，根据平均数的定义可知：算上小明后，平均身高仍为172cm，然后根据方差公式比较大小即可．
【详解】解：设该班的人数有n人，除小明外，其他人的身高为x1，x2……xn-1，
根据平均数的定义可知：算上小明后，平均身高仍为172cm
根据方差公式：

∵
∴即
故选B．

【点睛】
此题考查的是比较方差的大小，掌握方差公式是解决此题的关键．
7、C
【分析】根据幂的运算法则即可判断.
【详解】A、a4•a＝a5，故此选项错误；
B、a6÷a3＝a3，故此选项错误；
C、（a3）2＝a6，正确；
D、（ab）3＝a3b3，故此选项错误；
故选C．
【点睛】
此题主要考查幂的运算，解题的关键是熟知幂的运算公式.
8、C
【解析】根据一元二次方程的定义即可得．
【详解】由一元二次方程的定义得
解得
故选：C．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的定义，熟记定义是解题关键．
9、B
【分析】直接利用二次函数的性质分析判断即可．
【详解】①y＝x2+2x+3，
a＝1＞0，函数的图象的开口向上，故①错误；
②y＝x2+2x+3的对称轴是直线x＝＝﹣1，
即函数的对称轴是过点（﹣1，3）且平行于y轴的直线，故②正确；
③y＝x2+2x+3，
△＝22﹣4×1×3＝﹣8＜0，即函数的图象与x轴没有交点，故③正确；
④y＝x2+2x+3，
当x＝0时，y＝3，
即函数的图象与y轴的交点是（0，3），故④错误；
即正确的个数是2个，
故选：B．
【点睛】
本题考查二次函数的特征，解题的关键是熟练掌握根据二次函数解析式求二次函数的开口方向、对称轴、与坐标轴的交点坐标．
10、B
【解析】作AD⊥BC的延长线于点D,如图所示：

在Rt△ADC中，BD=AD，则AB=BD．
cos∠ACB=，
故选B．

二、填空题(每小题3分,共24分)
11、1
【分析】结合等腰三角形的性质，根据勾股定理求解即可．
【详解】解：如图AB＝1，∠AOB＝90°，且OA＝OB，
在中，根据勾股定理得，即
∴，

故答案为：1．

【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质及勾股定理，在等腰直角三角形中灵活利用勾股定理求线段长度是解题的关键.
12、1
【分析】由于所有的环形是同心圆，画出同心圆圆心，设弧AB所在的圆的半径为r，利用勾股定理列出方程即可解答．
【详解】解：设弧AB所在的圆的半径为r，如图．作OE⊥AB于E，连接OA，OC，则OA=r，OC=r+32，

∵OE⊥AB，
∴AE=EB=100cm，
在RT△OAE中，
在RT△OCE中，，
则
解得：r=1．
故答案为：1．
【点睛】
本题考查垂径定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
13、
【解析】设方程另一个根为x，根据根与系数的关系得，然后解一次方程即可．
【详解】设方程另一个根为x，根据题意得x+1=3，
解得x=2.
故答案为：x=2.
【点睛】
本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，熟记公式
是解决本题的关键.

14、．
【分析】根据概率公式计算概率即可．
【详解】∵在正方体骰子中，朝上的数字共有6种，为奇数的情况有3种，分别是：1，3，5，
∴朝上的数字为奇数的概率是＝；
故答案为：．
【点睛】
此题考查的是求概率问题,掌握概率公式是解决此题的关键．
15、
【分析】根据随机事件概率大小的求法，找准两点：①符合条件的情况数目，②全部情况的总数，二者的比值就是其发生的概率的大小．
【详解】解：根据题意可得：标号小于4的有1，2，3三个球，共5个球，
任意摸出1个，摸到标号小于4的概率是．
故答案为：
【点睛】
本题考查概率的求法与运用，一般方法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率．
16、36°．
【分析】由正五边形的性质得出∠BAE=(5﹣2)×180°=108°，BC=CD=DE，得出 ==，由圆周角定理即可得出答案．
【详解】∵⊙O是正五边形ABCDE的外接圆，
∴∠BAE=(n﹣2)×180°=(5﹣2)×180°=108°，BC=CD=DE，
∴==，
∴∠CAD=×108°=36°；
故答案为：36°．
【点睛】
本题主要考查了正多边形和圆的关系，以及圆周角定理的应用；熟练掌握正五边形的性质和圆周角定理是解题的关键．
17、
【分析】根据题意延长交于点，则，延长交于点,根据已知可以得到CC´，B´C´，BF，B´F； 求出，∵△MEC´∽△BEC
， 得到 求出CE即可.
【详解】Rt△ABC绕着点顺时针旋转得到，
.
又.
如图，延长交于点，则，延长交于点，则.

，
，即，解得，
∵△MEC´∽△BEC
，，，解得
∴CE=CC´+EC´=3+=
【点睛】
此题主要考查了旋转变化的性质和特征，相似三角形的性质，熟记性质是解题的关键，注意相似三角形的选择.
18、
【分析】先求得点C的坐标，再根据如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或进行解答．
【详解】菱形的顶点的坐标为，
；
过点作，如图，

，，
在和中，，
∴，
，
，
∴点C的坐标为，
以原点为位似中心、在点的异侧将菱形缩小，使得到的菱形与原菱形的相似比为，
，
则点的对应点的坐标为．
故答案为：．
【点睛】
本题考查了位似变换：位似图形与坐标，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或．

三、解答题(共66分)
19、（1）；（2）．
【解析】试题分析：（1）根据题意，将y=1代入一次函数的解析式，求出x的值，得到A点的坐标，再利用反比例函数的坐标特征求出反比例函数的解析式；
（2）根据A、B点关于原点对称，可求出B点的坐标及线段AB的长度，设出平移后的直线解析式，根据平行线间的距离，由三角形的面积求出关于b的一元一次方程即可求解.
试题解析：（1）令一次函数y=﹣x中y=1，则1=﹣x，
解得：x=﹣6，即点A的坐标为（﹣6，1）．
∵点A（﹣6，1）在反比例函数y=的图象上，
∴k=﹣6×1=﹣12，
∴反比例函数的表达式为y=﹣．
（2）设平移后直线于y轴交于点F，连接AF、BF如图所示．
设平移后的解析式为y=﹣x+b，
∵该直线平行直线AB，
∴S△ABC=S△ABF，
∵△ABC的面积为42，
∴S△ABF=OF•（xB﹣xA）=42，
由对称性可知：xB=﹣xA，
∵xA=﹣6，
∴xB=6，
∴b×12=42，
∴b=2．
∴平移后的直线的表达式为：y=﹣x+2.
20、（1）；（2）
【分析】(1)根据题意即可得到结论；
(2)根据余角的定义得到∠BAO=22.5°，根据等腰三角形的性质得到∠BAO=∠ABO=22.5°，由三角形的外角的性质得到∠BOP=45°，解直角三角形即可得到结论．
【详解】解：（1）阀门被下水道的水冲开与被河水关闭过程中，
.
（2）∵，，∴
∵，∴，
∴.
如图，过点作于点，

在中，∵，
∴，
∴.
所以，此时下水道内水的深度约为.
【点睛】
此题考查了俯角的定义，要求学生能借助俯角构造直角三角形并解直角三角形．注意方程思想与数形结合思想的应用．
21、（1）证明见解析；（2）另一根为4，为.
【分析】（1）判断是否大于0即可得出答案；
（2）将x=1代入方程求解即可得出答案.
【详解】解：（1）∵
∴
∵
∴
故此方程必有两个不相等的实数根；
（2）把代入原方程，∴，
即，，∴，
故方程的另一根为4，为.
【点睛】
本题考查的是一元二次方程，难度适中，需要熟练掌握一元二次方程根与系数的关系.
22、（1）；（2）.
【解析】（1）求出，在Rt△ADC中，由三角函数得出；
（2）由三角函数得出BC=AC•tan60°=，得出，证明△DFM≌△AGM（ASA），得出DF=AG，由平行线分线段成比例定理得出，即可得出答案．
【详解】解：
（1）∵平分，，
∴，
在中，，
（2）∵∠C=90°，AC=6，∠BAC=60°，
∴，
∴，
∵DE∥AC，∠DMF和∠AMG是对顶角，
∴∠FDM=∠GAM，∠DMF=∠AMG，
∵点M是线段AD的中点，
∴，
∵，
∴，
∴.
由DE∥AC，得，
∴，
∴；
【点睛】
本题主要考查了全等三角形的性质与判定，特殊角的三角函数值，掌握全等三角形的性质与判定，特殊角的三角函数值是解题的关键.
23、 (1) ；（2）见解析；（1） 1 < x < 1
【分析】（1）运用配方法把一般式化为顶点式；
（2）根据函数图象的画法画出二次函数图象即可；
（1）运用数形结合思想解答即可．
【详解】(1)
（2）在平面直角坐标系xOy中，画出该函数的图象如下：

（1）y＜0即在x轴下方的点，由图形可以看出自变量x的取值范围为： 1 < x < 1
【点睛】
本题考查的是二次函数的三种形式、二次函数的性质，掌握配方法把一般式化为顶点式是解题的关键．
24、建筑物的高度为.
【分析】过点作，根据坡度的定义求出AB，BD,AD，再利用三角函数的定义列出方程求解.
【详解】解：过点作，垂足为.过点作，垂足为.
∵，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，，.
∵，
∴，
∴设，，
∴，
∴，
∴，.
根据题意，，，
在中，设，
∵，
∴，
∴，
∴，
在中，
∵，.
又∵，
∴，解得，
∴.
答：建筑物的高度为.

【点睛】
此题主要考查解直角三角形，解题的关键是熟知三角函数的定义.
25、（2）y＝－x2＋2x＋2．（2）P的坐标(2，2)．（2）存在．点M的坐标为(2，)，(2，－)，(2，2)，(2，0)．
【分析】（2）可设交点式，用待定系数法求出待定系数即可．
（2）由图知：A、B点关于抛物线的对称轴对称，那么根据抛物线的对称性以及两点之间线段最短可知：若连接BC，那么BC与直线l的交点即为符合条件的P点．
（2）由于△MAC的腰和底没有明确，因此要分三种情况来讨论：①MA＝AC、②MA＝MC、②AC＝MC；可先设出M点的坐标，然后用M点纵坐标表示△MAC的三边长，再按上面的三种情况列式求解
【详解】（2）∵A(－2，0)、B(2，0)经过抛物线y＝ax2＋bx＋c，
∴可设抛物线为y＝a（x＋2）（x－2）．
又∵C(0，2) 经过抛物线，∴代入，得2＝a（0＋2）（0－2），即a=－2．
∴抛物线的解析式为y＝－（x＋2）（x－2），即y＝－x2＋2x＋2．
（2）连接BC，直线BC与直线l的交点为P． 则此时的点P，使△PAC的周长最小．

设直线BC的解析式为y＝kx＋b，
将B(2，0)，C(0，2)代入，得：
，解得：．
∴直线BC的函数关系式y＝－x＋2．
当x－2时，y＝2，即P的坐标(2，2)．
（2）存在．点M的坐标为(2，)，(2，－)，(2，2)，(2，0)．
∵抛物线的对称轴为： x=2，∴设M(2，m)．
∵A(－2，0)、C(0，2)，∴MA2＝m2＋4，MC2＝m2－6m＋20，AC2＝20．
①若MA＝MC，则MA2＝MC2，得：m2＋4＝m2－6m＋20，得：m＝2．
②若MA＝AC，则MA2＝AC2，得：m2＋4＝20，得：m＝±．
③若MC＝AC，则MC2＝AC2，得：m2－6m＋20＝20，得：m＝0，m＝6，
当m＝6时，M、A、C三点共线，构不成三角形，不合题意，故舍去．
综上可知，符合条件的M点，且坐标为(2，)，(2，－)，(2，2)，(2，0)．
26、
【解析】用直配方法解方程即可.
【详解】解:原方程可化为：
，
∴，
解得：．