平方根和立方根知识点总结及练习.doc

【基础知识巩固】
一、平方根、算数平方根和立方根
1、平方根
（1）平方根的定义：如果一个数x的平方等于a，那么这个数x就叫做a的平方根．即：如果，那么x叫做a的平方根．
（2）开平方的定义：求一个数的平方根的运算，叫做开平方．开平方运算的被开方数必须是非负数才有意义。
（3）平方与开平方互为逆运算：3的平方等于9，9的平方根是3
（4）一个正数有两个平方根，即正数进行开平方运算有两个结果；
一个负数没有平方根，即负数不能进行开平方运算
（5）符号：正数a的正的平方根可用表示，也是a的算术平方根；
正数a的负的平方根可用-表示．
（6） <—>
a是x的平方 x的平方是a
x是a的平方根 a的平方根是x
2、算术平方根
（1）算术平方根的定义： 一般地，如果一个正数x的平方等于a，即，那么这个正数x叫做a的算术平方根．a的算术平方根记为，读作“根号a”，a叫做被开方数．
规定：0的算术平方根是0.
也就是，在等式 (x≥0)中，规定。
（2）的结果有两种情况：当a是完全平方数时，是一个有限数；
当a不是一个完全平方数时，是一个无限不循环小数。
（3）当被开方数扩大时，它的算术平方根也扩大；
当被开方数缩小时与它的算术平方根也缩小。
一般来说，被开放数扩大（或缩小）a倍，算术平方根扩大（或缩小）倍，例如=5，=50。
（4）夹值法及估计一个（无理）数的大小
（5） (x≥0) <—>
a是x的平方 x的平方是a
x是a的算术平方根 a的算术平方根是x
（6）正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。
（0）
；注意的双重非负性：
-（<0） 0
（7）平方根和算术平方根两者既有区别又有联系：
区别在于正数的平方根有两个，而它的算术平方根只有一个；
联系在于正数的正平方根就是它的算术平方根，而正数的负平方根是它的算术平方根的相反数。
3、立方根
（1）立方根的定义：如果一个数x的立方等于，这个数叫做的立方根（也叫做三次方根），即如果，那么叫做的立方根
（2）一个数的立方根，记作，读作：“三次根号”，
其中叫被开方数，3叫根指数，不能省略，若省略表示平方。
（3） 一个正数有一个正的立方根；
0有一个立方根，是它本身；
一个负数有一个负的立方根；
任何数都有唯一的立方根。
（4）利用开立方和立方互为逆运算关系，求一个数的立方根，就可以利用这种互逆关系，检验其正确性，
求负数的立方根，可以先求出这个负数的绝对值的立方根，再取其相反数，即。
（5） <—>
a是x的立方 x的立方是a
x是a的立方根 a的立方根是x
（6），这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。
【典型例题分析】
知识点一：有关概念的识别
1、下列说法中正确的是（ ）
A、的平方根是±3　 B、1的立方根是±1　 C、=±1 　D、是5的平方根的相反数
2、下列语句中，正确的是（　 ）
A．一个实数的平方根有两个，它们互为相反数
B．负数没有立方根
C．一个实数的立方根不是正数就是负数
D．立方根是这个数本身的数共有三个
3、下列说法中：①都是27的立方根，②，③的立方根是2，④。其中正确的有 （ ）
A、1个 B、2个 C、3个 D、4个
4、的平方根是（ ）
A． B． C． D．
5、下列各组数中，互为相反数的组是（ ）
A、－2与 B、－2和 C、－与2 D、︱－2︱和2

知识点二：计算类题型
1、25的算术平方根是_______；平方根是_____. -27立方根是______
___________， ___________，___________.
2、 ； ； = . = .
3、① +3—5 ② (-)

③ | | + ||- | | ④

4、 （1）＋－ （2）

（3）

知识点三：利用平方根和立方根解方程
1、（1）（2x-1）2-169=0； （2） （3）

知识点四：关于有意义的题
本身为非负数，有非负性，即≥0；有意义的条件是a≥0。
要使 有意义，必须满足a0.
1、若的算术平方根有意义，则a的取值范围是（ ）
A、一切数 B、正数 C、非负数 D、非零数
2、要使有意义，x 应满足的条件是
3、当时，式子有意义。
知识点五：有关平方根的解答题
1、一个正数a的平方根是3x―4与2―x，则a是多少？

2、若5a＋1和a－19是数m的平方根，求m的值。

3、已知x、y都是实数，且，求的平方根。

知识点六：非负性的应用
1、已知实数x，y满足 +(y+1)2=0，则x-y等于
解答：根据题意得，x-2=0，y+1=0，
解得x=2，y=-1，
所以，x-y=2-（-1）=2+1=3．
2、 已知a、b满足，解关于的方程。

3、 若，求的值。

4、 若a、b、c满足，求代数式的值。

5、已知和︱8b－3︱互为相反数，求(ab)－2－27 的值。

【重点知识巩固】
考点、平方根、算术平方根、立方根
1、概念、定义
（1）如果一个正数x的平方等于a，即，那么这个正数x叫做a的算术平方根。
（2）如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫做a的平方根（或二次方跟）。如果，那么x叫做a的平方根。
（3）如果一个数的立方等于a，那么这个数就叫做a 的立方根（或a 的三次方根）。如果，那么x叫做a的立方根。
2、运算名称
（1）求一个正数a的平方根的运算，叫做开平方。平方与开平方互为逆运算。
（2）求一个数的立方根的运算，叫做开立方。开立方和立方互为逆运算。
3、运算符号
（1）正数a的算术平方根，记作“”。
（2）a(a≥0)的平方根的符号表达为。
（3）一个数a的立方根，用表示，其中a是被开方数，3是根指数。
4、运算公式

4、开方规律小结
（1）若a≥0，则a的平方根是，a的算术平方根；正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的那个叫它的算术平方根；0的平方根和算术平方根都是0；负数没有平方根。
实数都有立方根，一个数的立方根有且只有一个，并且它的符号与被开方数的符号相同。正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0。
（2）若a<0，则a没有平方根和算术平方根；若a为任意实数，则a的立方根是。
（3）正数的两个平方根互为相反数，两个互为相反数的实数的立方根也互为相反数。