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合工大《数字信号处理》习题答案
第2章
习 题
2.4 设系统分别用下面的差分方程描述，与分别表示系统输入和输出，判断系统是否是线性非时变的。
（1）
（3）
解： （1）
所以是线性系统。
由于

所以是时不变系统。
（3），
所以是线性系统。
，所以不是时不变系统。

2.5 给定下述系统的差分方程，试判定系统是否是因果稳定系统，并说明理由。
（1）
（3）
解：
（1）该系统是非因果系统，因为时刻的输出还和时刻以后（时间）的输入有关。如果，则，因此系统是稳定系统。
（3）系统是因果系统，因为时刻的输出不取决于的未来值。如果，则，因此系统是稳定系统。

2.6 以下序列是系统的单位冲激响应，试说明该系统是否是因果、稳定的。
（1）
（3）
解：（1）当时，，所以系统是因果的。
由于

所以系统不稳定。
（3）当时，，所以系统是非因果的。
由于

所以系统稳定。

2.7设线性时不变系统的单位脉冲响应和输入序列如题2.7图所示，试求输出 。
解：

2.8 设线性时不变系统的单位冲激响应和输入分别有以下三种情况，分别求出输出。
（1），
（3），
解：（1）
（3）

2.10 设系统由下面差分方程描述：

设系统是因果的，
（1）求该系统的单位抽样响应
（2）利用卷积和求输入的响应。
2.10 （1）x(n)=δ(n),因为y(n)=h(n)=0,n<0
所以h(0)=0.5y(-1)+x(0)+0.5x(-1)=1
h(1)=0.5y(0)+x(1)+0.5x(0)=1
h(2)=0.5y(1)+x(2)+0.5x(1)=0.5
......h(n)=0.5y(n-1)+x(n)+0.5x(n-1)=0.5n-1
所以 h(n)= 0.5n-1u(n-1)+δ(n)
（2）y(n)=x(n)*h(n)= [0.5n-1u(n-1)+δ(n)]* ejwnu(n)
= [0.5n-1u(n-1)]* ejwnu(n)+ ejwnu(n)= [ejwn-0.5n]/ (ejw-0.5)u(n-1)+ ejwnu(n)

第3章 习 题
3.1 求下列序列的变换，并标明收敛域。
（1）
（2）
（3）
解：（1）由变换的定义可知，
，
（2），
（3）
，
3.2 已知，分别求：
（1）收敛域为对应的原序列；
（2）收敛域对应的原序列。
解：
（1）
（2）
3.3 已知序列的傅立叶变换为，试求下列序列的傅立叶变换。
（2）
（4）
解： （2）
（4）由于DTFT[]=

3.4 设题3.4图所示的序列的傅立叶变换用表示，不直接求出，完成下列运算：
（2） （4）
解： （2）

（4）
3.5用留数定理法分别求以下的反变换：
（1）， ；
解：（1）
，设为内的逆时针方向的闭合曲线。
当时，
在内有一个单极点，则

又由于是因果序列，故时，。所以

3.7 已知下列因果序列的变换为，求该序列的初值和终值。
（2）
解： (2)

3.8 用卷积定理求下列卷积和。
（2）
解： （2）

3.12 研究一个满足下列差分方程的线性时不变系统，该系统不限定为因果、稳定系统。利用方程的零、极点图，试求系统单位冲激响应的三种可能选择方案。

解：
(1) 系统是非稳定但是因果的。
(2) 系统是稳定但是非因果的。
(3) 系统是非稳定是非因果的。

3.13 （2）已知一离散系统的单位冲激响应为，写出该系统的差分方程。
解： （2）

3.14 已知线性因果系统用下面差分方程描述：

（1） 求系统函数及单位冲激响应；
（2） 写出传输函数表达式，并定性画出其幅频特性曲线；
（3） 设，求输出。
解： （1）

（2）
极点，零点

（3）
3.15 若序列是实因果序列，其傅立叶变换的实部如下式：
，
求序列及其傅立叶变换。
解：

因为是因果序列，所以必定是双边序列，收敛域取：。
时，内有极点，

时，内有极点，

又因为
，
所以

第四章 习 题
4.1 已知信号 求
解：是对以6为周期作周期延拓，再左移2点，最后取主值区间的序列得到：

4.3 计算序列N点的DFT，主值区间
(1)
解:

(3) ,
解:
(5) x(n)=1
解

4.7 ，，计算，取圆周卷积长度为L=7
解

n

0

1

2

3

4

0

0

0
1
0
0
1
1
1

1
7
1
1
1
0
0
1
1
1
5
2
1
1
1
0
0
1
1
3
3
1
1
1
1
0
0
1
6
4
1
1
1
1
1
0
0
10
5
0
1
1
1
1
1
0
10
6
0
0
1
1
1
1
1
9

4.10 对序列进行频谱分析，要求频谱分辨率，信号最高频率。
求： （1）信号的最小记录时间；
（2）对信号的最大采样间隔；
（3）最少采样点数。
（4）要求频谱分辨率提高1倍，计算信号的最小记录时间；
解
（1）
所以
（2） ，所以
（3）
（4） ， ，
4.12 ，，。
计算：（1）
（2）通过，求和。
解：
（1） 取

（2）通过，求和。

第七章 习题
7.3已知一摸拟滤波器的系统函数为,试分别用冲激响应不变法和双线性变换法将它转换成数字滤波器的系统函数，设T=0.5。
解：
（1）冲激响应不变法

其中，
因此=，有两个实极点，分别是，，映射到z平面，极点为，，则数字滤波器的系统函数为

将T=0.5代入上式得

=
（2）双线性变换法将代入题给的公式，得
=
=

7.5用双线性变换法将转换成数字滤波器，设T=1s，求，并粗略画出模拟滤波器和数字滤波器的幅频响应曲线，比较二者的不同。
解：
AF的频率响应
幅频特性
DF的频率响应

幅频特性
选角频率为0，，求出相应的幅度值如下表：

0
1
0
1

0.537

0.447

0.303

0

0.157

1

第八章 习题
8.3 已知一个线性相位FIR系统有零点，
(1)还会有其他零点吗？如果有，请写出。
(2)这个系统的极点在Z平面的什么地方？它是稳定系统吗？
(3)这个系统的单位抽样响应的长度最少是多少？
解：(1) 因为线性相位FIR滤波器的零点时互为倒数的共轭对。因此还有零点：
(2) 系统的极点在。因此是稳定系统。
(3) 由于

若要系统的单位抽样响应长度最短，取N=10。

8.8 一个线性相位FIR低通滤波器的幅频响应为，
已知，设抽样频率为2kHz，单位抽样响应长度为30ms，用矩形窗设计该数字滤波器。
(1) 求出的长度以及延时。
(2) 求出。
(3) 设其频率响应可以表示为，试写出和的表达式。
解：(1)
延时
(2) 理想滤波器的单位抽样响应为

其中
(3)

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