离散型随机变量的期望与方差.ppt

1.条件概率的定义条件概率的定义.2.条件概率的性质条件概率的性质.3.条件概率的计算方法条件概率的计算方法.一、基本知识二、思想方法二、思想方法 1.由特殊到一般由特殊到一般 2.类比、归纳、推理类比、归纳、推理(1)有界性（2）可加性（古典概型古典概型）（一般概型一般概型）3.数形结合数形结合回顾回顾4.求解条件概率的一般步骤求解条件概率的一般步骤用字母用字母表示表示有关有关事件事件求相关量求相关量代入公式求代入公式求P(B|A)热身：全年级热身：全年级100名学生中，有男生（以事件名学生中，有男生（以事件A表示）表示）80人，女生人，女生20人；人；来自北京的（以事件来自北京的（以事件B表示）有表示）有20人，其中男生人，其中男生12人，女生人，女生8人；免修英语的（以事件人；免修英语的（以事件C表示）表示）40人中，有人中，有32名男生，名男生，8名女生。求名女生。求 离散型随机变量的期望和方差离散型随机变量的期望和方差设离散型随机变量设离散型随机变量 可能取的值为可能取的值为 为随机变量为随机变量 的的概率分布列概率分布列，简称为，简称为 的的分布列分布列.取每一个值取每一个值 的概率的概率 则称表则称表 对于离散型随机变量，确定了它的分布列，就掌握对于离散型随机变量，确定了它的分布列，就掌握了随机变量取值的统计规律了随机变量取值的统计规律.但在实际应用中，我们还常但在实际应用中，我们还常常希望常希望直接通过数字直接通过数字来反映随机变量的某个方面的特征，来反映随机变量的某个方面的特征，最常用的有最常用的有期望与方差期望与方差.思考下面的问题思考下面的问题:4 5 6 7 8 9 100.020.02 0.040.04 0.060.060.090.09 0.280.28 0.290.29 0.220.22某射手射击所得环数某射手射击所得环数 的分布列如下：的分布列如下：在在100次射击之前次射击之前,试估计该射手试估计该射手100次射击的平均环数次射击的平均环数.分析：分析：平均环数平均环数=总环数总环数 100所以所以,总环数约等于总环数约等于（40.02+50.04+60.06+100.22)100.故故100100次射击的平均环数约等于次射击的平均环数约等于 40.02+50.04+60.06+100.22=8.32.一般地：一般地：对任一射手对任一射手,若已知他的所得环数若已知他的所得环数 的分布列，即已的分布列，即已知知 则可以预计他任意则可以预计他任意n次射击的次射击的平均环数是平均环数是 记为记为 我们称我们称 为此射手射击所得环数的为此射手射击所得环数的期望期望，它刻划了所，它刻划了所得环数随机变量得环数随机变量 所取的平均值。所取的平均值。更一般地更一般地 关于关于平均的意义平均的意义,我们再看一个例子我们再看一个例子,思考思考:课本第课本第6969页的定价怎样才合理问题页的定价怎样才合理问题?结论一证明结论一证明结论二证明结论二证明数学期望的定义数学期望的定义:一般地，随机变量一般地，随机变量 的概率分布列为的概率分布列为则称则称为为 的的数学期望数学期望或均值，简称为或均值，简称为期望期望.它它反映了离散型随反映了离散型随机变量取值的平均水平机变量取值的平均水平.结论结论1：则则 ;结论结论2：若：若B(n，p)，则，则E=np.练习一练习一 (巩固定义巩固定义)所以，所以，的分布列为的分布列为结论结论1：则则 练习一练习一 (巩固定义巩固定义)练习二练习二1 1、随机变量、随机变量的分布列是的分布列是135P0.50.30.2(1)则则E=.2 2、随机变量、随机变量的分布列是的分布列是2.4(2)若若=2+1，则，则E=.5.847910P0.3ab0.2E=7.5,则则a=b=.0.40.13.3.3.3.篮球运动员在比赛中每次罚球命中得篮球运动员在比赛中每次罚球命中得篮球运动员在比赛中每次罚球命中得篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1 1 1 1分，罚不中得分，罚不中得分，罚不中得分，罚不中得0 0 0 0分已知某运动员罚球命中的概率为分已知某运动员罚球命中的概率为分已知某运动员罚球命中的概率为分已知某运动员罚球命中的概率为0.70.70.70.7，则他罚球，则他罚球，则他罚球，则他罚球1 1 1 1次次次次的得分的得分的得分的得分的期望为的期望为的期望为的期望为 1.1.一个袋子里装有大小相同的一个袋子里装有大小相同的3 3 个红球和个红球和2 2个黄球，从个黄球，从中同时取中同时取2 2个，则其中含红球个数的数学期望是个，则其中含红球个数的数学期望是 .1.21.22.2.（1 1）若）若 E()=E()=4.54.5,则则 E(E()=)=.（2 2）E(E(E)=E)=.0.70.7-4.5-4.50 0 这是一个特殊的二项分布的随机变量的期望这是一个特殊的二项分布的随机变量的期望,那那么一般地么一般地,若若B(n，p)，则，则E=?E =0Cn0p0qn+1Cn1p1qn-1+2Cn2p2qn-2+kCnkpkqn-k+nCnnpnq0P(=k)=Cnkpkqn-k证明：证明：=np(Cn-10p0qn-1+Cn-11p1qn-2+Cn-1k-1pk-1q(n-1)-(k-1)+Cn-1n-1pn-1q0)=np(p+q)n-1=np 0 1 k n P Cn0p0qn Cn1p1qn-1 Cnkpkqn-k Cnnpnq0(k Cnk=n Cn-1k-1)结论结论2：若：若B(n，p)，则，则E=np 不一定不一定,其含义是在多次类似的测试中其含义是在多次类似的测试中,他的平均成他的平均成绩大约是绩大约是9090分分思考思考1思考思考2例例.一次单元测验由一次单元测验由2020个选择题构成个选择题构成,每个选择题有每个选择题有4 4个选个选项项,其中有且仅有一个选项正确其中有且仅有一个选项正确,每题选对得每题选对得5 5分分,不选或不选或选错不得分选错不得分,满分满分100100分分.学生甲选对任一题的概率为学生甲选对任一题的概率为0.9,0.9,学生乙则在测验中对每题都从学生乙则在测验中对每题都从4 4个选项中随机地选择个选项中随机地选择一个一个.求学生甲和学生乙在这次测验中的成绩的均值求学生甲和学生乙在这次测验中的成绩的均值.解解:设学生甲和学生乙在这次测验中选择正确的选择题个设学生甲和学生乙在这次测验中选择正确的选择题个数分别是数分别是和和,则则 B(20B(20,0.9)0.9),B(20B(20,0.25)0.25)，所以所以EE20200.90.91818，EE20200.250.255 5 由于答对每题得由于答对每题得5 5分，学生甲和学生乙在这次测验分，学生甲和学生乙在这次测验中的成绩分别是中的成绩分别是55和和5.5.这样，他们在测验中的成绩这样，他们在测验中的成绩的期望分别是的期望分别是E(5)E(5)5E5E5 518189090，E(5)E(5)5E5E5 55 52525思考思考:学生甲在这次测试中的成绩一定会是学生甲在这次测试中的成绩一定会是9090分吗分吗?他的他的均值为均值为9090分的含义是什么分的含义是什么?思考思考1.1.某商场的促销决策：某商场的促销决策：统计资料表明，每年端午节商场内促销活动可获利统计资料表明，每年端午节商场内促销活动可获利统计资料表明，每年端午节商场内促销活动可获利统计资料表明，每年端午节商场内促销活动可获利2 2万元；商场外促销活动如不遇下雨可获利万元；商场外促销活动如不遇下雨可获利万元；商场外促销活动如不遇下雨可获利万元；商场外促销活动如不遇下雨可获利1010万元；如万元；如万元；如万元；如遇下雨可则损失遇下雨可则损失遇下雨可则损失遇下雨可则损失4 4万元。万元。万元。万元。6 6月月月月1919日气象预报端午节下雨日气象预报端午节下雨日气象预报端午节下雨日气象预报端午节下雨的概率为的概率为的概率为的概率为40%40%，商场应选择哪种促销方式？，商场应选择哪种促销方式？，商场应选择哪种促销方式？，商场应选择哪种促销方式？解解:因为商场内的促销活动可获效益因为商场内的促销活动可获效益2 2万元万元设商场外的促销活动可获效益设商场外的促销活动可获效益 万元万元,则则 的分布列的分布列P 10 40.6 0.4所以所以E=100.6(-4)0.4=4.4因为因为4.42,所以商场应选择在商场外进行促销所以商场应选择在商场外进行促销.思考思考2.2.有有场场赌赌博博，规规则则如如下下：如如掷掷一一个个骰骰子子，出出现现1 1，你你赢赢8 8元元；出出现现2 2或或3 3或或4 4，你你输输3 3元元；出出现现5 5或或6 6，不不输输不不赢赢这这场场赌博赌博对你是否有利对你是否有利?对你不利对你不利!劝君莫参加赌博劝君莫参加赌博.1 1、本节课学习了离散型随机变量、本节课学习了离散型随机变量的期望及公式：的期望及公式：（1 1）E(a+b)=)=aE+b;（2 2）若）若B（n,p），则），则E=np 2 2、会根据离散型随机变量的分布列求出期望。、会根据离散型随机变量的分布列求出期望。一、离散型随机变量的均值一、离散型随机变量的均值数学期望数学期望二、离散型随机变量均值的线性性质二、离散型随机变量均值的线性性质三、两点分布与二项分布的均值三、两点分布与二项分布的均值XX服从两点分布服从两点分布XB（n,p）E(X)要从两名同学中挑选出一名，代表班级参加射击比赛要从两名同学中挑选出一名，代表班级参加射击比赛.根据以往的成绩记录，第一名同学击中目标靶的环数根据以往的成绩记录，第一名同学击中目标靶的环数 的分布列为的分布列为P56789100.030.090.200.310.270.10第二名同学击中目标靶的环数第二名同学击中目标靶的环数 的分布列为的分布列为P567890.010.050.200.410.33请问应该派哪名同学参赛？请问应该派哪名同学参赛？发现两个均值相等发现两个均值相等因此只根据均值不能区分这两名同学的射击水平因此只根据均值不能区分这两名同学的射击水平.（1 1）频率分布表：）频率分布表：分分 组组 频数频数 频率频率 122122，126126）2 2 126126，130130）8 8 130130，134134）9 9 134134，138138）18 18 138138，142142）28 28 142142，146146）15 15 146146，150150）10 10 150150，154154）6 6 154154，158158）4 4 合合 计计 1001001.001.000.020.020.080.080.090.090.180.180.280.280.150.150.100.100.060.060.040.04（2 2）频率分布直方图：）频率分布直方图：身高身高/cm/cm0.080.080.070.070.060.060.050.050.040.040.030.030.020.020.010.01 122 126 130 134 138 142 146 150 154 158 122 126 130 134 138 142 146 150 154 158 频率频率组距组距O（3 3）（1）分别画出分别画出 的分布列图的分布列图.O5 6 71098P0.10.20.30.40.5O5 6 798P0.10.20.30.40.5（2）比较两个分布列图形，哪一名同学的成绩更稳定？比较两个分布列图形，哪一名同学的成绩更稳定？除平均中靶环数以外，还有其他刻画两名同学各自除平均中靶环数以外，还有其他刻画两名同学各自射击特点的指标吗？射击特点的指标吗？第二名同学的成绩更稳定第二名同学的成绩更稳定.1、定性分析、定性分析2、定量分析、定量分析怎样定量刻画随机变量的稳定性？怎样定量刻画随机变量的稳定性？（1）样本的稳定性是用哪个量刻画的？样本的稳定性是用哪个量刻画的？方差方差（2）能否用一个与样本方差类似的量来刻画随机变量能否用一个与样本方差类似的量来刻画随机变量 的稳定性呢？的稳定性呢？离散型离散型随机变量取值的方差和标准差随机变量取值的方差和标准差:则称则称为随机变量为随机变量 的方差的方差.一般地一般地,若离散型随机变量若离散型随机变量 的概率分布列为：的概率分布列为：称称为随机变量为随机变量 的标准差的标准差.它们都是反映离散型随机变量偏离于均值的平均程它们都是反映离散型随机变量偏离于均值的平均程度的量，它们的值越小，则随机变量偏离于均值的平均度的量，它们的值越小，则随机变量偏离于均值的平均程度越小，即越集中于均值。程度越小，即越集中于均值。3、对方差的几点说明、对方差的几点说明（1）随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值 偏离于均值的平均程度偏离于均值的平均程度.方差或标准差越小，则随方差或标准差越小，则随 机变量偏离于均值的平均程度越小机变量偏离于均值的平均程度越小.说明：随机变量说明：随机变量集中的位置集中的位置是随机变量的是随机变量的均值均值；方差或；方差或标准差这种度量指标是一种标准差这种度量指标是一种加权平均加权平均的度量指标的度量指标.（2）随机变量的方差与样本的方差有何联系与区别？随机变量的方差与样本的方差有何联系与区别？随机变量的方差是常数随机变量的方差是常数，而，而样本的方差样本的方差是随着样本是随着样本的不同而的不同而变化变化的，因此样本的方差是随机变量的，因此样本的方差是随机变量.对于简单随机样本，随着样本容量的增加，样本方对于简单随机样本，随着样本容量的增加，样本方差越来越接近总体方差，因此常用样本方差来估计总体差越来越接近总体方差，因此常用样本方差来估计总体方差方差.（二）、公式运用（二）、公式运用1、请分别计算探究中两名同学各自的射击成绩的方差、请分别计算探究中两名同学各自的射击成绩的方差.P56789100.030.090.200.310.270.10P567890.010.050.200.410.33因此第一名同学的射击成绩稳定性较差，第二名同学的射击因此第一名同学的射击成绩稳定性较差，第二名同学的射击成绩稳定性较好，稳定于成绩稳定性较好，稳定于8环左右环左右.如果其他班级参赛选手的射击成绩都在如果其他班级参赛选手的射击成绩都在9环左右，本班环左右，本班应该派哪一名选手参赛？如果其他班级参赛选手的成绩应该派哪一名选手参赛？如果其他班级参赛选手的成绩在在7环左右，又应该派哪一名选手参赛？环左右，又应该派哪一名选手参赛？应用举例应用举例例例1随机抛掷一枚质地均匀的骰子随机抛掷一枚质地均匀的骰子,求向上一面的点求向上一面的点数的均值、方差和标准差数的均值、方差和标准差.解：抛掷散子所得点数解：抛掷散子所得点数X 的分布列为的分布列为P6 65 54 43 32 21 1X从而从而.例例2 2有甲乙两个有甲乙两个单单位都愿意聘用你，而你能位都愿意聘用你，而你能获获得如下信息：得如下信息：甲甲单单位不同位不同职职位月工位月工资资X1/元元12001200140014001600160018001800获获得相得相应职应职位的概率位的概率P P10.40.40.30.30.20.20.10.1乙乙单单位不同位不同职职位月工位月工资资X2/元元10001000140014001800180022002200获获得相得相应职应职位的概率位的概率P P20.40.40.30.30.20.20.10.1根据工根据工资资待遇的差异情况，你愿意待遇的差异情况，你愿意选择选择哪家哪家单单位？位？（2）决策问题决策问题解：根据月工资的分布列，利用计算器可算得解：根据月工资的分布列，利用计算器可算得因为因为 ，所以两家单位的工资均值相等，所以两家单位的工资均值相等，但甲单位不同职位的工资相对集中，乙单位不同职位的工资但甲单位不同职位的工资相对集中，乙单位不同职位的工资相对分散这样，如果你希望不同职位的工资差距小一些，相对分散这样，如果你希望不同职位的工资差距小一些，就选择甲单位；如果你希望不同职位的工资差距大一些，就选择甲单位；如果你希望不同职位的工资差距大一些，就选择乙单位就选择乙单位首页首页上页上页下页下页 E2=00.8+10.06+20.04+30.10=0.44.解：解：E1=00.7+10.2+20.06+30.04=0.44,D1 D2 故故A机床加工较稳定、质量较好机床加工较稳定、质量较好.（三）、练习（三）、练习 1.1.已知已知 ，则，则 的值分别是（的值分别是（）A B C.D.D 3.一盒中装有零件一盒中装有零件12个，其中有个，其中有9个正品，个正品，3个次品，从中个次品，从中 任取一个，如果每次取出次品就不再放回去，再取一个任取一个，如果每次取出次品就不再放回去，再取一个 零件直到取得正品为止求在取得正品之前已取出次品零件直到取得正品为止求在取得正品之前已取出次品 数的期望与方差数的期望与方差EX=0.3 ；DX=351/11002.有一批数量很大的商品的次品率有一批数量很大的商品的次品率为为1%1%，从中任意地，从中任意地连续连续取出取出200200件商品，件商品，设设其中次品数其中次品数为为X，求，求E EX，D DXEX=2;DX=1.982、两个特殊分布的方差、两个特殊分布的方差（1）若若 X 服从两点分布，则服从两点分布，则（2）若若 ，则，则（2）证明提示：）证明提示：第一步求第一步求第二步得第二步得3、方差的性质、方差的性质（1）线性变化线性变化平移变化不改变方差，但是伸缩变化改变方差平移变化不改变方差，但是伸缩变化改变方差（2）方差的几个恒等变形）方差的几个恒等变形注：要求方差则先求均值注：要求方差则先求均值5 5、对对于两个随机于两个随机变变量量 和和 在在 与与 相等或等或很接近时，比较很接近时，比较 和和 ，可以确定哪个随机变量，可以确定哪个随机变量的性质更适合生产生活实际，适合人们的需要的性质更适合生产生活实际，适合人们的需要.4、掌握方差的、掌握方差的线性变化线性变化性质性质几个常用公式：几个常用公式：相关练习：相关练习：3、有一批数量很大的商品，其中次品占、有一批数量很大的商品，其中次品占1，现从中任意地连续取出，现从中任意地连续取出200件商品，件商品，设其次品数为设其次品数为X，求，求EX和和DX。117100.82，1.98课堂小结课堂小结1、离散型随机变量取值的方差、标准差及意义、离散型随机变量取值的方差、标准差及意义2、记住几个常见公式、记住几个常见公式