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33昭 通 学 院 学 报第 45 卷 第 5 期Vol.45 No.5Journal of Zhaotong University2023 年 10 月Oct.2023数学研究关于锥和半序的一个基本结论及其应用许绍元#1，韩艳#2，樊丽2（1.韩山师范学院 数学与统计学院，广东 潮州 521041；2.昭通学院 数学与统计学院，云南 昭通 657000）摘要：该文给出了锥与半序的一个基本结论。作为应用，得到了半序 Banach 空间锥与半序的若干重要性质。特别的，得到了实 Banach 空间中正锥的内点的一个刻画。此外，还得到了新的混合单调算子不动点的存在唯一性定理以及混合单调系统全局稳定性的新结果。关键词：锥与半序；实 Banach 空间；混合单调算子；不动点中图分类号：O177.91文献标志码：A文章编号：2095-7408（2023）05-0033-040 引言在现实世界中，我们经常遇到大量的非线性问题。为解决这些问题，往往需要建立涉及微分方程或积分方程的数学模型。一般来说，研究这些模型的一个基本任务是判断非线性算子方程正解的存在性、唯一性与迭代收敛性1-4.然而，目前在理论上和应用中出现的大量非线性问题是缺乏紧性或连续性4，因此，利用凸锥理论与半序方法处理这些问题显得尤为重要。自 20 世纪 80 年代以来，郭大钧与 Lakshmikantham 等诸多学者利用凸锥理论与半序方法研究了各类具有某种凹凸性的非紧算子，包括具有某种凹凸性的单调算子（增算子或减算子）和混合单调算子（见文 1-27）。早在1964年，Krasnoselskii在5中首次提出了单调算子。然而，在一些应用中有时遇到的非线性算子并不具备单调性，但具备一种混合单调性（见 6-8）。自1987 年郭大钧和 Lakshmikantham 在 8 中提出混合单调算子以来，这一概念在研究非线性泛函分析、非线性微分方程和非线性积分方程中发挥了重要了作用，混合单调算子理论被广泛应用到工程技术、核物理和生物化学等诸多领域，见文 9-22。本文继续探讨锥与半序与混合单调算子理论。首先，通过深入研究正锥的内点结构，得到了锥与半序的一个基本理论。作为应用，得到了若干锥与半序的基本性质，并给出了一些已有性质的新证明方法。此外，还得到一类具有某种凹凸性的混合单调算子新不动点定理。设E是实 Banach 空间，是E中零元，P是E中 的 锥，是 由P定 义 的 半 序，即,x yE yxP，则xy.用xy表示intyxP.其中int P表示P的内部。关于锥与半序理论见文 1-4。锥P称为正规锥,如果存在常数0K，使得(,)xyx yE蕴含xKy，满足上述条件的最小正数K称为锥P的正规常数。锥P称为体锥,如果int P ，即P有非空的内部。设P是E中的锥，若E中每个按序有上界的增序列必有极限，即若 nxE满足12nxxxy（其中yE）必有xE使0()nxxn，则称P是正则的。设DE，:A DE是一个算子。若存在xD使Axx=，则称x为A在D中的不动点。设00,u vE且00uv，称0000,:u vxE uxv=为序区间。收稿日期：2023-08-11基金项目：云南省地方本科高校基础研究联合专项资金项目面上项目（202101BA070001-045）；云南省地方本科高校基础研究联合专项资金项目面上项目（202301BA070001-095）。作者简介：#对本文贡献等同，为共同第一作者。许绍元（1964），男，湖北武汉人，教授，博士，硕士研究生导师，主要从事非线性分析研究。韩艳（1986），女，湖北黄冈人，副教授，博士，硕士研究生导师，云南省中青年学术和技术带头人后备人才，主要从事非线性分析研究。34第 45 卷昭 通 学 院 学 报2023 年（总第 210 期）设e，记:,0,.ePxEstexe=.设算子:A DE，称A为增算子，如果对任意的,x yD且xy有AxAy，称A为减算子，如果对任意的,x yD且xy有AxAy（即AyAx）。设DE，若 算 子(,):A x yDDE关 于x是 增 算 子，关 于y是 减 算 子，即对任意的1212,x xy yD，有12121122,(,)(,)xxyyA x yA xy，则称A是混合单调的。若 存 在*,*xyD使(*,*)*,(*,*)*A xyxA yxy=(*,*)*,(*,*)*A xyxA yxy=，则称(*,*)xy是A的一个耦合拟不动点；若存在xD使得(,)xA x x=，则称x是A的一个不动点。2 主要结果引理 1 设P是实 Banach 空间E的体锥，且inteP，则对任意的xE，存在充分小的0，使得exP.证明：由题设，inteP.于是，存在充分小的0r 使得(,):S e rxExerP=（1）由于,rrexexrrxx=于是，由（1）有rex，令0rx=，则存在充分小的0使得exP.推 论 1 设P是 实 Banach 空 间E的 体锥，,a bE.若ab，则 存 在0使 得(1)ab+.证明：由题设，知intabP.根据引理 1，任给xE，存在0使得abxP.取,xb=，则有abb，于是存在0使得(1)ab+.推论 227 设P是实 Banach 空间E的体锥，若()ab b，则存在01使 得(1)ab+.令11=+，则01使得(1)ab+=.取,xb=，则 有abb，于 是 存 在0使 得(1)ab+，即a.推论 4 设P是实 Banach 空间E的体锥，且,a bE.若ab，则ab.证明：令cab=，则由ab有c.由推论 3 知c，故ab.引理 2 设P是实 Banach 空间E的体锥，且inteP，则intxP存在0使xe.证 明：必 要 性。设intxP，由 题 设，intePE.根据引理 1，存在充分小的0使得xe，故xe，必要性获证。充分性。在证明充分性之前，首先介绍锥与半序的几个基本结论。命题 128（i）设0，则intintPP，即0,aa.（ii）设0，则abab.（iii）设abc，则ac.（iv）设abc，则ac.下 证 充 分 性，设 存 在0使 得xe，又e，由 命 题 1（i），e，即xe，由命题1（iv)，x，充分性获证。引理 2 给出了一个向量属于正锥内部的一个充分必要条件，它给出了实 Banach 空间中的正锥的内部结构的一个刻画。下面讨论一类混合单调算子不动点存在唯一性。定理 1 设P是实 Banach 空间E的正则体锥，:A PPP为混合单调算子，并且A是次连续的，即由,()nnxx yy n 有(,)nnA xy若收敛于(,)A x y.若以下条件成立：存 在00,u vP且00uv.反证，若00s=，则由0s之定义，对任意正整n，存在0ns 使得*nxs y且01nssn.于是10nsn矛盾，故00s.再证01s.反证，若001s使得0*(1)*xsy+，（5）由0s的 定 义 和（5）有00(1)ss+，这是一个矛盾，故01s.由0*xs y即有*xy.于是*xy=，且*(*,*)xA xx=，*,*,nnuxvyn.再证不动点的唯一性。设x是A在00,u v上的任一不动点，则(,)xA x x=，由于(,)x x也是耦合拟不动点，而(*,*)xy是A的最小与最大耦合拟不动点，故有*xxy，而*xy=，于是*xx=.最后证迭代收敛性，对任意0000,uxvy，设1111(,),(,),1,2,nnnnnnxA xyyA yxn=，易见,nnnnnnuxv uyv，而*,*nnuxvx，由P的 正 规 性 必 有*nxx，*()nyxn 证毕。由定理 1 立即有如下结论，证明从略。定理 2 设P是实 Banach 空间E的正则体锥，:A PPP为混合单调算子，并且A是次连续的。假设:T PP满足(,)TxA x x=.若以下条件成立存 在00,u vP且00uv使 得000000(,),(,)uA u vA v uv；对任意(0,1),(,),sx yPP有1(,)(,),A sx s ysA x y则A在00,u v上存在唯一的不动点*x，且满足*nT xx对任意00,xu v成立。定理 1 在非紧此连续的条件下得到了一类混合单调算子的不动点存在唯一性和迭代收敛性。定理2是混合单调系统全局稳定性的新结果。参考文献：1 郭大钧.非线性算子方程的正解及其对非线性积分方程的应用 J.数学进展,1984(13),294-310.2 Guo D J,Lakshmikantham V.Nonlinear problems in abstract conesM.Bosten and New York:Academoc Press Inc,1988.3 郭大钧.非线性泛函分析 M.济南:山东科学技术出版社,1985.4 郭大钧.非线性分析中的半序方法 M.济南:山东科学技术出版社,2000.5 Krasnoselskii M A.Positive solutions of operator equationsM.The Netherlands:P.Noordhoff,Groninngen,1964.6 Deimling K,Lakshmikantham V.Quasi-solutions and their role in the qualitative theory of differential equationsJ,Nonlinear Anal.TMA,1980,4:657-663.7 Ames W F.Monotonically convergent 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gained.Besides,a new theorem on the existence and uniqueness of the fixed point for a class of mixed monotone operators is given.In addition,a new result on the global stability of the mixed monotone system is obtained.Key words:cone and partial ordering;real Banach space;mixed monotone operator;fixed point