椭圆综合测试题(含标准答案).doc

一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
1．离心率为，长轴长为6的椭圆的标准方程是（ ）
（A） （B）或
（C） （D）或
2.动点P到两个定点（- 4，0）.（4，0）的距离之和为8，则P点的轨迹为（ ）

A.椭圆 B.线段 C.直线 D.不能确定
3.已知椭圆的标准方程，则椭圆的焦点坐标为（ ）
A. B. C. D.
4.已知椭圆上一点P到椭圆的一焦点的距离为3，则P到另一焦点的距离是（
A. B.2 C.3 D.6
5.如果表示焦点在x轴上的椭圆，则实数a的取值范围为（ ）
A. B. C. D.任意实数R
6.关于曲线的对称性的论述正确的是（ ）
A.方程的曲线关于X轴对称
B.方程的曲线关于Y轴对称
C.方程的曲线关于原点对称
D.方程的曲线关于原点对称
7.方程 （a＞b＞0,k＞0且k≠1)与方程（a＞b＞0)表示的椭圆（ ）.
A.有相同的离心率；B.有共同的焦点；C.有等长的短轴.长轴； D.有相同的顶点.
8.已知椭圆的离心率为，过右焦点且斜率为的直线与相交于两点．若，则( )
（A）1 （B） （C） （D）2
9 .若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是( )
A. B. C. D.
10.若点O和点F分别为椭圆的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则的最大值为( )
A．2 B．3 C．6 D．8
11.椭圆的右焦点为F，其右准线与轴的交点为．在椭圆上存在点P满足线段AP的垂直平分线过点F，则椭圆离心率的取值范围是( )
（A）（0，] （B）（0，] （C）[，1） （D）[，1）
12.若直线与曲线有公共点，则b的取值范围是( )
A.[,] B.[,3] C.[-1,] D.[,3]
二、填空题：（本大题共4小题，共16分.）
13 若一个椭圆长轴的长度.短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是
14 椭圆上一点P与椭圆两焦点F1, F2的连线的夹角为直角，则Rt△PF1F2的面积为 .
15 已知是椭圆的一个焦点，是短轴的一个端点，线段的延长线交于点， 且，则的离心率为 .
16 已知椭圆的两焦点为,点满足,则||+|的取值范围为____ ___。
三、解答题：(本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)
17.（12分）已知点M在椭圆上，M垂直于椭圆焦点所在的直线，垂直为，并且M为线段的中点，求点的轨迹方程

18.(12分)椭圆的焦点分别是和，已知椭圆的离心率过中心作直线与椭圆交于A，B两点，为原点，若的面积是20，
求：（1）的值（2）直线AB的方程

19（12分）设，分别为椭圆的左、右焦点，过的直线与椭圆 相交于,两点，直线的倾斜角为，到直线的距离为.
（Ⅰ）求椭圆的焦距；（Ⅱ）如果,求椭圆的方程.

20（12分）设椭圆C：的左焦点为F，过点F的直线与椭圆C相交于A，B两点，直线l的倾斜角为60o,.
（1） 求椭圆C的离心率； （2）如果|AB|=，求椭圆C的方程.

21（12分）在平面直角坐标系xOy中，点B与点A（-1,1）关于原点O对称，P是动点，且直线AP与BP的斜率之积等于.
(Ⅰ)求动点P的轨迹方程；
(Ⅱ)设直线AP和BP分别与直线x=3交于点M,N，问：是否存在点P使得△PAB与△PMN的面积相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由。

22 （14分）已知椭圆（a>b>0）的离心率e=，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4.（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设直线l与椭圆相交于不同的两点A、B，已知点A的坐标为（-a，0）.
（i）若，求直线l的倾斜角；
（ii）若点Q在线段AB的垂直平分线上，且.求的值.

椭圆（一）参考答案
1.选择题：
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
B
B
C
C
B
C
A
B
B
C
D
D
9

10【解析】由题意，F（-1，0），设点P，则有,解得，
因为，，所以
==，此二次函数对应的抛物线的对称轴为，因为，所以当时，取得最大值，选C。
【命题意图】本题考查椭圆的方程、几何性质、平面向量的数量积的坐标运算、二次函数的单调性与最值等，考查了同学们对基础知识的熟练程序以及知识的综合应用能力、运算能力。

11 解析：由题意，椭圆上存在点P，使得线段AP的垂直平分线过点，
即F点到P点与A点的距离相等
而|FA|＝ |PF|∈[a－c,a＋c]于是∈[a－c,a＋c]
即ac－c2≤b2≤ac＋c2∴
Þ又e∈(0,1) 故e∈ 答案：D
二、填空题：（本大题共4小题，共16分.）
13 若一个椭圆长轴的长度.短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是
14 椭圆上一点P与椭圆两焦点F1, F2的连线的夹角为直角，则Rt△PF1F2的面积为 .
15 （2010全国卷1文数）(16)已知是椭圆的一个焦点，是短轴的一个端点，线段的延长线交于点， 且，则的离心率为 .
【命题意图】本小题主要考查椭圆的方程与几何性质、第二定义、平面向量知识，考查了数形结合思想、方程思想,本题凸显解析几何的特点：“数研究形，形助数”，利用几何性质可寻求到简化问题的捷径.
解析：设椭圆方程为第一标准形式，设，F分 BD所成的比为2，，代入
，
16（2010湖北文数）已知椭圆的两焦点为,点满足,则||+|的取值范围为_______。【答案】
【解析】依题意知，点P在椭圆内部.画出图形，由数形结合可得，当P在原点处时，当P在椭圆顶点处时，取到为
，故范围为.因为在椭圆的内部，则直线上的点（x, y）均在椭圆外，故此直线与椭圆不可能有交点，故交点数为0个.
二.填空题：
13 14 24 15 16
三.解答题：
17.解：设点的坐标为，点的坐标为，由题意可知
① 因为点在椭圆上，所以有
② ， 把①代入②得，所以P点的轨迹是焦点在轴上，标准方程为的椭圆.
18.解：（1）由已知，，得，所以
（2）根据题意，设，则，，所以，把代入椭圆的方程，得，所以点的坐标为，所以直线AB的方程为
19（2010辽宁文数）（本小题满分12分）
设，分别为椭圆的左、右焦点，过的直线与椭圆 相交于,两点，直线的倾斜角为，到直线的距离为.
（Ⅰ）求椭圆的焦距；
（Ⅱ）如果,求椭圆的方程.
解：（Ⅰ）设焦距为，由已知可得到直线l的距离
所以椭圆的焦距为4.
（Ⅱ）设直线的方程为
联立
解得因为
即 得
故椭圆的方程为
202010辽宁理数）(20)（本小题满分12分）
设椭圆C：的左焦点为F，过点F的直线与椭圆C相交于A，B两点，直线l的倾斜角为60o,.
(I) 求椭圆C的离心率；
(II) 如果|AB|=，求椭圆C的方程.
解：设，由题意知＜0，＞0.
（Ⅰ）直线l的方程为 ，其中.
联立得
解得
因为，所以.
即
得离心率 . ……6分
（Ⅱ）因为，所以.
由得.所以，得a=3，.
椭圆C的方程为. ……12分
21（2010北京理数）（19）（本小题共14分）
在平面直角坐标系xOy中，点B与点A（-1,1）关于原点O对称，P是动点，且直线AP与BP的斜率之积等于.
(Ⅰ)求动点P的轨迹方程；
(Ⅱ)设直线AP和BP分别与直线x=3交于点M,N，问：是否存在点P使得△PAB与△PMN的面积相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由。
（I）解：因为点B与A关于原点对称，所以点得坐标为.
设点的坐标为
由题意得 化简得 .
故动点的轨迹方程为
（II）解法一：设点的坐标为，点，得坐标分别为,.
则直线的方程为，直线的方程为
令得，.
于是得面积

又直线的方程为，，
点到直线的距离.
于是的面积

当时，得
又，
所以=，解得。
因为，所以
故存在点使得与的面积相等，此时点的坐标为.
解法二：若存在点使得与的面积相等，设点的坐标为
则.
因为, 所以
所以 即 ，解得因为，所以故存在点S使得与的面积相等，此时点的坐标为.
22（2010天津文数）（21）（本小题满分14分）
已知椭圆（a>b>0）的离心率e=，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设直线l与椭圆相交于不同的两点A、B，已知点A的坐标为（-a，0）.
（i）若，求直线l的倾斜角；
（ii若点Q在线段AB的垂直平分线上，且.求的值.
【解析】本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线的方程、两点间的距离公式、直线的倾斜角、平面向量等基础知识，考查用代数方法研究圆锥曲线的性质及数形结合的思想，考查综合分析与运算能力.满分14分.
（Ⅰ）解：由e=，得.再由，解得a=2b.
由题意可知，即ab=2.
解方程组得a=2，b=1. 所以椭圆的方程为.
(Ⅱ)(i)解：由（Ⅰ）可知点A的坐标是（-2,0）.设点B的坐标为，直线l的斜率为k.则直线l的方程为y=k（x+2）.
于是A、B两点的坐标满足方程组消去y并整理，得
.
由，得.从而.
所以.
由，得.
整理得，即，解得k=.
所以直线l的倾斜角为或.
（ii）解：设线段AB的中点为M，由（i）得到M的坐标为.
以下分两种情况：
（1）当k=0时，点B的坐标是（2,0），线段AB的垂直平分线为y轴，于是
由，得。
（2）当时，线段AB的垂直平分线方程为。
令，解得。
由，，

，
整理得。故。所以。
综上，或
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