Pascal动态规划-236.ppt

PascalPascal动态规划动态规划多阶段决策过程 多阶段决策过程多阶段决策过程多阶段决策过程多阶段决策过程（multistepdecisionprocess）是指这样一类特殊的活动过程，过程可以按时间顺序分解成若干个相互联系的阶段，在每一个阶段都需要做出决策，全部过程的决策是一个决策序列。动态规划动态规划动态规划动态规划（dynamicprogramming）算法是解决多阶段决策过程最优化问题的一种常用方法，难度比较大，技巧性也很强。利用动态规划算法，可以优雅而高效地解决很多贪婪算法或分治算法不能解决的问题。求解问题的两个重要性质 最优子结构性质最优子结构性质最优子结构性质最优子结构性质如果问题的最优解所包含的子问题的解也是最优的，我们就称该问题具有最优子结构性质（即满足最优化原理）。最优子结构性质为动态规划算法解决问题提供了重要线索。子问题重叠性质子问题重叠性质子问题重叠性质子问题重叠性质：在用递归算法自顶向下对问题进行求解时，每次产生的子问题并不总是新问题，有些子问题会被重复计算多次。动态规划算法正是利用了这种子问题的重叠性质，对每一个子问题只计算一次，然后将其计算结果保存在一个表格中，当再次需要计算已经计算过的子问题时，只是在表格中简单地查看一下结果，从而获得较高的解题效率。动态规划与分治、递归、贪心的区别 递归算法递归算法递归算法递归算法在程序实现上直观容易，但因为子问题被重复计算，且程序背后存在对栈的操作，速度（计算复杂度一般是指数级的）上劣于动态规划。在递归的过程中，通过保存子问题的结果，可以减少计算量，同样是空间换时间的思想，称作memoization算法。分治法分治法分治法分治法要求各个子问题是独立的(即不包含公共的子问题)，因此一旦递归地求出各个子问题的解后，便可自下而上地将子问题的解合并成原问题的解。动态规划与分治法的不同之处在于动态规划允许这些子问题不独立(即各子问题可包含公共的子问题)，它对每个子问题只解一次，并将结果保存起来，避免每次碰到时都要重复计算。这就是动态规划高效的一个原因。在贪婪算法贪婪算法贪婪算法贪婪算法中，每采用一次贪婪准则，便做出一个不可撤回的决策；而在动态规划算法中，还要考察每个最优决策序列中是否包含一个最优决策子序列，即问题是否具有最优子结构性质。最短路径问题图中给出了一个地图，地图中每个顶点代表一个城市，两个城市间的连线代表道路，连线上的数值代表道路的长度。现在，想从城市A到达城市E，怎样走路程最短，最短路程的长度是多少?题题1最长不下降子序列【问题描述】设有整数序列b1,b2,b3,bm，若存在i1i2i3in，且bi1bi2bi3bin，则称b1,b2,b3,bm中有长度为n的不下降序列bi1,bi2,bi3,bin。求序列b1,b2,b3,bm中所有长度(n)最大不下降子序列输入：整数序列输出：最大长度n题题1最长不下降子序列【分析】设F(i)为前I个数中的最大不下降序列长度。由题意不难得知，要求F(i)，需要求得F(1)F(i-1)，然后选择一个最大的F(j)(jbj)，那么前I个数中最大不下降序列便是前j个数中最大不下降序列后添加bi而得。可见此任务满足最优子结构，可以用动态规划解决。通过上面的分析可得状态转移方程如下：F(i)=maxF(j)+1(ji,bjbj)and(filenthenlen:=fi记录最大值题题2数塔如下图所示的数塔，从顶部出发，在每一结点可以选择向左下走或是向右下走，一直走到底层，要求找出一条路径，使路径上的数的和最大。数塔层数用n表示，1=n=100。题题2数塔贪心法。时间上有保证，但得不到最优解。主要原因是贪心法只顾眼前利益，不考虑长远利益。在规定时间内得到正确结果，唯一的方法就是“动态规划”。下面以示意图表示动态规划的过程：所选路径为：9-12-10-18-10注意分析时，有以下几个特点：（1）将问题划分成了4个阶段；（2）每个阶段均得到了“部分”的最优解，得到最优解时，需要进行条件判断；（3）从最下面一层往顶层推导。题题3棋盘路径问题【题目简介】有一个n*m的棋盘，左下角为（1,1），右上角为（n,m），如下图：有一颗棋子，初始位置在（1,1），该棋子只能向右走或者向上走，问该棋子从（1,1）到（n,m）一共有几条路径？输入：两个整数n和m输出：一个数，路径总数题题3棋盘路径问题【题目简介】如果使用枚举的方法，必定有很多路径被重复走过，这样，势必造成程序运行时间的浪费，当n和m的值比较大的时候，程序很可能超时。为了避免程序的重复运行，我们可以通过记录点（1,1）到任意一个点（I,j）的路径总数来解决这个问题。假设FI,j是点(1,1)到点(I,j)(1in,1jm)的路径总数，因为棋子在棋盘中只能向右或者向上走，所以棋盘中只能2个点的棋子可以走到点（I,j），即点(I,j-1)和(i-1,j)，这样，我们就可以知道，FI,j必定是FI,j-1和Fi-1,j的和，即Fi,j=Fi-1,j+Fi,j-1【例4】街道问题在下图中找出从左下角到右上角的最短路径，每步只能向右方或上方走。【例4】街道问题在一般情况下，如果我们用二维数组H(i，j)和V(i，j)分别表示水平方向和竖直方向的各路段长度，如H(1，2)表示水平方向上路口(1，1)到路口(1，2)的路段长度，V(1，2)表示竖值方向上路口(0，2)到路口(1，2)的路段长度，则有公式：如dpl(i，j)=mindpl(i-1，j)+v(i，j)，dpl(i，j-1)+h(i，j)题题5机器分配【问题描述】总公司拥有高效生产设备M台，准备分给下属的N个公司。各分公司若获得这些设备，可以为国家提供一定的盈利。问：如何分配这M台设备才能使国家得到的盈利最大？求出最大盈利值。其中M15，N10。分配原则：每个公司有权获得任意数目的设备，但总台数不得超过总设备数M。保存数据的文件名从键盘输入。数据文件格式为：第一行保存两个数，第一个数是设备台数M，第二个数是分公司数N。接下来是一个M*N的矩阵，表明了第I个公司分配J台机器的盈利。题题5机器分配【分析】这是一个典型的动态规划试题。用机器数来做状态，数组FI，J表示前I个公司分配J台机器的最大盈利。则状态转移方程为Fi，j=MaxFi-1，k+Valuei，j-k（0=K=J题题60-1背包问题【题目】有N件物品和一个容量为V的背包。第i件物品的费用是ci，价值是wi。求解将哪些物品装入背包可使价值总和最大。题题60-1背包问题这是最基础的背包问题，特点是：每种物品仅有一件，可以选择放或不放。用子问题定义状态：即fiv表示前i件物品恰放入一个容量为v的背包可以获得的最大价值。则其状态转移方程便是：fiv=maxfi-1v,fi-1v-ci+wi题题7完全背包问题【题目】有N种物品和一个容量为V的背包，每种物品都有无限件可用。第i种物品的费用是ci，价值是wi。求解将哪些物品装入背包可使这些物品的费用总和不超过背包容量，且价值总和最大。题题7完全背包问题【基本思路】这个问题非常类似于01背包问题，所不同的是每种物品有无限件。也就是从每种物品的角度考虑，与它相关的策略已并非取或不取两种，而是有取0件、取1件取2件等很多种。如果仍然按照解01背包时的思路，令fiv表示前i种物品恰放入一个容量为v的背包的最大权值。仍然可以按照每种物品不同的策略写出状态转移方程，像这样：fiv=maxfi-1v-k*ci+k*wi0=k*ci=v题题8拦截导弹某国为了防御敌国的导弹袭击，发展出一种导弹拦截系统。但是这种导弹拦截系统有一个缺陷：虽然它的第一发炮弹能够到达任意的高度，但是以后每一发炮弹都不能高于前一发的高度。某天，雷达捕捉到敌国的导弹来袭。由于该系统还在试用阶段，所以只有一套系统，因此有可能不能拦截所有的导弹。输入导弹依次飞来的高度（雷达给出的高度数据是不大于30000的正整数），计算这套系统最多能拦截多少导弹，并依次输出被拦截的导弹飞来时候的高度。样例：INPUT38920715530029917015865OUTPUT6（最多能拦截的导弹数），题题8拦截导弹【分析】设D(i)为第i枚导弹被拦截之后，这套系统最多还能拦截的导弹数（包含被拦截的第i枚）。我们可以设想，当系统拦截了第k枚导弹xk，而xk又是序列X=x1,x2,xn中的最小值，即第k枚导弹为所有飞来的导弹中高度最低的，则有D(k)=1；当系统拦截了最后一枚导弹xn，那么，系统最多也只能拦截这一枚导弹了，即D(n)=1；其它情况下，也应该有D(i)1。根据以上分析，可归纳出问题的动态规划递归方程为：假设系统最多能拦截的导弹数为dmax（即问题的最优值），则dmax（i为被系统拦截的第一枚导弹的顺序号）习题1.7万元投资到A、B、C3个项目，其利润见下表：如何分配投资额，使获得的利润最大。2.编写用动态规划法求组合数3.有n个整数排成一圈，现在要从中找出连续的一段数串，使得这串数的和最大。