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2024 年第 1 期(上半月刊)中学数学研究21多角度构造函数 进一步探究一道高考导数压轴题江苏省南京市板桥中学(210039)纪明亮摘要本文进一步研究了 2020 年高考新课标 I 卷第 21题,从函数形式结构展开研究,得到了构造辅助函数解决含参不等式恒成立问题的方法.关键词 单调性;零点;构造函数;同构式函数不等式恒成立问题是高考的重点考查内容,这类问题中含参数的题型在高考中出现频率很高,且难度较大,因为它涉及到的知识面广、综合性强.解决不等式恒成立问题的关键是等价转化,利用化归思想将不等式恒成立问题等价转化为函数最值的问题,从而使恒成立问题具体化.那么,如何等价转化?有哪些方法?2020 年高考新课标 I 卷 21 题(2)问就是一道经典的含参不等式恒成立问题,本文对这道高考题做了进一步研究,并将得到的结论与大家分享.一、题目简析题目(2020 年高考新课标 I 卷第 21 题(2)问)已知函数f(x)=aex1 lnx+lna.若 f(x)1,求 a 的取值范围.分析 该题是不等式恒成立条件下求参数范围,解决这类问题原理是利用转化思想将其转化为函数的最值问题或值域问题来求解,在转化途径上,可采用“恒等变形构造辅助函数法”或“分离参数法”,一般地含参数问题中参数仅仅作为系数,而本题含参数的性质不同,参数不仅作系数还作为其中对数项的真数,直接分离参数就变得困难,那么构造函数在这道题中运用空间较大,下面就从不同角度构造函数对这道题进行解法探究.二、问题解答策略一 借助零点构造函数解法 1 因为 x (0,+),f(x)1,所以 f(x)min1.因为 f(x)=aex1lnx+lna,所以 f(x)=aex11x,且 a 0,则 f(x)=aex1+1x2 0,则 f(x)在(0,+)上单调增.因为f(1a)=ae1a1a a 1aa=0,f(1a+1)=aeaa+1(a+1)a (a+1)0,所以存在 x0(1a+1,1a),使 f(x0)=aex011x0=0,则 a=1x0ex01.令 f(x)0,得 x (x0,+),则 f(x)在(0,x0)上单调减,在(x0,+)上单调增,则f(x)min=f(x0)=aex01 lnx0+lna=1x0 2lnx0 x0+1 1,则 x20+2x0lnx0 1 6 0.设 g(x)=x2+2xlnx 1,则 g(x)=2x+2lnx+2,则 g(x)=2+2x 0,则 g(x)在(0,+)上单调增.因为g(1e2)=2e2 2 0,所以存在 x(1e2,1),使 g(x)=0,则 x (0,x),g(x)0,g(x)单调增.因为 x (0,1),g(x)=x2 1+2xlnx 1,消去参数 a 得到关于 x0不等式,并构造函数 g(x),利用 g(x)求出 x0的范围.再根据 a 与 x0的关系得到函数,根据该单调性求出 a 的范围.本解法巧设隐零点构造函数较为巧妙.解法2 因为x (0,+),f(x)=aex1lnx+lna 1,所 以 x (0,+),a e1x(lnx lna+1),则x (0,+),e1x(lnx lna+1)a 6 0.设 g(x)=e1x(lnx lna+1)a,则 g(x)max6 0.因为 g(x)=e1x(1x lnx+lna 1),所以设 h(x)=1xlnx+lna1,因为 h(x)=1x21x 0,h(a+1)=1a+1 ln(a+1)+lna 1 0,g(x)0,g(x)单调增,当 x (x0,+)时,h(x)0,g(x)0.设(x)=ex1x1x2,则(x)=ex1x(1+1x2)+2x3 0,则(x)在(0,+)上 单 调22中学数学研究2024 年第 1 期(上半月刊)增.因为(1)=0,所以(x0)=ex01x01x20 0解集为 x0 1,+).设 m(x)=1+lnx 1x,因为m(x)=1x+1x2 0,所以 m(x)在 1,+)上单调增,则 m(x)m(1)=0,则 a=e1+ln x01x0 e0=1,即a 1,+).评析题中 f(x)含有 ex1,由于指数函数 y=ex的 n 阶 导 数 为 y(n)=ex,故 可 通 过 恒 等 变 形 构 造g(x)=e1x(lnx lna+1)a,这样求导之后便于求出零点.根据 h(x0)=0 得到参数 a 与零点 x0的关系,代入g(x)max=g(x0)6 0,消去参数 a 得到关于 x0不等式,并构造函数 g(x),利用 g(x)求出 x0的范围.再根据 a 与 x0的关系得到函数,根据该单调性求出 a 的范围.策略二 统一参数形式构造函数解法3 因为x (0,+),f(x)=aex1lnx+lna 1,所以 x (0,+),eln a+x1 lnx+lna 1 0.设 t=lna 1,g(x)=ex+t lnx+t,则 g(x)min 0.因为 g(x)=ex+t1x,g(x)=ex+t+1x2 0,所以 g(x)在(0,+)上单调增,因为g(et12)=eet12+t et+12et12+1+t et+12=et+12 et+12=0,g(1 t2)=e1t2+t1(1 t)/2e1+t21e1t21=e1+t21e1t2=0,所以存在 x0(1 t2,et12),使 g(x0)=ex0+t1x0=0,则 t=x0 lnx0.因为当 x (0,x0),f(x0)0,f(x)单调增,所以g(x)min=g(x0)=ex0+tlnx0+t=1x02lnx0 x0 0,设 h(x)=1x 2lnx x,因为 h(x)=(x+1)2x2 0,即 x0(0,1 时,g(x0)0,则t=x0lnx0,x0(0,1.设(x)=xlnx,x (0,1,因为(x)=1 1x(1)=1,则 lna 1 1,则 a 1,+).评析 因为aex1 lnx+lna 1=ex+ln a1 lnx+lna 1,将 a 形式统一为 lna,并统一变量设 t=lna 1,g(x)=ex+t lnx+t.根据 g(x0)=0 建立 t 与零点 x0的关系t=x0 lnx0,代入 g(x)min=g(x0)0 消去参数 a 得到关于零点 x0的函数不等式,求得 x0(0,1,再构造函数(x)利用其在(0,1 上单调性得 t 范围,进而得到 a 的范围.解法4 因为x (0,+),f(x)=aex1lnx+lna 1,所以 x (0,+),eln a+x1lnx+lna1 0,则 x(0,+),lnx lna+1eln a+x16 1.设 g(x)=lnx lna+1eln a+x1,则 g(x)max6 1.g(x)=1x lnx+lna 1eln a+x1,设 h(x)=1xlnx+lna1,因为 h(x)=1x21x 0,h(a+1)=1a+1ln(a+1)+lna1=lnaa+1aa+1 0,g(x)0,g(x)单调递增,当 x (x0,+)时,h(x)0,g(x)1,则 x0+2lnx01x0 0.设h(x)=x+2lnx 1x,因为 h(x)=1+2x+1x2 0,所以 h(x)在(0,+)上单调增,因为 h(1)=0,所以x 1,+),h(x)0,则 x0 1,+),g(x0)0,则lna=1+lnx01x0,x0 1,+).设(x)=1+lnx1x,x 1,+),因为(x)=1x+1x2 0,所以(x)在1,+)单调增,则(x)(1)=0,即 lna 0,则a 1,+).评析将 a 形式统一为 lna 得 aex1 lnx+lna 1=ex+ln a1 lnx+lna 1,因 为 x (0,+),lnx lna+1eln a+x16 1,所以构造 g(x)=lnx lna+1eln a+x1,根据 h(x0)=0 建立参数 a 与零点 x0间的关系.策略三 根据同构关系构造外部函数解法 5因为 x (0,+),f(x)=aex1 lnx+lna 1,所以 x (0,+),eln a+x1+lna+x 1 x+lnx=eln x+lnx.设 g(x)=ex+x,则 x (0,+),g(lna+x1)g(lnx).因为 g(x)=ex+1 0,所以 g(x)在 R 上单调递增,则 x (0,+),lna+x 1 lnx,则x (0,+),lna lnx x+1.设 h(x)=lnx x+1,则 lna h(x)max.因为 h(x)=1x 1,所以令 h(x)0,得 0 x 1,令 h(x)1,则 h(x)在(0,1)上单调增,在(1,+)上单调减,则 h(x)max=h(1)=0,则lna 0,则 a 1,+).2024 年第 1 期(上半月刊)中学数学研究23第十八届中国北方数学邀请赛第 9 题探究及拓展安徽省合肥一六八中学(230601)范 忠王中学2023 年第十八届中国北方数学邀请赛第 9 题是一道圆锥曲线中的定点问题,考查了双曲线的基本性质,也考查了分析问题、解决问题的能力尤其是运算求解能力.本文对其进行探究,并给出一般性的结论.一、试题呈现题目(2023 年第十八届中国北方数学邀请赛第 9 题)给定双曲线 C:x2a2y2b2=1(a 0,b 0),过点 B(0,1)的直线交双曲线 C 于 P,Q 两点,试问:双曲线 C 上是否存在定点 A,使得直线 AP 与 AQ 的斜率之和为定值?若存在,求出定点 A 的坐标;若不存在,请说明理由.图 1解 由题意可设直线 PQ 的方程为:y=kx+1.将其与双曲线方程联立得:(b2 a2k2)x2 2a2kx a2(b2+1)=0,其中 cb2 a2k2=0,由=(2ka2)2+4(b2 a2k2)a2(b2+1)0解得 b2 a2k2+1 0.设 P(x1,y1),Q(x2,y2),则x1+x2=2ka2b2 a2k2,x1x2=a2 a2b2b2 a2k2,()设点 A(x0,y0),则kAP+kAQ=y1 y0 x1 x0+y2 y0 x2 x0=(x2 x0)(kx1+1 y0)+(x1 x0)(kx2+1 y0)x1x2 x0(x1+x2)+x20=2kx1x2+(1 y0 kx0)(x1+x2)2x0+2x0y0 x1x2 x0(x1+x2)+x20=2a2b2k 2a2ky0 2b2x0+2x0y0b2 2a2k2x0y0a2 a2b2 2a2kx0+b2x20 a2k2x20,其中最后一个等号是据()得到.假设直线 AP 与 AQ 的斜率之和为定值 t,则kAP+kAQ=2a2b2k 2a2ky0 2b2x0+2x0y0b2 2a2k2x0y0a2 a2b2 2a2kx0+b2x20 a2k2x20=t,所以 2a2b2k 2a2ky0 2b2x0+2x0y0b2 2a2k2x0y0=(a2 a2b2 2a2kx0+b2x20 a2k2x20)t,评析对 aex1 lnx+lna 1 中指数项对数项分开得 aex1+lna 1 lnx,对 a 统一形式为 lna,得ex+ln a1+lna1 lnx,两边各加x得eln a+x1+lna+x1 x+lnx,变形得同构式eln a+x1+lna+x1 eln x+lnx,可构造外部函数 g(x)=ex+x.本题还可变形成同构式 eln a+x1+lneln a+x1 x+lnx,再构造外部函数g(x)=x+lnx.借助外部函数单调性建立参数 a 与变量 x的关系.外部函数具有降阶的作用.三、感悟关注函数形式,单调性和零点,函数形式指的是函数由哪些初等函数复合而成及各部分间的关联.这道题参数不易分离,且为隐零点问题,可以巧设零点,借助导函数建立参数与零点的关系,再进一步构造函数求参数范围,从解法一到解法四均采取这种策略.解法 5 能敏锐的捕捉到函数不等式中的同构关系,构造外部函数,对函数降阶,求出参数范围.构造函数时要充分结合初等函数的导数特点,构造出的函数要易于判断单调性和零点,比如 lnx+ex f(x)(f(x)含参数),可根据解法 2 对指数函数的处理方法将其变形为1 f(x)lnxex,再令 g(x)=f(x)lnxex,g(x)=f(x)1x f(x)+lnxex,再构造 h(x)=f(x)1x f(x)+lnx,故只要考虑 h(x)的单调性和零点,这里已不含 ex,复杂性降低,接下来关注 h(x)单调性及零点,建立参数与零点间的关系,进行消参,求零点范围,进而求参数范围.