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荆楚潮·2015年八年级暑假培优讲义——整式综合提高专题（一）
一、知识要点
多项式乘法
(1) 单项式相乘，把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式
(2) 单项式与多项式相乘，就是根据分配律用单项式去乘以多项式的每一项，再把所得的积相加
(3) 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项去乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加，积：(a＋b)(m＋n)＝am＋an＋bm＋bn
乘法公式：
(1) 多项式×多项式：(x＋p)(x＋q)＝x2＋(p＋q)x＋pq
(2) 平方差公式：(a＋b)(a－b)＝a2－b2
2、
(3) 整式乘法的完全平方公式：(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2；(a－b)2＝a2－2ab＋b2，即：首平方，尾平方，首尾积的两倍放中央
多项式除法：
(1) 同底数幂的除法法则：am÷an＝am－n（a≠0，mn都是正整数，并且m＞m），即：同底数幂相除，底数不变，指数相减
(2) 零指数幂的意义：a0＝1（a≠0），即任何不等于0的数的0次幂都等于1
(3) 单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式
(4) 多项式除以单项式，先把多项式的每一项除以单项式，再把所得到商相加
二、例题解析
【例1】计算下列各
3、式：(1) a5·(－a)3－(－a)4·a4 (2) a2·(－a)3＋(－a)2·(－a3)
【练】计算下列各式：(1) x·x4－x2·x3 (2) xn·xn＋3xn－1·xn＋1 (3) y·yn＋1－yn·y2
【例2】(1) 已知am＝2，an＝3，求a2m＋3n的值
(2) 如果9x＝3x＋3，求x的值
(3)
【练】如果10m＝4，10n＝5，求103m＋2n的值
【例3】计算：(1) (y＋2)(y－2)＋(3－y)(3＋y) (2) (3x－4)(3x＋4)－(2x＋
4、3)(2x－3)
(3) (3a＋4b)2－(－2a－3b)2 (4) (x＋y＋z)(x－y－z)
(5) (5a＋7b－3)(5a－7b＋3) (6) (3x＋2y－4)(3x＋2y＋4)
【例4】(1) 若x2＋kxy＋4y2是关于x、y的完全平方式，求k
(2) 已知(x＋y)2＝9，(x－y)2＝5，求x2＋y2及xy的值
(3) 已知a＋b＝1，a2＋b2＝2，求① ；② a3＋b3
(4) 已知x＋y＝8，xy＝12，求：① x2y＋xy2；
5、② x2－xy＋y2；③ x－y
【练】(1) 已知6x2－7xy－3y2＋14x＋y＋a＝(2x－3y＋b)(3x＋y＋c)，试确定a、b、c的值
(2) 已知(a－b)2＝9，(a＋b)2＝25，求a2＋b2、ab的值
(3) 已知a＋b＝5，a2＋b2＝19，求ab、(a－b)2的值
【例5】已知x、y满足x2＋y2＋＝2x＋y，求代数式的值
【例6】已知x－y＝a，z－y＝10，求x2＋y2＋z2－xy－yz－zx的最小值
三、课堂练习
设a、b、c、d为正
6、整数，且a7＝b6，c3＝d2，c－a＝17，则d－b等于________
四、本讲精题整理：
五、反馈练习：
1．计算下列各式：① 3a2·a4＋5a·a5 ② a5·a3＋a2·a6 ③ x·xn－xn＋1
2．如果2m＝3，4n＝2，8k＝5，求8m＋2n＋k的值
3．计算：(1) (3m－4n)(3m＋4n)－(2m－n)(2m＋n) (2) (x－2y)(x＋2y)＋(2x－y)(2x＋y)
4．计算：(1) (2a＋b＋1)(2a＋b－1) (2) (a－2b＋3c)
7、a＋2b－3c) (3) (x＋y)(x－y)(x2－y2)
5．若4x2－2kx＋1是完全平方式，求k
6．(1) 已知(a＋b)2＝7，(a－b)2＝3，求a2＋b2和ab的值
(2) 已知a＋b＝－1，ab＝－2，求代数式(a－b)2的值
(3) 已知m－n＝5，m2－n2＝40，求(m＋n)2的值
(4) 已知xy＝2，x＋y＝3，求x2＋y2和x－y的值
7．已知x3＋ax2＋bx＋c＝(x＋1)(x2＋1)，求a、b、c
8．已知a、b、c为△ABC的三边，若a2－2ab＋2b2－2bc＋c2＝0，试判断△ABC的形状
9．已知a2＋b2＋4a－2b＋5＝0，求
10．已知实数a、b满足条件a2＋4b2－a＋4b＋＝0，求－ab的平方根
11．已知x－y＝m，y＋z＝－3，求x2＋y2＋z2－xy－yz－zx的最小值
12．设a、b、c、d都是正整数，且a5＝b4，c3＝d2，c－a＝19，求db的值
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