模糊集理论及其应用-第一章.ppt

模糊集理论及其模糊集理论及其应用应用1前言：什么是模糊数学前言：什么是模糊数学秃子悖论秃子悖论:天下所有的人都是秃子天下所有的人都是秃子设头发根数设头发根数nn=1 显然显然若若n=k 为秃子为秃子n=k+1 亦为秃子亦为秃子模糊概念模糊概念模糊概念：从属于该概念到不属于该概念之间模糊概念：从属于该概念到不属于该概念之间无明显分界线无明显分界线年轻、重、热、美、厚、薄、快、慢、大、小、年轻、重、热、美、厚、薄、快、慢、大、小、高、低、长、短、贵、贱、强、弱、软、硬、高、低、长、短、贵、贱、强、弱、软、硬、阴天、多云、暴雨、清晨、礼品。阴天、多云、暴雨、清晨、礼品。2共同特点：模糊概念的外延不清楚。共同特点：模糊概念的外延不清楚。模糊概念导致模糊现象模糊概念导致模糊现象模糊数学就是用数学方法研究模糊现象。模糊数学就是用数学方法研究模糊现象。模糊数学的产生不仅形成了一门崭新的数学模糊数学的产生不仅形成了一门崭新的数学学科，而且也形成了一种崭新的思维方法，学科，而且也形成了一种崭新的思维方法，它告诉我们存在亦真亦假的命题，从而打破它告诉我们存在亦真亦假的命题，从而打破了以二值逻辑为基础的传统思维，使得模糊了以二值逻辑为基础的传统思维，使得模糊推理成为严格的数学方法。随着模糊数学的推理成为严格的数学方法。随着模糊数学的发展，模糊理论和模糊技术将对于人类社会发展，模糊理论和模糊技术将对于人类社会的进步发挥更大的作用。的进步发挥更大的作用。3模糊数学的概念模糊数学的概念处理现实对象的数学模型处理现实对象的数学模型确定性数学模型确定性数学模型:确定性或固定性确定性或固定性,对象间有必对象间有必然联系然联系.随机性数学模型随机性数学模型:对象具有或然性或随机性对象具有或然性或随机性模糊性数学模型模糊性数学模型:对象及其关系均具有模糊性对象及其关系均具有模糊性.随机性与模糊性的区别随机性与模糊性的区别随机性随机性:指事件出现某种结果的机会指事件出现某种结果的机会.模糊性模糊性:指存在于现实中的不分明现象指存在于现实中的不分明现象.模糊数学模糊数学:研究模糊现象的定量处理方法研究模糊现象的定量处理方法.4 模糊数学是研究和处理模糊性现象的数学方法模糊数学是研究和处理模糊性现象的数学方法.众众所周知，经典数学是以精确性为特征的所周知，经典数学是以精确性为特征的.然而，与精确形相悖的模糊性并不完全是消极的、没然而，与精确形相悖的模糊性并不完全是消极的、没有价值的有价值的.甚至可以这样说，有时模糊性比精确性还要好甚至可以这样说，有时模糊性比精确性还要好.例如例如,要你某时到某地去迎接一个要你某时到某地去迎接一个“大胡子高个子长头大胡子高个子长头发戴宽边黑色眼镜的中年男人发戴宽边黑色眼镜的中年男人”.尽管这里只提供了一个精确信息尽管这里只提供了一个精确信息男人，而其他信男人，而其他信息息大胡子、高个子、长头发、宽边黑色眼镜、中年等大胡子、高个子、长头发、宽边黑色眼镜、中年等都是模糊概念，但是你只要将这些模糊概念经过头脑的综都是模糊概念，但是你只要将这些模糊概念经过头脑的综合分析判断，就可以接到这个人合分析判断，就可以接到这个人.模糊数学在实际中的应用几乎涉及到国民经济的各个模糊数学在实际中的应用几乎涉及到国民经济的各个领域及部门，农业、林业、气象、环境、地质勘探、医学、领域及部门，农业、林业、气象、环境、地质勘探、医学、经济管理等方面都有模糊数学的广泛而又成功的应用经济管理等方面都有模糊数学的广泛而又成功的应用.5数学建模与模糊数学相关的问题数学建模与模糊数学相关的问题模糊数学模糊数学研究和处理模糊性现象的数学研究和处理模糊性现象的数学 （概念与其对立面之间没有一条明确的分（概念与其对立面之间没有一条明确的分界线）界线）与模糊数学相关的问题（一）与模糊数学相关的问题（一）模糊分类问题模糊分类问题已知若干个相互之间不分明的已知若干个相互之间不分明的模糊概念，需要判断某个确定事物用哪一个模模糊概念，需要判断某个确定事物用哪一个模糊概念来反映更合理准确糊概念来反映更合理准确模糊相似选择模糊相似选择 按某种性质对一组事物或对按某种性质对一组事物或对象排序是一类常见的问题，但是用来比较的性象排序是一类常见的问题，但是用来比较的性质具有边界不分明的模糊性质具有边界不分明的模糊性6数学建模数学建模与模糊数学相关的问题模糊聚类分析模糊聚类分析根据研究对象本身的属性构根据研究对象本身的属性构造模糊矩阵，在此基础上根据一定的隶属度造模糊矩阵，在此基础上根据一定的隶属度来确定其分类关系来确定其分类关系 模糊层次分析法模糊层次分析法两两比较指标的确定两两比较指标的确定模糊综合评判模糊综合评判综合评判就是对受到多个因综合评判就是对受到多个因素制约的事物或对象作出一个总的评价，如素制约的事物或对象作出一个总的评价，如产品质量评定、科技成果鉴定、某种作物种产品质量评定、科技成果鉴定、某种作物种植适应性的评价等，都属于综合评判问题。植适应性的评价等，都属于综合评判问题。由于从多方面对事物进行评价难免带有模糊由于从多方面对事物进行评价难免带有模糊性和主观性，采用模糊数学的方法进行综合性和主观性，采用模糊数学的方法进行综合评判将使结果尽量客观从而取得更好的实际评判将使结果尽量客观从而取得更好的实际效果效果 7第一章 模糊集合及其运算1.1 经典集合与特征函数(P34)1.2 模糊集合与隶属函数(P511)1.3 模糊集合的运算(P1214)1.4 模糊集合的分解定理与表现定理(P1524)3510158第一章 模糊集合及其运算 所谓集合，是指具有某种特定属性的对象集体设 为所讨论对象的全体，称之为论域显然，论域 是一个集合论域 中的每个对象 u 称为 的元素如此定义的集合通常称为Cantor 集合or经典集合.设 A 为论域上的一个集合，则 u，uA or uA，二者必居且仅居其一这种关系可用如下二值函数表示之：A：0，1，1，uA u A(u)=0，uA称 A 为集合A的特征函数反之，给定一个二值函数 A：0，1，u A(u)可唯一确定一个经典集合 A，即A=u，A(u)=1 1.1 经典集合与特征函数 1.1 经典集合与特征函数(1/2)目 录9 由此可见，经典集合A 与其特征函数 A 是一一对应的 由于A 只取0和1两个值，故经典集合A 只能用来描述界限分明的研究对象，对界限不分明的对象却无能为力。比如，对“年轻”这个模糊概念，用经典集合就无法给出合理的描述。而在自然界和现实生活中，模糊现象是普遍存在的。因此，必须把经典集合扩充，使之能够刻划模糊现象和解决模糊性问题。1.1 经典集合与特征函数(2/2)目 录10 1.2.1 模糊集合的定义模糊集合的定义 为了定量地刻画模糊概念和模糊现象，美国计算机与控制论专家，California 大学 Buckely 分校.adeh 教授于1965年提出了模糊集合概念，具体定义如下:定义定义1.2.1 设 为论域，则称由如下实值函数 A：0，1，u A(u)所确定的集合 A 为 上的模糊集合模糊集合，而称A 为模糊集合A 的隶属函数隶属函数，A(u)称为元素 u 对于A 的隶属度隶属度。1.2 模糊集合与隶属函数 1.2 模糊集合与隶属函数(1/5)目 录1A11 由此可见，模糊集合 A 是一个抽象的概念，其元素是不确定的，我们只能通过隶属函数A来认识和掌握 A A(u)的数值的大小反映了论域 中的元素 u 对于模糊集合 A 的隶属程度，A(u)的值越接近于1，表示u隶属于A 的程度越高；而(u)的值越接近于，表示u隶属于 A 的程度越低特别地，若A(u)=，则认为u完全属于完全属于A；若A(u)=，则认为u完全不属于完全不属于A 因此,经典集合可看作是特殊的模糊集合换言之，模糊集合是经典集合的推广。12 若记 P(U)和 F(U)分别为 U 上的所有经典集合和所有模糊集合的全体，则 P(U)FU).通常称P(U)为U 的幂集幂集，而称F(U)为U 的模糊幂集模糊幂集。由于模糊集合A只能由其隶属函数A来表达，故为方便起见，我们将用记号A(u)来代替A(u),即 A(u)A(u)这样，模糊集合与其隶属函数的记号将不加区分 1.2 模糊集合与隶属函数(2/5)目 录13 1.Zadeh Zadeh 表示法表示法 (1)若论域U 为有限集，即U=u1,u2,un，则 A F(U)可表示为 这里 不表示为“分数”，而是表示 ui 隶属于A 的程度为A(ui)；符号“+”也不表示加号，而是一种联系符号。1.2.2 模糊集合的表示方法 1.2 模糊集合与隶属函数(3/5)目 录14 例例1.21：设U=u1,u2,u3,u4,u5，则 表示论域U 上 u1 对于A 的隶属度为0.87，u2 对于A 的隶属度为0.75，u3 对于A 的隶属度为0.96，u4 对于A 的隶属度为0.78，u5 对于A 的隶属度为0.56 的模糊集合。15 (2)若论域U 为无限集，则 A F(U)可表示为 这里“”不表示为积分号，而是表示 各个元素与隶属度对应关系的一个总括。例1.2.2 以年龄作为论域，取U=0，200，Zadeh给出“年轻”这个模糊集合Y 的隶属函数为用Zadeh表示法就是1.2 模糊集合与隶属函数(4/5)目 录16 1.2.2 模糊集合的表示方法模糊集合的表示方法 2.2.向量表示法向量表示法 当论域U=u1,u2,un 时，A F(U)也可用如下向量来表示：A=(A(u1)，A(u2)，A(un)(1-2-3)例如例如，例1.2.1中的模糊集合A也可表示为 A=(0.87，0.75，0.96，0.78，0.56)由于A(ui)0,1(i=1，2，n)，故称式(1-2-3)所示的向量为模糊向量模糊向量。1.2 模糊集合与隶属函数(5/5)目 录17 1.3.1 经典集合的运算及其性质经典集合的运算及其性质 由于经典集合可由其特征函数唯一确定，故经典集合的运算可通过特征函数的运算来描述，具体定义如下：定义定义1.3.1 设 A,B P(U)，则 (i)A B iff uU,A(u)B(u);(ii)A=B iff uU,A(u)=B(u);(iii)AB:uU,AB(u)=max A(u),B(u);(vi)AB:uU,AB(u)=min A(u),B(u);(v)A:uU,A(u)=1A(u).利用定义1.3.1不难验证，经典集合关于“(并),(交),(补)”这三种运算具有如下九条基本性质.1.3 模糊集合的运算 1.2 模糊集合与隶属函数(5/5)目 录181.3.1 经典集合的运算及其性质定理定理1.3.1 设 A,B,C P(U)，则(1)幂等律：AA=A,AA=A;(2)交换律：AB=BA,AB=BA;(3)结合律：(AB)C=A(BC),(AB)C=A(BC);(4)吸收律：(AB)B=B,(AB)B=B;(5)分配律：A(BC)=(AB)(AC),A(BC)=(AB)(AC);(6)复原律：(A)=A;(7)两极律：AU=U,AU=A,A=A,A=;(8)De Morgan律：(AB)=AB,(AB)=AB;(9)排中律(互补律)：AA=U,AA=.由此可见，(P(U),)构成一个布尔代数布尔代数。3 模糊集合的运算 1.2 模糊集合与隶属函数(5/5)目 录193 模糊集合的运算 1.2 模糊集合与隶属函数(5/5)1.3.2 模糊集合的运算及其性质模糊集合的运算及其性质 由于经典集合是模糊集合的特例，即经典集合的特征函数是一种特殊的隶属函数，于是，Zadeh由经典集合的特征函数的运算性质出发，引入模糊集合的运算如下：定义定义1.3.2 设 A,B F(U),则 (i)A B iff A(u)B(u),uU;(ii)A=B iff A(u)=B(u),uU;(iii)AB:(A B)(u)=max A(u),B(u)=A(u)B(u),uU;(v)AB:(A B)(u)=min A(u),B(u)=A(u)B(u),uU;(vi)A:A(u)=1A(u),uU.如下图所示:目 录20 例例1.3.1 设U=u1,u2,u3,u4 时，A,B F(U)且A=(0.8,0.9,0.3,0.6),B=(0.2,0.5,06,0.2)则 (i)AB且 B A,A B (ii)AB=(0.80.2,0.90.5,0.30.6,0.60.2)=(0.8,0.9,0.6,0.6)(iii)AB=(0.80.2,0.9 0.5,0.3 0.6,0.6 0.2)=(0.2,0.5,0.3,0.2)(vi)A=(10.8,1 0.9,1 0.3,1 0.6)=(0.2,0.1,0.7,0.4)类似于定理1.3.1,模糊集合关于“(并),(交),(补)”这三种运算满足定理1.3中的前八条运算,即 目 录21 定理定理1.3.2 在(F(U),)中,幂等律、交换律、结合律、吸收律、分配律、复原律、两极律和De Morgan对偶律均成立,但排中律不成立.即(1)幂等律：AA=A,AA=A;(2)交换律：AB=BA,AB=BA;(3)结合律：(AB)C=A(BC),(AB)C=A(BC);(4)吸收律：(AB)B=B,(AB)B=B;(5)分配律：A(BC)=(AB)(AC),A(BC)=(AB)(AC);(6)复原律：(A)=A;(7)两极律：AU=U,AU=A,A=A,A=;(8)De Morgan律：(AB)=AB,(AB)=AB.但是,AA U,AA 22例如例如:设A=(0.8,0.3,0.7,0.5),则A=(0.2,0.7,0.3,0.5)A A=(0.8,0.7,0.7,0.5)(1,1,1,1)=UA A=(0.2,0.3,0.3,0.5)(0,0,0,0)=由此可见,(F(U),)不构成一个布尔代数,而是构成一个软代数系统软代数系统,称之为 模糊格模糊格(Fuzzy Lattice)23 注注1.3.1 两个模糊集合的并、交运算可推广到一般情形.即设T为任意给定的指标集,tT,A,B F(U),则(tT At)(u)=tTAt(u);(tT At)(u)=tTAt(u).注注1.3.2 上述介绍的模糊集合的并、交运算(,)是有Zadeh提出的,称之为模糊格运算,它是经典集合格运算的直接推广.然而,推广的方式不是唯一的.可以有多种推广方式,例如:目 录24251.4 模糊集合的分解定理与表现定理模糊集合的分解定理与表现定理 1.4.1 模糊集合的截集模糊集合的截集 定义定义1.4.1 设设A F F(U),任取任取0,1,记记 A=u U|A(u),AS=u U|A(u).分别称分别称A 和和AS 为模糊集合为模糊集合A的的 截集截集和和 强截集强截集,而称而称 为为阈值阈值或或置信水平置信水平.例例1.4.1 设设U=u1,u2,u3,u4，A F F(U)且且 A=(0.6,0.3,0.5,0.8),求求A0.5,AS0.5 解解:A0.5=u U|A(u)0.5=u1,u3,u4 AS0.5=u U|A(u)0.5=u1,u4 目 录26 例例1.4.2 设U=(,),A F F(U)且求A和AS,这里0,1 解解:因对0,1,有目 录27 定理定理1.4.1 设AF F(U),则 (1)0,1,AS A;(2)A0=U,AS1=;(3)1,20,1且12,A2 A1;(4)1,20,1且12,AS2 AS1.此定理表明:(i)AS 是A的子集;(ii)A的截集族A0,1和强截集族AS 0,1都是一个套着一个的经典集合族.目 录28 定理定理1.4.2 设A,BF F(U),0,1,则 (1)(AB)=AB;(2)(AB)=AB;(3)(AB)S=ASBS;(4)(AB)S=ASBS.证明证明:(1)uU,u(AB),iff(AB)(u)iff A(u)B(u),iff A(u)or B(u),iff uA 或 uB,iff uA B (AB)=AB 同理可证(2)(4).但对于无限个模糊集的情形但对于无限个模糊集的情形,结论(1)和结论(4)一般一般不成立不成立,即有29 定理定理1.4.3 设T为任意指标集,tT,At F F(U)则 (1)(tTAt)tT(At);(2)(tTAt)=tT(At);(3)(tTAt)S=tT(At)S;(4)(tTAt)StT(At)S.目 录30证明证明:(1)uU,utT(At)t0T,使 u(At0)t0T,使(At0)(u)tTAt(u)At0(u)u(tTAt)tT(At)(tTAt)同理可证(2)(4).31 定理定理1.4.4 设AF F(U),T为任意指标集,且tT,t0,1,则 (1)A(tTt)=tT At;(2)AS(tTt)=tT ASt;(3)0,1,(A)=(AS(1-);(4)0,1,(A)S=(A1-).32证明证明:(1)uU,uA(tTt)A(u)tT t tT,A(u)t tT,u At u tTAt A(tTt)=tT At (3)uU,u(A)A(u)1A(u)A(u)1 A(u)1 uAS(1-)u(AS(1-)(A)=(AS(1-)同理可证(2)和(4).33 注注1.4.1:(A)=(A)一般不成立.例如例如:取U=0,1,A(u)=0.5,uU,则A=A,对=0.3,有(A)0.3=U=A0.3,从而(A 0.3)=,故(A)0.3(A 0.3).目 录34例例解解35 1.4.2 正规模糊集正规模糊集 在实际应用中,A1和AS0这两个截集很有用,我们分别称A1和AS0为A的核核和支集支集,分别记作kerA=uU|A(u)=1 和 suppA=uU|A(u)0而称AS0A1为A的边界边界,记作bonA=uU|A(u)0且A(u)13637 定义定义1.4.2 设AF F(U),如果kerA,则称A为正规模糊集正规模糊集.例如例如:设U=u1,u2,u3,u4,A,BF F(U),A=(0.8,1,0.6,0.2),B=(0.3,0.50.9,0.2),则kerA=u2,kerB=,故A是正规模糊集,而B不是正规模糊集.由此可见,A的核kerA是完全属于A的元素所构成的,随着由1向0递减变化,A从kerA出发不断扩大,最终达到最大集合suppA.而A的边界bonA则是介于完全属于A和完全不属于A的元素的全体,称之为A的”灰色”地带.381.4.3 分解定理分解定理 ()数与模糊集的截积运算 定义定义1.4.3 设0,1,AF F(U),则与A的截积(记作A)定义为 (A)(u)=A(u),uU.其中 由此可见,A仍为U的模糊集合.特别地,若A为经典集合,则A就变为模糊集合,这是因为 目 录39 ()分解定理 定理定理1.45(分解定理)设AF F(U),则 A=0,1A (1-4-1)证明证明:根据模糊集合的相等运算,我们只需证明uU,有 A(u)=0,1 A(u)事实上，因为A(u)0,1,故 0,1 A(u)=0,A(u)A(u)(A(u),1 A(u)40 注意到所以0,1 A(u)=0,A(u)A(u)=0,A(u)1 =0,A(u)=A(u).由此可得一个求一个求A的隶属函数的公式的隶属函数的公式如下:推论推论1.4.1 设AF F(U),则A的隶属函数为 A(u)=0,1|u A (1-4-2)目 录41 同理可证如下结论同理可证如下结论.定理定理1.4.6(分解定理)设AF F(U),则 A=01AS (1-4-3)推论推论1.4.2 设AF F(U),则A的隶属函数为A(u)=0,1|u AS,uU (1-4-4)42 更一般地,我们有如下结论.定理定理1.4.7(分解定理)设AF F(U),令集值映射 H:0,1P(U)H()满足:0,1,AS H()A,则 (1)A=0,1H()(1-4-5)(2)对1,20,1,12 H(1)H(2);(3)0,1,有 A=H()(1-4-7)目 录43 推论推论1.4.3 设AF F(U),则A的隶属函数可由下式给出 A(u)=0,1|u H(),uU.(1-4-8)显然,当H()=A时,分解定理就退化为分解定理,当H()=AS时,分解定理就退化为分解定理,因此,分解定理是分解定理和分解定理的推广.44 注注1.4.2:分解定理表明:任何模糊集A都可分解成一个套着一个的经典集合族与0,1中所有实数的截积之并.下面的表现定理则表明:任何一个套着一个的经典集合族都可构造出一个模糊集.45 1.4.4 表现定理表现定理 ().集合套集合套 定义定义1.4.4 设H:0,1P(U),H()为一个集值映射,若H满足12 H(1)H(2),则称H为U上的一个集合套集合套.记U(U)为论域U上的集合套的全体.显然,分解定理分解定理的集合族 A0,1,AS0,1和H()0,1都是U上的集合套.目 录46 定理定理1.4.8(表现定理)设H为U上的任一集合套,则 A=0,1H()F F(U)且0,1,有 (1)A=H()47 注注1.4.3:表现定理给我们一个集合套构造模糊集合的方法,即 设H U(U),则 A=0,1 H()的隶属函数为 A(u)=0,1|u H(),uU.48 例例1.4.1 设U=u1,u2,u3,u4,u5,给定U上一个集合套H如下:=0:H()=u1,u2,u3,u4,u5 00.2:H()=u2,u3,u4,u5 0.2 0.5:H()=u2,u4,u5 0.5 0.8:H()=u2,u4 0.8 0，则 为A的模糊度证明证明 设i 1,2,3,n,ci=1,且则fi(1-x)=fi(x)且fi(0)=0因 x1,x2 0,0.5且x1 x2 有fi(x1)=fi(x2)故fi(x)在0,0.5上严格递增。又a=ci fi(0.5)=n/令g(x)=,则g(0)=0,而g(a)=1,故g:0,a 0,1严格递增，于是由定理1.5.1知 为A的模糊度56 通常由式(1.5.2)确定的 为A的Minkowski模糊度。特别地，当p=1时，称为A的Hamming模糊度，或称为Kaufmann模糊指标 当p=2时，称为A的Euclid模糊度57 例例1.5.2 设 U=u1,u2,u3,u4,A=(0.6,0.9,0.7,0.4)为U上的模糊集，求A的Hamming 和 Euclid模糊度解解 因A0.5=(1,1,1,0)故由式(1.5.3)知 D1(A)=2/4(|0.6-1|+|0.9-1|+|0.7-1|+|0.4-0|)=1/2(0.4+0.1+0.3+0.4)=0.6 而由式(1.5.4)得 D2(A)=(|0.6-1|2+|0.9-1|2+|0.7-1|2+|0.4-0|2)1/2 =(0.16+0.01+0.09+0.16)1/2 0.64858 一般来说用Hamming 模糊度计算较为简单，而用 Euclid模糊度计算虽然比较复杂，但是计算结果比较精细。定理定理1.5.2 设 U=u1,u2,un,AF F(U),则 为A的模糊度，H(A)通常称为A的模糊熵，其中S(x)为Shannon函数591.5.2无限论域上的模糊度无限论域上的模糊度 设U=R=(-,+),AF F(U)，则A的模糊度可由下式给出：或者其中由前者确定的D(A)称为A的模糊指标模糊指标，记作K(A)=D(A),而由后者确定的D(A)称为A的模糊熵模糊熵，记作H(A)=D(A)。60 一般地，如果U Rn,AF F(U),则 或者61 例例1.5.4 设U=(-,+),A为U的正态模糊集，即 -u+,则A0.5=，故得到令t=,则查标准正态分布表可得故62