页码问题.doc

0，1，2，3，4，5，6，7，8，9是我们最常见的国际通用的阿拉伯数字（也称数码）。数由数字组成，根据位值原则记数时，数是由十个数字中的一个或几个排列起来，表示事物的多少或次序。数字和数是两个不同的概念，数字问题是研究一个若干位数与其各位数字之间的关系。它不但有趣，还会活跃我们的思维，还是数字竞赛中的常见内容。这一讲内容我们研究：
1、 数字的个数； 2、数字的和； 3、数字的位置变换。

-可编辑修改-
编排一本243页的故事书，共需要用多少个数码？

分析：数码即数字，要求共用多少个数码，其实就是计算排印1—243的页码时，一共 需要多少个数字。因为在这243个页码中既有一位数，又有两位数，还有三位 数，所以就需要分类计算：
第一类：一位数的页码从1—9页，共有9个数码；
第二类：两位数的页码从10—99页，共有90×2=180个数码；
第三类：三位数的页码从100—243页，共有144×3=432个数码；
解： 1×9+2×90+3×144
=9+180+432
=621（个）
答：共需要621个数码。

编排一本700页的英汉大辞典，共需要多少个数码？
编排一本动漫书时，共用了654个数码，那么这本动漫书一共有多少页？

分析：与例题1类似，从第1页开始排印，直到第9页，一位数排印完后，开始排 印两位数的，直到第99页，又开始排印三位数的，一共用了654个数码，
同样的需要分类计算：
第一类：一位数的页码从1—9页，共用9个数码；
第二类：两位数的页码从10—99页，共用90×2=180个数码；
第三类：三位数的页码从100页开始，共用654-9-180=465个数码；那么这465 个数码共可以排印：465÷3=155（个）三位数的页码。
解：（654-1×9-2×90）÷3
=（654-9-180）÷3
=465÷3
=155（页）
9+90+155=254（页）
答：这本动漫书一共有254页。

编辑部在给一本小说编排页码的时候，共用了1881个数码，那么这部小说共 有多少页？

自然数1，2，3，…，2001，2002，求这2002个自然数的所有数码之和。
分析：这2002个自然数的和，如果按数字出现的次数来加，或分类相加都显得复杂。 我们就另辟新径：把这些数进行分组，为了方便分组，又把不影响和的大小的“0” 引进来，这样把0和1999，1和1998，……，999和1000各分为一组，那么0—1999 就分成了1000组，每组数字的和为1+9+9+9=28，而剩下的2000、2001、2002就 容易算了。
解： 28×1000+2×4+1
=28000+9
=28009
答：这2002个自然数的数字和是28009。

自然数1，2，3，……999，求这999个自然数的所有数码之和。

自然数1—300中，数字“1”共出现了多少次？

分析：如果把数字“1”出现的次数按顺序进行累加的话比较麻烦，很难避免重复计 算与遗漏的现象，因此根据连续自然数的数字特点，对数字“1”出现的位置进行 分类讨论。
第一类：个位上的数字“1”，每10个连续自然数出现1次；
第二类：十位上的数字“1”，每100个连续自然数出现10次；
第三类：百位上的数字“1”，从100到199，共出现100次。
解：数字“1”出现的次数，分类枚举：
个位上的数字“1”，300÷10×1=30（次）
十位上的数字“1”，300÷100×10=30（次）
百位上的数字“1”，共100次
所以，30+30+100=160（个）
答：自然数1—300中，数字“1”共出现了160次。

在自然数1—406中，数字“3”共出现了多少次？

有一个两位数，十位上的数字是个位上的数字的2倍。把这个两位数的两 个数字对调下位置，组成新的两位数，那么两个两位数的差是36，求原来的两位数。

分析：通常我们把这样的两个数称为倒转数。
如：24与42；56与65.倒转数有一个规律：任意一个两位数，减去它的倒 转数的差，一定等于这个数中的两个数字差的9倍。如：52-25=27=（5-2）×9.
解答： 在这道题中，已知两个倒转数的差是36，那么两个数字的差是36÷9=4.因 为十位上的数字是个位上的数的2倍，根据差倍问题可得知：4÷（2-1）=4.那 么个位上的数是4，十位上的数是8，因此这个数是84.

一个两位数的两个数字和是10，它比它的倒转数多72，求这个两位数。

本讲我们主要对数码问题进行了如下探究：
1、 已知页码求数码或已知数码求页码。
处理方法：按数位（如一位数、两位数、三位数）分类枚举。
2、已知页码，求数码之和。
处理方法：找规律分组求和。
3、已知页码，求数码“a”出现的次数。
处理方法：按所处位置（如个位、十位、百位）分类枚举。
4、对倒转数的研究。
处理方法：新数与原数和9的对应关系。

思考与提高
一个三位数，各个数位上的数字之和是20，其中个位数字比十位数字少2，如果把首末两个数字对调，那么新的三位数比原数大297，求原来的三位数是多少？

分析：从题意可知，个位数字比百位数字大。设个位数字比百位数字大A，那么对调后 个位减少A，而百位增加了100A，新数比原数大100A-A=99A，又知道99A就是297， 由此可得知A=297÷99=3。这样题意变成了各位上数字的和是20，其中个位数字比 十位数字少2，个位数字比百位数字大3。根据和差问题：

个位数字：（20-2+3）÷3=7
十位数字：7+2=9
百位数字：7-3=4
所以，原来的三位数是497.

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