4个圆幂定理及其证明.doc

相交弦定理如图,P中,弦AB,CD相交于点P,则APBP=CPPD证明：连结AC，BD，由圆周角定理的推论，得AD，CB。 PACPDB，PAPDPCPB，PAPBPCPD 注：其逆定理可作为证明圆的内接三角形的方法. P ADCB切割线定理如图，ABT是O的一条割线，TC是O的一条切线，切点为C，则TC=TATB 证明：连接AC、BC 弦切角TCB对弧BC，圆周角A对弧BC 由弦切角定理，得 TCB=A 又ATC=BTC ACTCBT AT:CT=CT:BT, 也就是CT=ATBT弦切角定义：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角 弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角.定义弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心角的度数的一半. (弦切角就是切线与弦所夹的角）弦切角定理证明证明：设圆心为O，连接OC，OB，OA。过点A作TP的平行线交BC于D，则TCB=CDATCB=90-OCDBOC=180-2OCD ,BOC=2TCB切线长定理从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线，平分两条切线的夹角。如图中，切线长AC=AB。ABO=ACO=90BO=CO=半径AO=AO公共边RtABORtACO（HL）AB=ACAOB=AOCOAB=OAC割线定理如图，直线ABP和CDT是自点P引的O的两条割线，则PAPB=PCPD证明:连接AD、BCA和C都对弧BD由圆周角定理，得 A=C又APD=CPBADPCBPAP:CP=DP:BP, 也就是APBP=CPDP 圆幂定理圆幂定理是对相交弦定理、切割线定理及割线定理（切割线定理推论）以及它们推论统一归纳的结果。相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。割线定理：从圆外一点P引两条割线与圆分别交于A、B；C、D，则有 PAPB=PCPD。 统一归纳：过任意不在圆上的一点P引两条直线L1、L2，L1与圆交于A、B（可重合，即切线），L2与圆交于C、D（可重合），则有PAPB=PCPD。