十字相乘法因式分解讲义2.doc

课 题

因式分解十字相乘法
教学目标
1、 了解因式分解的意义。
2、 熟练运用适当的方法进行因式分解。
重点、难点
重点：因式分解的概念以及运用提取公因式法和公式法分解因式。
难点：运用因式分解进行多项式的除法以及解简单的一元二次方程。
教学内容
一、概述
　　定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫作分解因式。
　　意义：它是中学数学中最重要的恒等变形之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具。因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用。学习它，既可以复习的整式四则运算，又为学习分式打好基础；学好它，既可以培养学生的观察、注意、运算能力，又可以提高学生综合分析和解决问题的能力。
　　分解因式与整式乘法互为逆变形。
二、因式分解的方法
　　因式分解没有普遍的方法，初中数学教材中主要介绍了提公因式法、公式法。而在竞赛上，又有拆项和添减项法，分组分解法和十字相乘法，待定系数法，双十字相乘法，对称多项式轮换对称多项式法，余数定理法，求根公式法，换元法，长除法，除法等。
　　注意三原则
　　1 分解要彻底
　　2 最后结果只有小括号
3 最后结果中多项式首项系数为正（例如：-3 +x=-x(3x-1)）
十字相乘法分解因式
1．二次三项式
（1）多项式，称为字母 的二次三项式，其中 称为二次项， 为一次项， 为常数项．
例如：和都是关于x的二次三项式．
（2）在多项式中，如果把 看作常数，就是关于 的二次三项式；如果把 看作常数，就是关于 的二次三项式．
（3）在多项式中，把 看作一个整体，即 ，就是关于 的二次三项式．同样，多项式，把 看作一个整体，就是关于 的二次三项式．

2．十字相乘法的依据和具体内容
(1)对于二次项系数为1的二次三项式
方法的特征是“拆常数项，凑一次项”
当常数项为正数时，把它分解为两个同号因数的积，因式的符号与一次项系数的符号相同；
当常数项为负数时，把它分解为两个异号因数的积，其中绝对值较大的因数的符号与一次项系数的符号相同．
(2)对于二次项系数不是1的二次三项式
它的特征是“拆两头，凑中间”
当二次项系数为负数时，先提出负号，使二次项系数为正数，然后再看常数项；
常数项为正数时，应分解为两同号因数，它们的符号与一次项系数的符号相同；
常数项为负数时，应将它分解为两异号因数，使十字连线上两数之积绝对值较大的一组与一次项系数的符号相同
注意：用十字相乘法分解因式，还要注意避免以下两种错误出现：一是没有认真地验证交叉相乘的两个积的和是否等于一次项系数；二是由十字相乘写出的因式漏写字母．

二、 典型例题

例1 把下列各式分解因式：
(1)； (2)．

例2 把下列各式分解因式：
(1)； (2)．

例3 把下列各式分解因式：
1）； (2)；

(3)．

例4 分解因式：．

例5 分解因式．

例6 分解因式．

例7 分解因式：ca(c－a)＋bc(b－c)＋ab(a－b)．

试一试：
把下列各式分解因式：
(1) (2) (3) (4)

(5) (6) (7)

(8) (9) (10)

课后练习
一、选择题
1．如果，那么p等于 (　)
A．ab B．a＋b C．－ab D．－(a＋b)

2．如果，则b为 (　)
A．5 B．－6 C．－5 D．6

3．多项式可分解为(x－5)(x－b)，则a，b的值分别为 (　)
A．10和－2 B．－10和2 C．10和2 D．－10和－2

4．不能用十字相乘法分解的是 (　)
A． B． C． D．
5．分解结果等于(x＋y－4)(2x＋2y－5)的多项式是 (　)
A． B．
C． D．
6．将下述多项式分解后，有相同因式x－1的多项式有 (　)
①； ②； ③；
④； ⑤； ⑥
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个

二、填空题
7．__________．
8．(m＋a)(m＋b)． a＝__________，b＝__________．
9．(x－3)(__________)．
10．____(x－y)(__________)．
11．．
12．当k＝______时，多项式有一个因式为(__________)．
13．若x－y＝6，，则代数式的值为__________．

三、解答题
14．把下列各式分解因式：
(1)； (2)； (3)；

(4)； (5)； (6)．

15．把下列各式分解因式：
(1)； (2)； (3)；

(4)； (5)； ．

16．已知x＋y＝2，xy＝a＋4，，求a的值．