第四章稳定性与李雅普诺夫方法.ppt

第四章第四章 稳定性与李稳定性与李雅普诺夫方法雅普诺夫方法本章的主要内容本章的主要内容n李雅普诺夫关于稳定性的定义李雅普诺夫关于稳定性的定义n李雅普诺夫第一法李雅普诺夫第一法n李雅普诺夫第二法李雅普诺夫第二法n李雅普诺夫在线性和非线性系统中的应用李雅普诺夫在线性和非线性系统中的应用4.1 4.1 李雅普诺夫关于稳定性的定义李雅普诺夫关于稳定性的定义设所研究系统的齐次状态方程为设所研究系统的齐次状态方程为一般为时变非线性函数。如果不显含一般为时变非线性函数。如果不显含t，则为定常，则为定常的非线性系统。的非线性系统。如果存在状态矢量如果存在状态矢量xe，对所有的，对所有的t，都使式，都使式成立，则称成立，则称xe为系统的为系统的平衡状态平衡状态。上式描述了从初始条件上式描述了从初始条件(t0,x0)出发的一条状态运出发的一条状态运动的轨迹，称为动的轨迹，称为系统的运动系统的运动或或状态轨迹状态轨迹。系统的平衡状态系统的平衡状态平衡状态的各分量不再随时间变化；若已知平衡状态的各分量不再随时间变化；若已知所求得的解所求得的解 x,状态方程，令状态方程，令平衡状态。平衡状态。对任意一个系统，对任意一个系统，不一定不一定都存在平衡点，即使有，都存在平衡点，即使有，也不一定是唯一的；也不一定是唯一的；由于任意一个已知的平衡状态，都可以通过坐标变由于任意一个已知的平衡状态，都可以通过坐标变换将其移到坐标原点，以后就只讨论系统在坐标原换将其移到坐标原点，以后就只讨论系统在坐标原点处的稳定性。点处的稳定性。便是便是稳定定义稳定定义李雅普诺夫意义下稳定李雅普诺夫意义下稳定如果系统对任意选定的实数如果系统对任意选定的实数，都对应存在另，都对应存在另一个实数一个实数，使当，使当时，从任意初始状态时，从任意初始状态x0出发的解都满足：出发的解都满足：则称平衡状态则称平衡状态xe为为李雅普诺夫意义下稳定李雅普诺夫意义下稳定。实数实数 与与 有关，一般情况下也与有关，一般情况下也与t0有关。如果有关。如果 与与t0无关，则称平衡状态无关，则称平衡状态xe为为一致稳定一致稳定。渐近稳定渐近稳定如果平衡状态如果平衡状态xe是稳定的，而且当是稳定的，而且当t无限增长时，轨无限增长时，轨线不仅不超出线不仅不超出 ，而且最终收敛于，而且最终收敛于xe，则称平衡，则称平衡状态状态xe是是渐近稳定渐近稳定的。的。大范围渐近稳定大范围渐近稳定如果平衡状态如果平衡状态xe是稳定的，并且从状态空间中所有初是稳定的，并且从状态空间中所有初始状态出发的轨线都是具有渐近稳定性，则称平衡状始状态出发的轨线都是具有渐近稳定性，则称平衡状态态xe是是大范围渐近稳定大范围渐近稳定的。的。不稳定不稳定如果对于某个实数如果对于某个实数 和任一实数和任一实数 ，不管，不管 这个实数多么小，由这个实数多么小，由 内出发的状态轨线内出发的状态轨线，至少有一个轨线越过至少有一个轨线越过 ，则称平衡状态，则称平衡状态xe不不稳定。稳定。稳定性定义的平面几何表示稳定性定义的平面几何表示 设系统初始状态设系统初始状态 x0 位于以平衡状态位于以平衡状态 xe 为球心、半径为球心、半径为为的闭球域内，如果系统稳定，则状态方程的解，的闭球域内，如果系统稳定，则状态方程的解，都位于以都位于以 xe 为球心，半径为为球心，半径为的闭球域内。的闭球域内。（a a）李雅普诺夫意义下的稳定性李雅普诺夫意义下的稳定性 （b b）渐近稳定性渐近稳定性 （c c）不稳定性不稳定性李雅普诺夫第一法（间接法）李雅普诺夫第一法（间接法）线性系统的稳定判据线性系统的稳定判据线性定常线性定常系统系统:(A,b,c)平衡状态平衡状态xe=0渐近稳定的充要条件是矩阵渐近稳定的充要条件是矩阵A的所有特征根均具有负实部。的所有特征根均具有负实部。这里的稳定是指系统的这里的稳定是指系统的状态稳定性状态稳定性，或者称，或者称内部稳定内部稳定。线性系统的输出稳定判据线性系统的输出稳定判据如果系统对于有界输入如果系统对于有界输入u所引起的输出所引起的输出y是有是有界的，则称系统为界的，则称系统为输出稳定输出稳定。线性定常线性定常系统系统:(:(A,b,c）输出稳定的输出稳定的充要条充要条件件是其传递函数是其传递函数：的极点全部位于的极点全部位于s的左半平面。的左半平面。例1设设系系统统的状的状态态空空间间表达式表达式为为：试试分析系分析系统统的状的状态稳态稳定性和定性和输输出出稳稳定性。定性。解解:（1）有）有A阵阵的特征方程的特征方程特征值为特征值为-1 和和1，所以系统的状态不是，所以系统的状态不是渐近稳定的。渐近稳定的。（2）系）系统统的的传递传递函数函数为为：传递传递函数的极点位于函数的极点位于s平面的左半平面，所以平面的左半平面，所以系系统统的的输输出出稳稳定。定。状态稳定和输出稳定状态稳定和输出稳定1）状态不稳定，输出不一定不稳定）状态不稳定，输出不一定不稳定2）只有当系统的传递函数不出现零极对消现象，并）只有当系统的传递函数不出现零极对消现象，并且矩阵且矩阵A的特征值和系统传递函数的极点相同时，的特征值和系统传递函数的极点相同时，系统的状态稳定和输出稳定才是一致的。系统的状态稳定和输出稳定才是一致的。非线性系统的稳定性非线性系统的稳定性设系统的状态方程为设系统的状态方程为：xe为其平衡状态；为其平衡状态；f(x,t)为与为与x同维的矢量函同维的矢量函数，且对数，且对x具有连续的偏导数。具有连续的偏导数。为讨论系统在为讨论系统在xe处的稳定性，可将线性矢量处的稳定性，可将线性矢量函数函数f(x,t)在在xe邻域内展成泰勒级数，得：邻域内展成泰勒级数，得：为级数展开式中的为级数展开式中的高阶导数项高阶导数项雅可比矩阵雅可比矩阵若令若令 ，并取一次近似，可以得到，并取一次近似，可以得到系统的线性化方程：系统的线性化方程：式中式中非线性系统的稳定判据非线性系统的稳定判据1）系数矩阵）系数矩阵A的所有特征值都具有负实部，则原非线性的所有特征值都具有负实部，则原非线性系统在系统在xe是渐近稳定的，且系统的稳定性与是渐近稳定的，且系统的稳定性与R(x)无关；无关；2）如果）如果A的特征值，至少有一个具有正实部，则原非线的特征值，至少有一个具有正实部，则原非线性系统在性系统在xe是不稳定的。是不稳定的。3）如果）如果A的特征值，至少有一个的实部为零。系统处于的特征值，至少有一个的实部为零。系统处于临界情况，原非线性系统的平衡状态临界情况，原非线性系统的平衡状态xe的稳定性将取决的稳定性将取决于高阶导数项于高阶导数项R(x)。例例2 设系统状态方程为设系统状态方程为：试试分析系分析系统统在平衡状在平衡状态处态处的的稳稳定性。定性。得系得系统统的平衡状的平衡状态为态为在在处线处线性化，得性化，得状状态态矩矩阵为阵为特征根特征根为为-1 和和1，所以原非，所以原非线线性系性系统统在在解：解：解方程解方程处处是不是不稳稳定的。定的。状状态态矩矩阵为阵为特征特征值为值为j1，实实部部为为0，不能由，不能由线线性化方程性化方程得出原系得出原系统统在在处稳处稳定性的定性的结论结论。处线处线性化，得性化，得在在李雅普诺夫第二法（直接法）李雅普诺夫第二法（直接法）基本思路基本思路：从能量的观点分析，借助于一个李雅普诺：从能量的观点分析，借助于一个李雅普诺夫函数来直接对系统平衡状态的稳定性作出判断。夫函数来直接对系统平衡状态的稳定性作出判断。一个系统被激励后，其存储的能量随着时间的推移逐一个系统被激励后，其存储的能量随着时间的推移逐渐衰减，达到平衡状态时，能量将达最小值。这个平渐衰减，达到平衡状态时，能量将达最小值。这个平衡状态是渐近稳定的。衡状态是渐近稳定的。反之，如果系统不断从外界吸收能量，储能越来越大，反之，如果系统不断从外界吸收能量，储能越来越大，那么这个平衡状态是不稳定的。那么这个平衡状态是不稳定的。李雅普诺夫函数李雅普诺夫函数是正定的标量函数，是虚构的广义能是正定的标量函数，是虚构的广义能量函数，通过能量函数对时间的导数的符号来判断稳量函数，通过能量函数对时间的导数的符号来判断稳定性。定性。预备知识预备知识标量函数的符号性质标量函数的符号性质设设V(x)为有为有n维矢量维矢量x所定义的标量函数，所定义的标量函数，且在且在x=0处，恒有处，恒有V(x)=0。所有在域。所有在域中的任何非中的任何非零矢量零矢量x，如果，如果1），则称，则称V(x)为正定的，如：为正定的，如：2），则称，则称V(x)为半正定（或非负定）的。为半正定（或非负定）的。3），则称，则称V(x)为负定的。为负定的。4），则称，则称V(x)为半负定（非正定）的。为半负定（非正定）的。5）或或 ，则称，则称V(x)为不定的。为不定的。二次型标量函数二次型标量函数设设 为为n个变量，定义二次个变量，定义二次型标量函数为：型标量函数为：二次型函数的标准型二次型函数的标准型对二次型函数对二次型函数 ，若，若P为实对称阵，则必为实对称阵，则必存在正交矩阵存在正交矩阵T,通过变换通过变换 ，使之化成：，使之化成：称为二次型函数的标准型。称为二次型函数的标准型。V(x)正定的正定的充要条件充要条件是对称阵是对称阵P的所有特征值均大于的所有特征值均大于0.矩阵矩阵P的符号性质定义的符号性质定义设设P为为n n的实对称方阵，的实对称方阵为由为由P所决定的所决定的二次型函数。二次型函数。1）若若V(x)为正定，则称为正定，则称P为正定，记做为正定，记做P0.2）若若V(x)为负定，则称为负定，则称P为负定，记做为负定，记做P0,使得使得ATP+PA0.线性定常连续系统李雅普诺夫函数线性定常连续系统李雅普诺夫函数设设为李雅普诺夫函数必须满足的为李雅普诺夫函数必须满足的条件是条件是V(x)是正定的，是正定的，P 为正定实对称阵。为正定实对称阵。如果系统是渐近稳定的，实对称阵满足不等如果系统是渐近稳定的，实对称阵满足不等式式ATP+PA0这就给出了一种构造李雅普诺夫函数的方法，这就给出了一种构造李雅普诺夫函数的方法，难点就是求解正定实对称阵难点就是求解正定实对称阵P求解正定实对称阵求解正定实对称阵求满足不等式求满足不等式ATP+PA0实对称阵实对称阵P把不等式求解转换为求解等式把不等式求解转换为求解等式Q是任意正定实对称阵，如果满足李雅普诺是任意正定实对称阵，如果满足李雅普诺夫方程，一定满足李雅普诺夫不等式夫方程，一定满足李雅普诺夫不等式ATP+PA=-Q李雅普诺夫方程李雅普诺夫方程ATP+PA0求解求解P的的matlab函数函数P=lyap(A,B,Q)AP+PB=-QP=lyap(A,Q)ATP+PA=-Q李雅普诺夫不等式李雅普诺夫不等式应用李雅普诺夫函数判据几点说明应用李雅普诺夫函数判据几点说明n实际应用是，通常先选取一个正定矩阵实际应用是，通常先选取一个正定矩阵Q，带入李雅普诺夫方程，解出矩阵带入李雅普诺夫方程，解出矩阵P，然后按，然后按希尔维斯特判据判希尔维斯特判据判定定P的的正定性，进而做出正定性，进而做出系统渐进稳定的结论。系统渐进稳定的结论。n为了方便，常取为了方便，常取Q=I，这时，这时ATP+PA=-In如果如果V(x)的导数沿任意轨迹不恒为零，可取的导数沿任意轨迹不恒为零，可取Q为半正定。为半正定。n判据给出的条件是充分必要的。判据给出的条件是充分必要的。例例6 已知系统状态方程已知系统状态方程试分析系统平衡点的稳定性。试分析系统平衡点的稳定性。解：状态矩阵是非奇异的，系统的平衡解：状态矩阵是非奇异的，系统的平衡状态为原点。状态为原点。设设将将P和和Q代入李雅普诺夫方程得代入李雅普诺夫方程得将上式展开，按照对应元素相等，可解得将上式展开，按照对应元素相等，可解得根据希尔维斯特判据知根据希尔维斯特判据知矩阵矩阵P是正定的，系统是大范围渐近稳是正定的，系统是大范围渐近稳定的。定的。例例7 已知系统状态方程已知系统状态方程试确定系统增益试确定系统增益K的稳定范围。的稳定范围。解解：因为是线性系统，且：因为是线性系统，且det(A)=-K,系统原点系统原点是唯一的平衡点。是唯一的平衡点。假设选取半正定阵Q为为了说明选取为了说明选取Q为半正定是正确的，还需要为半正定是正确的，还需要证明证明V(x)的导数不恒为零。由于的导数不恒为零。由于条件是条件是所以只有在原点平衡状态，才能是所以只有在原点平衡状态，才能是V(x)的的导数恒等于零，而沿任意轨迹导数恒等于零，而沿任意轨迹V(x)的导数的导数都不会恒等于零。因此可以取都不会恒等于零。因此可以取Q为半正定的。为半正定的。根据李雅普诺夫方程根据李雅普诺夫方程可解可解P阵得阵得为使为使P为正定矩阵，充要条件是为正定矩阵，充要条件是满足满足0K6时，系统是大范围渐近稳定时，系统是大范围渐近稳定 的。的。李雅普诺夫方法在非线性系统中的李雅普诺夫方法在非线性系统中的应用应用雅可比矩阵法（克拉索夫斯基法）雅可比矩阵法（克拉索夫斯基法）对一非线性系统，构造李雅普诺夫函数对一非线性系统，构造李雅普诺夫函数设非线性系统的状态方程为：设非线性系统的状态方程为：假设原点假设原点xe=0是平衡状态，是平衡状态，f(x)对对xi(i=1,2,n)可微，系统的雅可比矩阵为：可微，系统的雅可比矩阵为：雅可比矩阵法雅可比矩阵法则系统在原点渐近稳定的充分条件是：任给正则系统在原点渐近稳定的充分条件是：任给正定对称矩阵，使下列矩阵定对称矩阵，使下列矩阵为正定的。并且为正定的。并且是系统的一个李雅普诺夫函数。是系统的一个李雅普诺夫函数。雅可比矩阵法雅可比矩阵法证明：证明：选取二次型函数：选取二次型函数：为李雅普诺夫函数，其中为李雅普诺夫函数，其中P为正定对称矩阵，因为正定对称矩阵，因此此V(x)是正定的。是正定的。f(x)是是x的显函数，不是时间的显函数，不是时间t的显函数，因而有的显函数，因而有将将V(x)沿状态轨迹对沿状态轨迹对t求全导数，得：求全导数，得：雅可比矩阵法雅可比矩阵法如果如果Q(x)是正定的，那么是正定的，那么 一定是负定一定是负定的。系统在原点是渐近稳定的。的。系统在原点是渐近稳定的。注意：雅可比矩阵的主对角元素不能恒为注意：雅可比矩阵的主对角元素不能恒为零。零。克拉索夫斯基表达式克拉索夫斯基表达式如果取如果取P=I，则，则上式称为克拉索夫斯基表达式。这时有上式称为克拉索夫斯基表达式。这时有和和推论推论 对于线性定常系统对于线性定常系统 ，若矩阵，若矩阵A非奇异，且矩阵非奇异，且矩阵(AT+A)为负定，则系统的为负定，则系统的平衡状态平衡状态xe=0是大范围渐近稳定的。是大范围渐近稳定的。例例8 设系统的状态方程设系统的状态方程:试用克拉索夫斯基分析原点平衡状态处的稳定性试用克拉索夫斯基分析原点平衡状态处的稳定性解解：计算雅可比矩阵：计算雅可比矩阵：取取P=I，得，得根据希尔维斯特判据判断根据希尔维斯特判据判断Q的符号，有：的符号，有：所以所以Q是正定的。是正定的。另外，当另外，当有有系统在原点平衡状态是大范围渐近稳定的。系统在原点平衡状态是大范围渐近稳定的。例题已知非线性系统的状态方程为：用李雅普诺夫第二法，判断系统的稳定性。