限时规范检测(十)圆锥曲线的综合问题.doc

限时规范检测(五十七)　圆锥曲线的综合问题
(时间：45分钟　分值：57分)

一、选择题(共5个小题，每题5分)
1．已知椭圆＋＝1(a>b>0)的焦点分别为F1、F2，b＝4，离心率为.过F1的直线交椭圆于A、B两点，则△ABF2的周长为(　　)矚慫润厲钐瘗睞枥庑赖。
A．10　　　　　　　　　　　 B．12
C．16 D．20
2．设F1、F2为椭圆＋y2＝1的左、右焦点，过椭圆中心任作一直线与椭圆交于P、Q两点，当四边形PF1QF2的面积最大时，·的值等于(　　)聞創沟燴鐺險爱氇谴净。
A．0 B．2
C．4 D．－2
3．过椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左顶点A且斜率为k的直线交椭圆C于另一个点B，且点B在x轴上的射影恰好为右焦点F，若D．90°
5．(2012·厦门适应性训练)椭圆＋＝1(a>b>0)上一点A关于原点的对称点为B，F为其右焦点，若AF⊥BF，∠ABF＝α，且α∈，则该椭圆离心率的取值范围为(　　)厦礴恳蹒骈時盡继價骚。
A. B.茕桢广鳓鯡选块网羈泪。
C. D.鹅娅尽損鹌惨歷茏鴛賴。
二、填空题(共2个小题，每题4分)
6．(2012·北京高考)在直角坐标系xOy中，直线l过抛物线y2＝4x的焦点F，且与该抛物线相交于A，B两点，其中点A在x轴上方．若直线l的倾斜角为60°，则△OAF的面积为________．籟丛妈羥为贍偾蛏练淨。
7．直线l：y＝k(x－)与曲线x2－y2＝1(x>0)相交于两点，则直线l的倾斜角的取值范围为________．預頌圣鉉儐歲龈讶骅籴。
三、解答题(共2个小题，每题12分)
8．(2012·厦门适应性训练)某公园内有一椭圆形景观水池，经测量知，椭圆长轴长为20米，短轴长为16米．现以椭圆长轴所在直线为x轴，短轴所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，如图所示．渗釤呛俨匀谔鱉调硯錦。
(1)为增加景观效果，拟在水池内选定两点安装水雾喷射口，要求椭圆上各点到这两点距离之和都相等，请指出水雾喷射口的位置(用坐标表示)，并求椭圆的方程；铙誅卧泻噦圣骋贶頂廡。
(2)为增强水池的观赏性，拟划出一个以椭圆的长轴顶点A、短轴顶点B及椭圆上某点M构成的三角形区域进行夜景灯光布置，请确定点M的位置，使此三角形区域面积最大．擁締凤袜备訊顎轮烂蔷。

9．(2012·福建信息卷)已知平面上的动点P(x，y)及两定点A(－2,0)，B(2,0)，直线PA，PB的斜率分别是k1，k2，且k1·k2＝－.贓熱俣阃歲匱阊邺镓騷。
(1)求动点P的轨迹C的方程；
(2)设直线l：y＝kx＋m与曲线C交于不同的两点M，N.
①若OM⊥ON(O为坐标原点)，证明点O到直线l的距离为定值，并求出这个定值；
②若直线BM，BN的斜率都存在并满足kBM·kBN＝－，证明直线l过定点，并求出这个定点．坛摶乡囂忏蒌鍥铃氈淚。

答案
限时规范检测(五十七)
1．解析：选D　如图，由椭圆的定义知△ABF2的周长为4a，又e＝＝，即c＝a，所以a2－c2＝a2＝b2＝16，得a＝5.△ABF2的周长为20.蜡變黲癟報伥铉锚鈰赘。
　2. 解析：选D　易知当P、Q分别在椭圆短轴端点时，四边形PF1QF2的面积最大．
此时，F1(－，0)，F2(，0)，P(0,1)，
所以＝(－，－1)，＝(，－1)．
所以·＝－2.
　3. 解析：选C　由题意，B，所以k＝＝＝1－e，所以<1－e<，得重合，双曲线即为反比例函数的图象．綾镝鯛駕櫬鹕踪韦辚糴。
　5. 解析：选B　由AF⊥BF，得|OA|＝|OB|＝|OF|＝c，
如图，设椭圆的另一个焦点为F′，则|AF′|＝|BF|，
所以sin α＋cos α＝＋＝＝.驅踬髏彦浃绥譎饴憂锦。
e＝＝＝，猫虿驢绘燈鮒诛髅貺庑。
由α∈得α＋∈，锹籁饗迳琐筆襖鸥娅薔。
sin∈.構氽頑黉碩饨荠龈话骛。
所以e∈.輒峄陽檉簖疖網儂號泶。
6. 解析：直线l的方程为y＝(x－1)，即x＝y＋1，代入抛物线方程得y2－y－4＝0，解得yA＝＝2(yB＜0，舍去)，故△OAF的面积为×1×2＝.尧侧閆繭絳闕绚勵蜆贅。
答案：
　7 解析：直线l过定点A(，0)与双曲线x2－y2＝1的右支相交于两点，当l与渐近线平行时，有且仅有一个交点，此时渐近线的倾斜角分别为和，由于直线l的斜率存在，所以倾斜角不能为，识饒鎂錕缢灩筧嚌俨淒。
故倾斜角α的取值范围是.凍鈹鋨劳臘锴痫婦胫籴。
答案：恥諤銪灭萦欢煬鞏鹜錦。

8．解：(1)设椭圆的长轴长为2a，短轴长为2b，
由题知，2a＝20,2b＝16，所以a＝10，b＝8，c＝＝6，
由椭圆定义知，水雾喷射口的位置应选择在椭圆的两个焦点处，其坐标为(6,0)，(－6,0)，椭圆的方程为＋＝1.鯊腎鑰诎褳鉀沩懼統庫。
(2)由题知A(10,0)，B(0,8)．
记点M到直线AB的距离为d，过点M与AB平行的直线为l，
∵|AB|＝＝2，∴S△ABM＝|AB|·d＝d，硕癘鄴颃诌攆檸攜驤蔹。
要使△ABM的面积最大，则只须d最大，即l与AB这两平行线间的距离最大，
∴直线l与椭圆相切于第三象限的点M，此即为所求的点．
∵kAB＝－，∴可设直线l：y＝－x＋m，
把直线l方程代入椭圆方程中，得32x2－40mx＋25m2－1 600＝0，①
令Δ＝(－40m)2－4×32×(25m2－1 600)＝0，
整理得，m2＝128，∴m＝±8，结合图形知，m＝8应舍去，∴m＝－8.阌擻輳嬪諫迁择楨秘騖。
把m＝－8代入方程①中，方程化为x2＋10x＋50＝0，
解得x＝－5，代入直线l的方程中，得y＝－4，
∴M(－5，－4)．
∴当点M选择在(－5，－4)时，安装景观灯三角形区域面积最大．氬嚕躑竄贸恳彈瀘颔澩。

9．解：(1)由题意得·＝－(x≠±2)，釷鹆資贏車贖孙滅獅赘。
即x2＋4y2－4＝0(x≠±2)，所以P点的轨迹C的方程为＋y2＝1(x≠±2)．怂阐譜鯪迳導嘯畫長凉。
(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，联立方程得化简得(4k2＋1)x2＋8kmx＋4m2－4＝0.谚辞調担鈧谄动禪泻類。
所以x1＋x2＝，x1x2＝.嘰觐詿缧铴嗫偽純铪锩。
所以y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)＝k2x1x2＋km(x1＋x2)＋m2.
①若OM⊥ON，则x1x2＋y1y2＝0，即(1＋k2)x1x2＋km·(x1＋x2)＋m2＝0，
即(1＋k2)＋km＋m2＝0，化简得m2＝(1＋k2)，此时点O到直线l的距离为d＝＝，即点O到直线l的距离为定值.熒绐譏钲鏌觶鷹緇機库。
②kBM·kBN＝－，即·＝－.鶼渍螻偉阅劍鲰腎邏蘞。
即x1x2－2(x1＋x2)＋4＋4y1y2＝0，即x1x2－2(x1＋x2)＋4＋4k2x1x2＋4km(x1＋x2)＋4m2＝0，即4m2－4－＋4m2＋4＝0，纣忧蔣氳頑莶驅藥悯骛。
化简得m(m＋2k)＝0，解得m＝0或m＝－2k.
当m＝0时，直线l恒过原点；当m＝－2k时，直线l恒过点(2,0)，此时直线l与曲线C最多只有一个公共点，不符合题意．所以，直线l恒过定点，定点坐标是(0,0)．颖刍莖蛺饽亿顿裊赔泷。