加强数学探究 提升核心素养——以平面与坐标轴围成的几何体的体积最小值为例.pdf

下半月（高中版）2024年第2期（总第304期）下半月（高中版）2024年第2期（总第304期）教学研究教学研究普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）指出，逻辑推理是指从一些事实和命题出发，依据规则推出其他命题的素养.逻辑推理主要包括两类：一类是从特殊到一般的推理，推理形式主要有归纳、类比；另一类是从一般到特殊的推理，推理形式主要是演绎.逻辑推理的主要表现为：掌握推理的基本形式和规则，发现问题和提出问题，探索和表述论证过程，理解命题体系，有逻辑地表达与交流.逻辑推理能力通常是在问题解决中形成的，发现问题和提出问题是提升逻辑推理能力的先决条件.因此，产生问题的载体是至关重要的.数学探究活动是围绕某个具体的数学问题，开展自主探究和合作研究，并最终解决问题的过程.数学探究活动的具体表现为：发现和提出有意义的数学问题，猜测合理的数学结论，提出解决问题的思路和方案，通过自主探究和合作研究论证数学结论.学科知识是学科核心素养形成的主要载体，学科活动是学科核心素养形成的主要路径，数学探究活动则是数学课堂教学中重要的实践性活动.一、确定探究内容原问题：如图1，直角AOB内有一定点P，过点P的直线与角的两边围成一个三角形，求此三角形面积的最小值.图1OPBA如图2，以点O为坐标原点、直线OB为x轴、直线OA为y轴，建立平面直角坐标系.设点P()m，n，过点P且与AOB的两边相交于点Q，R的直线的斜率为k()kSOQR.ORR1Q1QAPIB图3该问题是基于二维空间提出的，并得到了结论.由此联想到：在三维空间中是否存在类似的结论呢？立体几何是发展学生逻辑推理素养的重要载体，因此将其作为一次数学探究活动课的内容，通过循序渐进地向学生提出数学问题，为发展学生的逻辑推理能力搭建阶梯.二、设计探究活动将数学探究活动的流程确定为“创设情境提出问题猜想结论拟定方案论证结论深化质疑”，如图4所示.创设情境提出问题猜想结论深化质疑论证结论拟定方案图41.创设情境，提出问题情境：将二维平面中的问题拓展到三维空间中，问题中的条件应该如何改变？你能提出什么新问题？通过教师引导，学生不难发现：将二维平面中的问题拓展到三维空间中，“直角AOB”应该变为“三条两两垂直的射线OA，OB，OC构成的空间图形”，研究对象不再是“过点P的直线与角的两边围成的三角形”，而是“过点P的平面与三条射线OA，OB，OC围成的三棱锥”.教师介绍三面角的定义：由具有公共端点的不共面的三条射线，以及任两条射线所成的角的内部构成的空间图形叫作三面角.公共端点称为三面角的顶点，射线称为三面角的棱，两棱所夹的平面部分（角）称为三面角的面（角）.问题1：如图5，OA，OB，OC两两垂直，在三面角O-ABC内有一定点M，过点M的平面与棱OA，OB，OC分别交于点P，Q，R，求三棱锥O-PQR体积的最小值.图5QORPBMAC通过类比二维平面中的结论，在教师的启发下，学生提出猜想1.猜想1：OA，OB，OC两两垂直，点M为三面角O-ABC内一定点，过点M的平面与棱OA，OB，OC分别交于点P，Q，R，当点M为PQR的重心时，三棱锥O-PQR的体积最小.说明：类比推理是根据两个对象在某种属性上的相同或相似，推断出它们在另一属性上也相同或相似的推理过程.学生通过类比二维平面中的问题与结论，在三维空间中提出有意义的数学问题，并猜测合理的数学结论，这个过程使学生的合情推理能力得到训练.2.拟定方案，论证结论为检验猜想，教师把学生分成几个小组，引导学 36下半月（高中版）2024年第2期（总第304期）下半月（高中版）2024年第2期（总第304期）教学研究教学研究生通过小组讨论寻求验证方法，并拟定检验方案，鼓励学生使用信息技术软件进行检验.教师引导各小组相互交流、质疑和借鉴，以培养学生的数学交流能力.同时对各小组的检验方案进行评价，以帮助各小组完善检验方案.说明：教师在课前需要利用23个课时讲授利用GeoGebra软件制作三维视图的基本操作流程.教师巡视各小组的讨论情况，引导学生从简单的二维平面入手，尝试从代数与几何两个角度对结论进行双重论证.类比二维平面中的做法，学生能够想到实验验证和数学证明两种推理方法.（1）实验验证.实验目的：OA，OB，OC两两垂直，点M为三面角O-ABC内一定点，过点M的平面与棱OA，OB，OC交于点P，Q，R，验证当三棱锥O-PQR体积最小时，点M是否为PQR的重心.实验工具：GeoGebra软件.实验步骤：打开GeoGebra软件的三维视图，在第一卦限任取一个定点M，在第二卦限任取一个动点N，过点M作与直线MN垂直的平面，分别与x轴、y轴、z轴交于点P，Q，R，作PQR的重心S.测量三棱锥O-PQR的体积及点M，S之间的距离.用鼠标拖动点N改变平面PQR的方向，观察三棱锥O-PQR的体积及点M，S之间的距离的变化情况，并填写表1.表1项目三棱锥O-PQR的体积/cm3点M，S之间的距离观察到的现象实验次数15.491.57点M越接近PQR的重心S，三棱锥O-PQR的体积越小24.790.9734.290.6443.980.4253.470.01实验结果：当三棱锥O-PQR的体积最小时，点M为PQR的重心，即猜想1成立.（2）数学证明.证法1：如图6，建立空间直角坐标系O-xyz.图6QORPBMACzxy设M()x0，y0，z0，P()p，0，0，Q()0，q，0，R()0，0，r，其中x0，y0，z0，p，q，r均大于0.设 OM=x OP+y OQ+z OR.因为M，P，Q，R四点共面，所以x+y+z=1.所以x0p+y0q+z0r=1.由均值不等式，得1=x0p+y0q+z0r3x0y0z0pqr3，即pqr27x0y0z0.所以VO-PQR=16pqr92x0y0z0.当且仅当x0p=y0q=z0r时，VO-PQR取得最小值，最小值为92x0y0z0.此时，易得 OM=13 OP+13 OQ+13 OR，即点M为PQR的重心.证法2：如图7，设PQR是以点M为重心的三角形.图7P1FQQ1OR1REHPBMACG 37下半月（高中版）2024年第2期（总第304期）下半月（高中版）2024年第2期（总第304期）教学研究教学研究现过点M任作一平面分别交棱OA，OB，OC于点P1，Q1，R1，Q1R1交QR于点E，P1Q1交PQ于点F.不妨设ER1EQ，EREQ1.在线段ER1上取一点G，线段ER上取一点H，使EG=EQ，EH=EQ1，连接FG，FH，易得VF-EQQ1=VF-EGH.因为VO-PQR=V五面体ORPFQ1E+VF-EQQ1，VO-P1Q1R1=V五面体ORPFQ1E+V四面体REFP1R1=V五面体ORPFQ1E+VF-EGH+V五面体RHGFPP1R1，所以VO-PQRVO-P1Q1R1.说明：实验与论证是数学教学不可或缺的两个环节.寻找数学证明方法对大部分学生而言较为困难，先通过数学实验验证猜想，再利用几何直观帮助学生寻找证明方法，为逻辑推理素养的培养提供了帮助.3.深化质疑教师引导学生考察问题1中的条件的属性三面角的棱OA，OB，OC两两垂直，并提问：改变该条件属性后，问题1的结论还成立吗？学生在教师的启发下提出猜想2.猜想2：已知O-ABC为任意三面角，点M为其内一定点，过点M的平面与棱OA，OB，OC分别交于点P，Q，R，当点M为PQR的重心时，三棱锥O-PQR的体积最小.问题2：能否类比猜想1中的实验验证过程和数学证明方法，对猜想2进行检验？说明：通过类比探究，学生可以利用GeoGebra软件验证猜想2，并从代数和几何两个角度给出猜想2的两种数学证明方法.证 明：如 图 8，建 立 空 间 直 角 坐 标 系 O-xyz.（AOB在平面xOy上，直线OA在x轴上.）设M()x0，y0，z0（x0，y0，z0均大于0），OP=p，OQ=q，OR=r，OR的方向角为()，POQ=.由题意，知点P()p，0，0，Q()qcos，qsin，0，R()rcos，rcos，rcos.此时，三棱锥O-PQR的体积为V=16pqrsincos.设 OM=x OP+y OQ+z OR.因为M，P，Q，R四点共面，所以x+y+z=1，即x0p-y0ptan+z0cospcostan-z0cospcos+y0qsin-z0cosqcossin+z0rcos=1.由均值不等式，得pqrsintancos3x0y0z0cos2tan-y20z0cos2+2y0z20coscos-y0z20coscostan-x0z20coscostan-z30cos2+z30coscostan.所以V92x0y0z0-y20z0tan+2y0z20costancos-y0z20coscos-x0z20coscos-z30cos2tancos2+z30coscoscos2.当且仅当x0p-y0ptan+z0cospcostan-z0cospcos=y0qsin-z0cosqcossin=z0rcos时，V取得最小值.此时，易得 OM=13 OP+13 OQ+13 OR，即点M为PQR的重心.图8OPMQBCRxyzA猜想2的几何证明方法与猜想1相同，这里不再赘述.说明：在关联的情境中，学生能够通过类比发现和提出新的数学问题，通过对条件和结论的分析，探索论证的思路，从“数”和“形”两个角度进行双重论证，体现了学生扎实的逻辑推理能力.在数学探究活动中通过合情推理提出猜想、获得结论、拟定验证方案，通过演绎推理对猜想进行数学证明.在整个探究过程中，合情推理和演绎推理相互交融，对学生逻辑推理能力的培养起到了极大的促进作用.（下转第59页）38下半月（高中版）2024年第2期（总第304期）下半月（高中版）2024年第2期（总第304期）试题研究试题研究数学方法的选取.例如，该题思路2的解法4，借助教科书例题和探究内容的启发，挖掘、梳理教科书不同问题内容的相同解法结构.受知识发生发展的逻辑顺序的制约，教科书无法将“3.1 椭圆”的例3和“3.2 双曲线”的探究内容放在一起探究，此处需要充分调动学生的认知思维，在单元视角下重构单元数学内容结构、单元认知结构和单元方法结构.五、结语卜以楼老师从结构化视角将复习课讲解归纳为三个层次：从有到有（对学过的知识进行结构梳理），从有到更有（对学过的知识进行创造性结构梳理），从无到有（让复习课成为新授课）.笔者的理解是，从有到有体现了对原有数学内容结构进行固化、应用与梳理；从有到更有是对原有数学内容结构加入了认知成分，优化了原有的数学认知结构；从无到有打破了原有的数学结构，重新构建了更高层次的数学方法结构.构建是基于基层构架逻辑的破与立，是对数学“四基”的原创性整合，是培养数学“四能”的重要手段，是数学核心素养得以发展的载体.参考文献：1李昌官.试论数学教学的结构性原则 J.课程教材教法，2002（5）：35-37.2中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）M.北京：人民教育出版社，2020.3喻平.数学单元结构教学的四种模式 J.数学通报，2020，59（5）：1-8，15.4章建跃.利用几何图形建立直观通过代数运算刻画规律：解析几何内容分析与教学思考（之一）J .数学通报，2021，60（7）：7-14.三、结语逻辑推理是数学六大核心素养之一，它是数学严谨性的基本保证，也是发现数学结论、构建数学体系的重要方式，更是人们在数学活动中进行交流的基本思维品质.本次数学探究活动从“数”与“形”两个角度逐步递进，从低维的数学命题向高维空间拓展，通过问题引导搭建阶梯.在问题的解决过程中，学生的逻辑推理能力得以提升.通过类比推理的方法，引导学生进行阶梯式、递进性的学习，不仅显著提高了学生的课堂学习效率，也提升了学生的问题解决能力，强化了学生的问题意识.逻辑推理素养的培养不是一蹴而就的，在解决问题的过程中，要循序渐进地安排推理训练，提升学生的逻辑推理能力.任何教学载体都只是促进学生积累数学活动经验、习得数学研究方法、训练数学活动技能、形成数学思想方法、提升数学核心素养的一个案例或范例，都不是教学内容的全部.提升学生的逻辑推理能力，需要教师结合学生实际，创设合适的问题情境，引导学生在熟悉的情境中提出问题和猜想，不断积累数学基本活动经验.参考文献：1中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）M.北京：人民教育出版社，2020.2余文森.论学科核心素养形成的机制 J.课程教材教法，2018，38（1）：4-11.3马绍文.关于直线方程的研究性教学设计案例 J.数学教学，2003（2）：24-25，46.4 李海东.基于核心素养的“立体几何初步”教材设计与教学思考 J .数学教育学报，2019，28（1）：8-11.5龙宇.利用三面角的正、余弦定理解高考题 J.中学数学研究（华南师范大学版），2019（23）：8-9.6 王晓峰.数学实验与逻辑推理 J.数学通报，2021，60（3）：13-17.7陈中峰.立足“四基”聚焦素养凸显育人导向 J.数学通报，2022，61（6）：34-37.（上接第38页）59