惯性角速度匹配测量方程的耦合误差分析.pdf

第32卷第3期 中国惯性技术学报 Vol.32 No.3 2024 年 03 月 Journal of Chinese Inertial Technology Mar.2024 收稿日期：收稿日期：2023-08-20；修回日期：修回日期：2024-01-08 基金项目：基金项目：国防科技大学自主科研项目（22-TDRCJH-02-033）作者简介：作者简介：吴伟（1985），男，副研究员，从事光电惯性技术研究。通讯作者：通讯作者：秦石乔（1963），男，教授，博士生导师，主要从事激光陀螺应用系统和石墨烯类二维光电子研究。文章编号：文章编号：1005-6734(2024)03-0226-08 doi.10.13695/ki.12-1222/o3.2024.03.003 惯性角速度匹配测量方程的耦合误差分析惯性角速度匹配测量方程的耦合误差分析 吴 伟1,2，李湘源1,2，马昕明1,2，秦石乔1,2（1.国防科技大学 前沿交叉学科学院，长沙 410073；2.国防科技大学 南湖之光实验室，长沙 410073）摘要：摘要：针对惯性角速度匹配测量方程得不到理论精确解的问题，根据角速度匹配测量方程建立了形变角估计误差与船体角运动和动态形变角的相关函数模型，从理论上证明了船体角运动与动态形变角之间的交叉耦合将产生形变角估计误差。在动态形变角和船摇角幅度分别为 20 和 2 的仿真条件下，当船体运动角速度与动态形变角速度不相关时，形变角估计误差均值分别为1.8、3.7、3.8；当船体运动角速度与动态形变角速度完全相关时，形变角估计产生约 50 的偏置误差。仿真和实验结果表明，误差的大小与二者之间的相关系数呈正相关。研究结果可为舰船形变测量和传递对准相关的理论研究和工程应用提供参考。关关 键键 词：词：船体形变；角速度匹配；相关函数；耦合误差 中图分类号：中图分类号：U666.1 文献标志码：文献标志码：A Coupling error analysis of the inertial angular velocity matching function WU Wei1,2,LI Xiangyuan1,2,MA Xinming1,2,QIN Shiqiao1,2(1.College of Advanced Interdisciplinary Studies,National University of Defense Technology,Changsha 410073,China;2.Nanhu Laser Laboratory,National University of Defense Technology,Changsha 410073,China)Abstract:In order to address the issue of non-theoretical solution of the inertial angular velocity matching measurement equation,a correlation function model of deformation estimation error with ship angular velocity and dynamic flexure is established based on the angular velocity matching measurement equation.Theoretical analysis indicates that cross-coupling between ship angular velocity and dynamic flexure will result a bias error in deformation estimation.Under the simulation condition that the amplitude of dynamic deformation angle and ship attitude angle are 20 and 2 respectively,the mean errors of deformation angle estimation in three dimensions are 1.8,3.7 and 3.8 respectively when the ship angular velocity is not correlated with the dynamic deformation angular velocity.However,such complete correlation will lead to a bias error of about 50 in deformation estimation.Simulation and experimental results demonstrate that the amplitude of bias is liner with cross correlation ratio.The findings of this study can provide valuable reference for theoretical research and engineering applications related to ship deformation measurement and transfer alignment.Key words:ship deformation;angular velocity matching;correlation function;coupling error 舰船在海浪、载荷和日照等影响下将产生角形变，使得各用户设备坐标系之间产生角分至度量级的坐标失调，严重影响武器装备的作战效能1,2。船体形变测量方法主要包括摄像测量法3、光纤测量法4、惯性量匹配法等5。其中，惯性角速度匹配方法利用舰船上两套惯性测量单元测量的角速度实现角形变估计，在局部基准传递对准、结构形变监测等领域广泛应用6-8。船体形变测量精度始终是研究关注的核心问题，各国学者主要从动态形变模型建模9,10、补偿轴系误第 3 期 吴伟等：惯性角速度匹配测量方程的耦合误差分析 227 差11、惯性器件误差估计12等方面去改进和提升形变测量精度。也有学者研究发现惯性角速度匹配测量方程存在理论误差，导致形变测量精度与船体运动角速度和动态形变角二者之间的相关性密切相关6,13,14。Mochalov A V 等人6的研究指出船体角运动与动态形变角之间的相关性对船体形变测量精度影响很大，通常相关性越强，测量误差越大，类似的问题在机载局部基准传递中也存在15。由于角速度匹配测量方程存在理论误差，即使惯性器件理想，形变测量精度也难以提升，目前对这种理论误差的影响规律尚未进行深入研究。本文基于角速度匹配测量方程，建立船体角运动与动态形变角之间的相关函数模型，分析船体角运动与动态形变角之间的耦合误差产生规律，并进行实验验证。1 惯性角速度匹配方程 1 惯性角速度匹配方程 惯性角速度匹配形变测量方法利用两套激光陀螺组合体（Laser Gyro Unit,LGU）测量船体运动角速度，建立角速度差值与形变角之间的物理模型，进而实现形变估计。如图 1 所示，LGU1 坐标系（b1系）与船体坐标系（b 系）取齐，LGU2 坐标系（b2系）与用户设备坐标系取齐。假设 LGU1 与 LGU2 之间的总形变角为T,xyz ，其中xyz、分别为绕x、y、z 轴的横扭角、纵挠角和艏挠角。1bz1by1bxb2z2byb2x1bO2bObObxbybz 图 1 角速度匹配船体形变测量原理 Fig.1 Schematic diagram of angular velocity matching method for ship deformation measurement 当形变角为小角度时，根据两套 LGU 的测量结果，可得角速度差值与形变角满足关系5：121bbbibibib (1)其中，为角速度差值；1bib 和2bib 分别为 LGU1 和LGU2 测量的船体运动角速度在各自坐标系上的投影值；1()bib 表示为：1111111000bbibzibybbbibibzibxbbibyibx (2)其中，1bibx、1biby、1bibz分别表示LGU1测量的横摇角速度、纵摇角速度和航向角速度在 b1系的投影。式(1)即为角速度匹配形变测量方程，由于方程的解不唯一，需要对形变角进行建模，利用卡尔曼滤波方法估计出形变角。根据形变的时间周期特征将形变分为静态形变角和动态形变角，其中静态形变角为标校后的电气零位误差以及随船体结构老化、物资消耗、日照等引起的缓慢角形变，周期为几分钟至几年；动态形变角通常指船体在海浪激励力作用下发生的快速变化，周期一般为2 s30 s。总形变角可表示为：(3)其中，为静态形变角；为动态形变角。动态形变角模型通常用二阶高斯马尔可夫过程描述：20022()iiiiiiiiidet (4)其中，,ix y z；i为动态形变角幅值的均方根；i为阻尼系数；0i为动态形变角的中心频率；()idet为单位幅度高斯白噪声。动态形变角的自相关函数为：2expcossiniiiiiiiR (5)其中，为延迟时间；220iii。由于静态形变角变化非常缓慢，通常假设模型满足0。将式(3)代入式(1)，可得：1bib (6)在不考虑陀螺测量误差的条件下，选取卡尔曼滤波的系统状态向量为六维，即：T,X (7)根据式(6)建立卡尔曼滤波观测方程为：ZHXv (8)其中，Z 为观测量；v 为观测噪声；H 为观测矩阵，其表达式为：13 3,bib HI (9)当动态形变模型给定后，卡尔曼滤波器就可以根据两套LGU的测量数据实时估计形变角。经过一段时间滤波估计，理论上静态形变角 就可以收敛到真值，然后卡尔曼滤波的主要工作就是估计变化的动态形变角。然而，传统研究中忽视了一个问题，即当动态形变角速度 与船体运动角速度相关时，静态形变与角速度的乘积项与动态形变角速度项不可区分，从而导致动态形变估计不准确。从滤波原理上看，卡尔曼滤波是基于最小二乘原理的滤波器，只有当观测噪声与观测量不相关时，才能得到最优无偏估计值。当动态形变角速度 与船体运动角速度相关时，动态228 中国惯性技术学报 第 32 卷 形变估计残差会与观测量相关，不满足卡尔曼滤波的无偏估计条件，反过来使静态形变估计出现偏置误差。从物理本质上看，船体在波浪激励力作用下产生刚体运动和弹性形变，二者的驱动力均来自于波浪激励力。因此，船体运动角速度与动态形变角速度必然存在相关，导致角速度匹配方程得不到理论解。2 耦合误差模型 2 耦合误差模型 下面从角速度匹配方程出发，建立静态形变角估计误差模型。为了分析角速度匹配方程的误差特性，不考虑陀螺测量误差，将(6)式展开，可得：111111bbxyibzzibyxbbyzibxxibzybbzxibyyibxz (10)其中，x、y、z分别表示横摇角速度差值、纵摇角速度差值和航向角速度差值；x、y、z分别表示横扭动态形变角速度、纵挠动态形变角速度和艏挠动态形变角速度。通过求解式(10)的自相关函数，分析船体角运动与动态形变角之间相关性对形变角求解精度的影响。假设船体运动角速度和动态形变角均为平稳随机过程，式(10)中第一项的自相关函数如式(11)所示。111122(2)(1)(1)(1)(1)()()()()()()xzzyyx xz xxzy xxyzyyzxxbbbbyibzzibyxyibzzibyxyzyzyzRttttttttRRRRRRRRR (11)其中，表示相关运算；()kabR中的下标“ab”表示“a”和“b”的相关函数，上标“(k)”表示相关函数的元素“a”和“b”共包含了 k 阶导数项。同样，可得y和z的自相关函数为：22(2)(1)(1)(1)(1)yzzxxyyxyyxzyyzxzzxxzzxxzRRRRRRRRRR (12)22(2)(1)(1)(1)(1)zyyxxzzyzzyxzzxxyyxxyxyxyRRRRRRRRRR (13)联立式(11)式(13)，可得：(2)2(1)RRRRR (14)其中，T,xyzRRRR (15)000zzyyzzxxyyxxRRRRRR R (16)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)000z xxzy xxyz yyzx yyxx zzxy zzyRRRRRRRRRRRR R(17)000000zyyzxzzxxyyxRRRRRR R(18)Tyzxzxy (19)动态形变角速度的自相关函数(2)R可根据式(20)计算得到。(2)22expcossini iiiiiiiiiR (20)根据式(15)式(20)，R、R和 R可由角速度测量值直接计算得到，(2)R由动态形变角模型参数确定，(1)()R为船体运动角速度与动态形变角速度的交叉耦合项。从式(14)可以看出(2)R的准确性对形变角估计有影响，通常动态形变角模型越准确，总形变估计精度越高6,13。在式(14)中，由于(1)()R未知，即使动态形变角模型非常准确，形变角求解也会出现误差。下面根据船体运动角速度与动态形变角速度之间的相关性，分为相关和不相关两种情况，探讨形变角的理论求解误差，具体分析如下：条件条件 1：两套LGU分开布置，并假设动态形变角与船体运动角速度不相关，即：(1)0 R (21)代入式(14)，可得：(2)2RRRR (22)式(22)中，如果动态形变角模型准确，即(2)R为已知量，方程中只有形变角 为未知量，利用一段时间的自相关函数计算值构造方程，也可以准确估计形第 3 期 吴伟等：惯性角速度匹配测量方程的耦合误差分析 229 变角。条件条件 2：两套LGU分开布置，并假设动态形变角与船体运动角速度相关，即：(1)0 R (23)从式(17)可以看出，(1)()R矩阵中各元素只包含角速度与动态形变角的交叉项，即二者存在交叉相关性的条件下，矩阵不为0。从式(14)可以看出，即使动态形变角的模型完全准确，即(2)R已知条件下，式(14)中仍存在未知项(1)()R，如果忽略此项，则形变角将出现估计误差。为了分析形变角估计误差的影响因素，选取角速度匹配方程中某一个方向进行具体分析。以z向角速度匹配方程为例：11bbzxibyyibxz (24)卡尔曼滤波得到的形变估计值，其误差与最小二乘得到的结果相似，为了得到耦合误差的具体表达式，采用最小二乘法进行误差公式推导。将式(24)写为线性回归方程的形式：YUkX(25)其中，11T=,zbbibyibxxyzYU Xk(26)对于式(25)所示的线性回归方程，当U与X中的1biby和1bibx不相关时，才能得到回归因子k中x和y的无偏估计值。当U中包含与X成线性比例关系的分量时，该分量会被错误地估计为X，导致回归因子k估计值出现偏置误差。显然，U与X的相关性越强，引起的偏置误差也越大。为简化分析，只考虑三个轴向中的两个交叉轴的耦合关系，其它轴之间不相关。例如，当艏挠动态形变角速度z与横摇角速度1bibx存在稳定的相关性时，艏挠动态形变角速度可分解成与横摇角速度平行和正交的两个分量，可表示为：1bzzzibxu(27)其中，z和z分别表示艏挠动态形变角速度与横摇角速度的平行分量和垂直分量；为平行分量的比例系数；zu为垂直分量，满足：11TT0,0bbibxibyE uE u(28)将式(27)代入式(24)，可得：11bbzxibyyibxu (29)在上述相关性假设条件下，x、u都可以实现无偏估计，但是纵挠角将出现偏置误差，误差量为：yOLSyOLSyE(30)其中，yOLS表示纵挠角形变估计偏置误差；yOLS表示纵挠角形变的最小二乘估计值。用互相关函数描述z与1bibx之间的相关性，如式(31)所示。1111()()()()()d2bzibxTbbzibxzibxTRtttttT(31)其中，1bzibxR 表示z与1bibx的互相关函数；T表示信号的时间长度。当延迟时间0时，有：111(0)()()d2bzibxTbzibxTRtttT (32)将式(27)代入式(32)，得到：11111121(0)()()()d211 ()d()()d22 ()bzibxTbbibxibxTTTbbibxibxTTbibxRtu tt tTttu tt tTTVart (33)其中，Var表示求方差。z与1bibx的归一化互相关函数为：111()()()bzibxbzibxbzibxRVartVart (34)因此，当延迟时间为0时，z与1bibx的归一化互相关因子为：1111(0)()(0)()()()bzibxbzibxbibxbzzibxRVartVartVart Vart (35)其中，1(0)bzibx 表示延迟时间为0时z与1bibx的归一化互相关因子。当艏挠角动态形变角速度与横摇角速度存在稳定的相关关系时，根据式(35)可求得：11()(0)()bzibxzbibxVartVart (36)式(36)即为形变估计偏置误差的理论计算公式，描述了偏置误差与船摇角速度以及动态形变角之间的函数关系。当z与1bibx的幅度标准差恒定时，相关性越强，yOLS也越大。因此，当艏挠动态形变角和横摇角速度的相关时，纵挠形变角估计出现偏置误差。同理，推广至其它方230 中国惯性技术学报 第 32 卷 向形变估计偏置误差，即两个不同方向的动态形变角速度和船摇角速度的相关关系会导致交叉方向的形变角估计出现偏置误差。3 实验结果与分析 3 实验结果与分析 3.1 仿真条件设置 为了研究船体运动角速度与动态形变角的耦合关系对形变测量结果的影响，设置了两种仿真数据生成条件。如图2所示，第一种基于仿真产生数据，船体运动数据和动态形变角数据均根据舰船运动和形变规律仿真产生，并设置各种耦合相关条件，研究船体运动角速度和动态形变角在不同相关条件下的形变测量误差；第二种基于实测数据产生两套LGU输出，采用实船测量得到的船体运动数据和动态形变角测量数据，研究真实条件下的形变测量误差特性。LGU1的陀螺输出LGU2的陀螺输出仿真数据实测数据Kalman滤波器动态形变模型参数,iii 1bib 2bib ,图 2 仿真数据产生原理图 Fig.2 Schematic diagram of simulation data generation 在第一种仿真数据生成条件中，静态形变角设置为常值T0.2,0.2,0.2 ，动态形变角用式(4)所示的二阶高斯马尔可夫模型产生。在随机波浪作用下，船体姿态角也可以用二阶高斯马尔可夫过程来描述：20022()iiiiiiiiiet (37)其中，下标,ix y z；i表示船体姿态角；i为姿态运动幅度的均方根；i为阻尼系数；0i为姿态的中心频率；()iet为单位幅度高斯白噪声。根据实船数据分析发现，船体运动角速度和动态形变角都是舰船对波浪激励力的运动响应，船体运动角速度的频率主要集中在0.03 Hz0.3 Hz，而动态形变角的频谱也分布在相同频率。为了研究船体运动角速度和动态形变角的相关性对形变估计的影响，船体运动姿态角和动态形变角的模型参数设置为相同，分别如表1和表2所示。同时，为了模拟船体运动角速度与动态形变角不同轴之间的交叉相关性，可通过改变模型驱动噪声来产生具有特定相关性的数据。例如，只研究z和1bibx的相关性影响，将式(4)中动态形变模型的驱动噪声()xdet与式(37)船体姿态角模型的驱动噪声()zet设置为完全相同，其余轴的驱动噪声设置为互不相同的高斯白噪声，就可以获得需要的仿真数据。表 1 动态形变角模型参数 Tab.1 Parameters of dynamic flexure 形变角 幅度 频率Hz 阻尼系数s-1横扭角 20 0.12 0.1 纵挠角 20 0.12 0.1 艏挠角 20 0.12 0.1 表 2 船体姿态角模型参数 Tab.2 Parameters of ship attitude 形变角 幅度频率Hz 阻尼系数s-1横摇角 2 0.12 0.1 纵摇角 2 0.12 0.1 航向角 2 0.12 0.1 3.2 仿真数据结果分析 仿真数据的长度为600 s，采样频率设置为200 Hz，利用角速度匹配方法估计形变角。首先，分析船体运动角速度与动态形变角不相关时的形变估计效果，即满足理论分析条件1的假设。采用第一种仿真数据产生方式，即设置动态形变模型的驱动噪声()xdet与船体姿态模型的驱动噪声()zet为完全独立的高斯白噪声，仿真产生两套LGU数据。利用角速度匹配方法估计形变，得到估计误差如图3所示。从图3可以看出，当船体运动角速度与动态形变角不相关时，三个方向的形变误差均能快速收敛，未出现固定偏置误差，横扭角、纵挠角、艏挠角在100 s600 s内的估计误差均值分别为1.8、3.7、3.8。因此，当船体运动角速度与动态形变角不相关时，形变估计结果不会出现偏置误差。图 3 船体运动角速度与动态形变角不相关时的形变角估计误差 Fig.3 Deformation estimation error under the condition of the dynamic flexure is uncorrelated with ship angular velocity 下面分析船体运动角速度与动态形变角完全相关时，船体形变角估计误差的大小和变化规律。根据理论分析，只有当船体运动角速度与动态形变角具有交叉耦合关系时，才会导致形变估计出现偏置误差。因此，根据条件2的理论分析，共设置了六种交叉耦合仿真条件，分别为：横摇角与纵挠形变角相关、横摇角与艏挠形变角相关、纵摇角与横扭形变角相关、纵第 3 期 吴伟等：惯性角速度匹配测量方程的耦合误差分析 231 摇角与艏挠形变角相关、航向角与横扭形变角相关、航向角与纵挠形变角相关。采用第一种仿真数据产生方式，根据六种交叉耦合关系设置动态形变模型的驱动噪声和船体姿态模型的驱动噪声，仿真产生两套LGU数据。用角速度匹配方法估计形变角，得到估计误差结果如图4所示，对应的形变角估计误差在100 s600 s内的均值和标准差值如表3所示。(a)(,)0 xyR (b)(,)0 xzR (c)(,)0yxR (d)(,)0yzR (e)(,)0zxR (f)(,)0zyR 图 4 船体运动角速度与动态形变角相关条件下的形变角估计误差 Fig.4 Deformation estimation error under the condition of the dynamic flexure is correlated with ship angular velocity 从图4可以看出，当船体运动角速度与动态形变角相关时，形变角估计结果将产生偏置估计误差。如图4(a)所示，当横摇角速度与纵挠动态形变角速度相关时，导致艏挠角形变估计出现偏置误差，这种耦合误差具有交叉相关性。同样，图4(b)图4(f)也表明船体运动角速度与动态形变角之间的交叉耦合，将在与交叉轴垂直的第三个轴向上产生形变角偏置误差。表 3 形变角估计误差统计结果 Tab.3 Statistic results of deformation estimation error 耦合情况 横扭角纵挠角 艏挠角均值标准差值 均值 标准差值 均值标准差值(,)0 xyR 9.84.42.3 5.4 51.82.6(,)0 xzR 10.65.650.4 3.4 3.64.7(,)0yxR 2.33.01.8 3.8 50.73.2(,)0yzR 59.23.13.3 4.3 4.35.0(,)0zxR 1.12.751.9 3.0 13.56.7(,)0zyR 56.13.13.7 4.7 20.94.8从表3可以看出，不同耦合条件下，偏置误差均值的大小较为接近，这与式(36)所示的理论模型较为相符，即当船体运动角速度与动态形变角的相关性、幅值都确定时，形变角偏置误差的大小也确定。最后，分析船体运动角速度与动态形变角相关时，船体形变角估计误差的大小和变化规律。以横摇角速232 中国惯性技术学报 第 32 卷 度与纵挠动态形变角速度相关性为例，二者之间的相关系数从0变化到1。通过仿真生成数据，根据角速度匹配方法估计得到形变结果的均方根误差，如图5所示。图 5 (,)0 xyR 时形变角估计均方根误差随变化曲线 Fig.5 Root mean square error curves of deformation estimation variation with when(,)0 xyR 从图5可以看出，随着相关性的增大，艏挠角估计均方根误差逐渐增大，而横扭角和纵挠角均方根误差变化较小，这与形变耦合误差模型理论分析得到的结论相符。以上仿真，只考虑船体运动角速度与动态形变角不相关、完全相关和部分相关三种较为理想的条件，且只考虑其中两个轴向之间的交叉耦合关系。实际情况是不同轴之间可能同时存在交叉相关关系，且相关关系也随着船体的运动条件变化，难以建立准确的耦合误差模型。但是，本文得到结论反映了船体运动角速度与动态形变角之间的相关性对形变误差的影响规律，具有一定的参考价值。3.3 实测数据仿真分析 下面分析在实船条件下船体运动角速度与动态形变角相关性对形变估计误差的影响。采用第二种方法产生两套LGU的数据，其中船体角运动数据采用某测量船捷联惯导实测的姿态数据，动态形变数据采用自准直光学形变监测系统3的实测数据，数据时长1 h，采样频率20 Hz。自准直光学形变的测量精度优于5，且与船上捷联惯导同步采样，确保了船体姿态数据和动态形变数据之间的相关性与真实条件一致。根据实测姿态数据和形变数据，估计得到船体运动角速度与动态形变角的互相关曲线如图6所示。从图6可以看出船体运动角速度与动态形变角之间存在相关性，且不同轴之间的相关关系非常复杂，难以准确建模。图 6 动态形变角与船体角速度互相关曲线 Fig.6 Cross correlation value between dynamic flexure and ship angular velocity 根据实测数据得到总形变角估计误差结果，如图7所示。00.20.40.60.81Time/h-150-100-500 图 7 实测数据仿真下的形变角估计误差 Fig.7 Deformation estimation error using experimental data 由图7可见，经过一段时间的滤波，横扭角、纵挠角和艏挠角的估计误差均趋于稳定，但是存在一个偏置误差。将自准直光学实际测量结果设置的形变角第 3 期 吴伟等：惯性角速度匹配测量方程的耦合误差分析 233 作为真值，统计形变角的均方根误差，第1 h对应的偏置误差分别为3.7、17.5 和8.4，说明在实际测量条件下船体运动角速度与动态形变角之间是相关的，而这种相关性在三个方向都是存在的。因此，角速度匹配测量方程在实船条件下将出现偏置误差。4 结 论 4 结 论 本文研究了角速度匹配测量方程中的耦合误差产生机理，建立了船体运动角速度与动态形变角之间的相关函数模型，通过仿真实验对耦合误差的特性进行了研究。结果表明，当船体运动角速度与动态形变角不相关时，形变角估计不会出现偏置误差；当船体运动角速度与动态形变角交叉相关时，形变角估计将产生偏置误差，误差大小与二者的相关性大小呈正相关。在实船条件下，船体运动角速度与动态形变角存在多个方向的交叉耦合关系，角速度匹配形变测量方法无法得到理论精确解。因此，建议进一步研究多个轴交叉耦合条件下的形变误差变化规律，在应用角速度匹配方法进行形变测量或传递对准理论研究与实验验证时，考虑船体运动角速度与动态形变角之间的相关性对测量结果的影响；在工程应用中，需要评估船体运动角速度与动态形变角耦合误差对用户需求的影响。参考文献（参考文献（References）：）：1 吴伟，秦石乔，农立发.舰艇统一姿态基准构建方法J.导航定位与授时，2022,9(3):49-55.Wu W,Qin S,Nong L.Construction approach of unified attitude reference for naval vesselsJ.Navigation Positioning&Timing,2022,9(3):49-55.2 张涛，王帅，刘兴华.一种改进的姿态匹配船体变形测量方法J.中国惯性技术学报，2020,28(1):8-14.Zhang T,Wang S,Liu X.An improved method of ship deformation measurement based on attitude matchingJ.Journal of Chinese Inertial Technology,2020,28(1):8-14.3 Liu H,Sun C,Zhang Y,et al.Hull deformation measurement for spacecraft TT&C ship by photogrammetryJ.Science China Technological Sciences,2015,58(8):1339-1347.4 单一男，马智锦，曾旭，等.基于分布式光纤传感技术的结构变形估计方法研究J.仪器仪表学报，2021,42(4):1-9.Shan Y,Ma Z,Zeng X,et al.Research on structural deformation estimation based on distributed optical fiber sensing technologyJ.Chinese Journal of Scientific Instrument,2021,42(4):1-9.5 郑佳兴，戴东凯，吴伟.基于激光陀螺组合体的船体角形变测量方法J.光电工程，2019,46(1):180556.Zheng J,Dai D,Wu W.Ship angular flexure measurement method based on ring laser gyro unitsJ.Opto-electronic Engineering,2019,46(1):180556.6 Mochalov A V,Kazantasev A V.Use of the ring laser units for measurement of the moving object deformationC/Second International Conference on Lasers for Measurement and Information Transfer.Russia,2002:85-92.7 李振威，程咏梅，张亚崇，等.基于容错惯性网络的相对导航方法J.中国惯性技术学报，2023,31(2):171-178.Li Z,Cheng Y,Zhang Y,et al.Relative navigation method based on fault-tolerant inertial networkJ.Journal of Chinese Inertial Technology,2023,31(2):171-178.8 Li Y,Wang D,Tong J.A hull deformation measurement method based on fiber optic gyro angular rate matching in complex sea conditionsJ.Proceedings of the Institution of Mechanical Engineers,Part M:Journal of Engineering for the Maritime Environment,2022,236(1):34-47.9 He Y,Zhang X,Peng X.A model-free hull deformation measurement method based on attitude quaternion matchingJ.IEEE Access,2018,6:8864-8869.10 Wang Y,Zhang Y,Xu D,et al.Improved whale optimization-based parameter identification algorithm for dynamic deformation of large shipsJ.Ocean Engineering,2022,245(Feb.1):110392.11 刘为任，高阳，赵坤，等.考虑旋转调制 INS 轴角误差的船体变形测量方法J.中国惯性技术学报，2022,30(1):1-8.Liu W,Gao Y,Zhao K,et al.Measurement method of hull deformation considering rotation modulation INS shaft angle errorJ.Journal of Chinese Inertial Technology,2022,30(1):1-8.12 Li X,Qin S,Wang X,et al.Multi inertial navigation system fusion method considering ship deformationC/2023 30th Saint Petersburg International Conference on Integrated Navigation Systems(ICINS),Saint Petersburg,Russian Federation,2023:1-10.13 Wu W,Qin S,Chen S.Coupling influence of ship dynamic flexure on high accuracy transfer alignmentJ.International Journal of Modelling,Identification and Control,2013,19(3):224-234.14 Zhang Y,Yang S,Qin S,et al.A new bias error prediction model for high-precision transfer alignmentJ.Sensors,2018,18:3277.15 Chen X,Ma Z,Yang P.Integrated modeling of motion decoupling and flexure deformation of carrier in transfer alignmentJ.Mechanical Systems&Signal Processing,2021,159:107690.