1、
[学业水平训练]
1．已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率等于( )
A. B.
C. D.
解析：选D.由题意知，2a＝4b，又b2＝a2－c2，
得到4c2＝3a2，e2＝，e＝.
2．已知椭圆x2＋my2＝1的焦点在y轴上，且长轴长是短轴长的2倍，则m＝( )
A. B.
C．2 D．4
解析：选A.将椭圆方程化为标准方程为x2＋＝1，
∵焦点在y轴上，∴＞1，∴0＜m＜1.
由方程得a＝，b＝1.
∵a＝2b，∴m＝.
3．已知F1，F2是椭圆的两个焦点，过F1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A，B两点，若△ABF2是正三
2、角形，则这个椭圆的离心率是( )
A. B.
C. D.
解析：选A.设|AF1|＝1，由△ABF2是正三角形知，|AF2|＝2，|F1F2|＝，
∴椭圆的离心率e＝＝＝＝.
4．如图所示，边长为a的正方形组成的网格中，设椭圆C1，C2，C3的离心率分别为e1，e2，e3，则( )
A．e1＝e2＜e3 B．e2＝e3＜e1
C．e1＝e2＞e3 D．e2＝e3＞e1
解析：选D.由题意，可得e＝＝＝，e＝＝＝，而e＜＝＝，故e2＝e3＞e1.
5．中心在原点，焦点在坐标轴上，离心率为，且过点(2,0)的椭圆的方程是( )
A.＋y2＝1
B.＋y2
3、＝1或x2＋＝1
C．x2＋4y2＝1
D．x2＋4y2＝4或4x2＋y2＝16
解析：选D.若焦点在x轴上，则a＝2.又e＝，∴c＝.∴b2＝a2－c2＝1，∴方程为＋y2＝1，即x2＋4y2＝4；若焦点在y轴上，则b＝2.又e＝，∴＝1－＝，∴a2＝4b2＝16，∴方程为＋＝1，即4x2＋y2＝16.
6．椭圆x2＋4y2＝16的短轴长为________．
解析：由＋＝1可知b＝2，
∴短轴长2b＝4.
答案：4
7．已知椭圆E的短轴长为6，焦点F到长轴的一个端点的距离等于9，则椭圆E的离心率等于________．
解析：根据题意得2b＝6，a＋c＝9或a－c＝9(舍去)
4、．
所以a＝5，c＝4，故e＝＝.
答案：
8．与椭圆9x2＋4y2＝36有相同焦点，且短轴长为4的椭圆方程是________．
解析：椭圆9x2＋4y2＝36可化为＋＝1，因此可设待求椭圆为＋＝1.
又b＝2，故m＝20，得＋＝1.
答案：＋＝1
9．已知椭圆C1：＋＝1，设椭圆C2与椭圆C1的长轴长、短轴长分别相等，且椭圆C2的焦点在y轴上．
(1)求椭圆C1的长半轴长、短半轴长、焦点坐标及离心率；
(2)写出椭圆C2的方程，并研究其性质．
解：(1)由椭圆C1：＋＝1可得其长半轴长为10，短半轴长为8，焦点坐标(6,0)，(－6,0)，离心率e＝.
(2)椭圆C2：
5、＋＝1，
性质：①范围：－8≤x≤8，－10≤y≤10；
②对称性：关于x轴、y轴、原点对称；
③顶点：长轴端点(0,10)，(0，－10)，短轴端点(－8,0)，(8,0)；
④离心率：e＝.
10．已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的离心率e＝，过点A(0，－b)和B(a,0)的直线与原点的距离为，求椭圆的标准方程．
解：e＝＝＝，
∴＝.∴a2＝3b2，即a＝b.
过A(0，－b)，B(a,0)的直线为－＝1，
把a＝b代入，即x－y－b＝0.
又由点到直线的距离公式得
＝，解得：b＝1，∴a＝.
∴所求方程为＋y2＝1.
[高考水平训练]
1．若点O和点F分别为椭
6、圆＋＝1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则·的最大值为( )
A．2 B．3
C．6 D．8
解析：选C.由题意得F(－1,0)，设点P(x0，y0)，
则y＝3(1－)(－2≤x0≤2)，
·＝x0(x0＋1)＋y＝x＋x0＋y＝x＋x0＋3(1－)＝(x0＋2)2＋2，
当x0＝2时，·取得最大值为6.
2．在平面直角坐标系中，椭圆＋＝1(a＞b＞0)的焦距为2c，以O为圆心，a为半径作圆，过点作圆的两切线互相垂直，则离心率e＝________.
解析：如图，切线PA、PB互相垂直，半径OA垂直于PA，
所以△OAP是等腰直角三角形，
故＝a，
7、解得e＝＝.
答案：
3．A为y轴上一点，F1，F2是椭圆的两个焦点，△AF1F2为正三角形，且AF1的中点B恰好在椭圆上，求此椭圆的离心率．
解：如图，连接BF2.
∵△AF1F2为正三角形，
且B为线段AF1的中点，
∴F2B⊥BF1.
又∵∠BF2F1＝30°，|F1F2|＝2c，
∴|BF1|＝c，|BF2|＝c.
据椭圆定义得|BF1|＋|BF2|＝2a，
即c＋c＝2a，∴＝－1.
∴椭圆的离心率e＝－1.
4．已知椭圆E的中心在坐标原点O，两个焦点分别为A(－1，0)，B(1,0)，一个顶点为H(2,0)．
(1)求椭圆E的标准方程；
(2)对于x轴上的点P(t,0)，椭圆E上存在点M，使得MP⊥MH，求实数t的取值范围．
解：(1)由题意可得，c＝1，a＝2，∴b＝.
∴所求椭圆E的标准方程为＋＝1.
(2)设M(x0，y0)(x0≠±2)，则＋＝1.①
＝(t－x0，－y0)，＝(2－x0，－y0)，
由MP⊥MH可得·＝0，
即(t－x0)(2－x0)＋y＝0.②
由①②消去y0，
整理得t(2－x0)＝－x＋2x0－3.
∵x0≠2，∴t＝x0－.
∵－2＜x0＜2，∴－2＜t＜－1.
∴实数t的取值范围为(－2，－1)．
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