高等代数多项式习题解答.doc

第一章 多项式习题解答

1.用除，求商与余式.
1）

.
2）

.
2.适合什么条件时，有
1）

当且仅当时.
本题也可用待定系数法求解.当时，用去除，余式为零，比较首项系数及常数项可得其商为.于是有
.
因此有.
2）
由带余除法可得

当且仅当时.即
，即或
本题也可用待定系数法求解.当时，用去除，余式为零，比较首项系数及常数项可得其商可设为.于是有

比较系数可得消去可得
或

3.求除的商与余式.
1）
解：运用综合除法可得

商为，余式为
2）.
解:运用综合除法得:

商为,余式为.
4.把表成的方幂和，即表示成的形式.
1）；
2）
3）
分析：假设为次多项式，令

即为除所得的余式，商为.类似可得为除商所得的余式，依次继续即可求得展开式的各项系数.
解：1）解法一：应用综合除法得.

.
解法二：把表示成，然后用二项式展开

2）仿上可得

.
3）因为

5.求与的最大公因式
1）
解法一：利用因式分解

因此最大公因式为.
解法二：运用辗转相除法得

因此最大公因式为.
2）.
解：运用辗转相除法得（注意缺项系数补零）

3）
，

因此
6.求使
1）
解：运用辗转相除法得：

因此.且有
，
于是
.

2）
解：运用辗转相除法得：

因此.且有
，
于是
.

3）
解：运用辗转相除法得：

因此且有
，
于是
.

7.设的最大公因式是一个二次多项式，求的值.
解：运用带余除法有

由题意可得，即为的最大公因式.因此有.进一步

.
要使为的最大公因式的充要条件是即

解得

8.证明：如果且为与的一个组合，那么是与的一个最大公因式.
证明：由可知是与的一个公因式.下证与的任意一个公因式是的因式.
由为与的一个组合可知，存在多项式，使得
.
设是与的任意一个公因式，则.故

即因此是与的一个最大公因式.
9.证明：的首项系数为1）.
证明：存在多项式，使得
.
所以有.即是
与的一个组合.显然有
.
从而.由第8题结果是与的一个最大公因式.又是首项系数为1的，因此
10.如果，不全为零，证明.
证明：由,不全为零可得其最大公因式不为零多项式，即又存在多项式，使得
.
于是
.
因此.
11.如果，不全为零，且
，
那么.
证明：由,不全为零可得由

有

于是.
12.证明：如果那么
证法一、由条件可得存在多项式；
使得
，.
两式相乘得
.
因此有
证法二、反证法证明.显然若则存在不可约多项式，使得为与的公因式.因此有且.由的不可约性有或.若，则为与的一个公因式，与相矛盾.若，则为与的一个公因式，与相矛盾.因此不成立，即有
13.设都是多项式，而且

求证：.
证明：由，反复利用第12题结果可得
.
类似可得

再反复利用12题结果可得.
14.证明：如果那么
证明：方法一.由存在多项式使得
.
从而有
因此有由12题结果结论成立.
方法二：用反证法.若则存在不可约多项式，使得为与的公因式.即
且.
由的不可约性及，有或.若，又，因此有，即，也即为与的一个公因式，与相矛盾.类似可得当时也与已知矛盾.所以
15.求下列多项式的公共根：

解法一：利用因式分解可得

因此.与的公共根为
解法二：运用辗转相除法求出与的最大公因式，最大公因式的根即为所求的公共根.

因此.与的公共根为
16.判别下列多项式有无重因式：
1）
解：
运用辗转相除法可得因此为的三重因式.
解法二：试根可得2为的根
.
因此为的三重因式.
2)
解：.故无重因式.
17.求值使有重根.
解法一：要使有重根，则.

当即时
，
因此1为的三重根.
当，即时，，为的二重根.
解法二：设.
因此有

由第一个方程有，代人第三个方程有即
.因此有
或
即当时1为的三重根；当时，为的二重根.
18.求多项式有重根的条件.
解：令.显然当时，0为的三重根.当时，
，
，
.
要使有重根，则.即即显然
也满足因此有重根的条件是
19.如果求
解法一：利用整除判定方法，的充要条件是用除，余式为零.
.
因此有，即

解法二：要使成立，则1至少是的二重根.因此1既是的根，也是其导数的根.而.故有

解法三：利用待定系数法.令
因此有
解得
20.证明：不能有重根.
证明：令则

因此有从而有.因式只有及.而显然不是的因式.因此有
.
所以没有重根.
21.如果是的一个重根，证明是

的一个重根.
证明：

显然有.由是的一个重根可得是的一个重根，设是的重根，则.
本题常见错误证法.错误证法一：由是的一个重根就得出是的一个重根，是的一个重根，是的一个重根，于是

从而是的重根.事实上，由是的一个重根推不出是的一个重根，是的一个重根，是的一个重根.
如，则，
.既不是的根，也不是与的根.
错误证法二：由

得出是的重根，直接得出是的重根，缺了是与的根验证.
22.证明：是的重根的充分必要条件是
而
证明：必要性.设是的重根，从而是的重因式，从而是的重因式，是的重因式，...，是的单因式，而不是的因式.因此是，，，...，的根，而不是的根.故有而
充分性.由而可知是，，，...，的根，而不是的根.因此是的单根，是二重根，依此类推，是的重根.
23.举例说明断语“如果是的重根，那么是的重根”是不对的.
解：例如，.是的重根，但不是的根.
24.证明：如果那么.
证明：由可得.从而因此有
从而有即.
证法二：要证，只要证在复数域上的各个根都是的根.的根为由可得.从而从而.即
都是的根.因此有.
25.证明：如果，那么

证明：要证成立，只要证1是和的根.
的两个根为.由可得.于是

即.故有所以
.
26.求多项式在复数范围内和在实数范围内的因式分解.
解：的根为故在复数范围内的分解式为
.
在实数范围内，因，.
当为奇数时，的根中一个为实根，其余为虚根，其分解式为
.
当为偶数时，的根中二个为实根，即其余为虚根，其分解式为

27.求下列多项式的有理根.
1)
解：多项式可能的有理根为由系数取值可知，取负数时，多项式的值均为负的，故该多项式没有负根.检验得2为其根，进一步运用综合除法可得

即，显然没有有理根.因此仅有一个有理根2，且为单根.
2)
解：多项式可能的有理根为

因此有
，
显然没有有理根.因此为的二重根.
3)
解：多项式可能的有理根为检验得为其根，进一步运用综合除法可得

故.即为其四重跟，3为单根.
28.下列多项式在有理数域上是否可约？
1)
解：显然无有理根，又为二次的，故在有理数域上不可约.
2)
解：取素数，满足艾森斯坦判别法的条件，因此在有理数域上不可约.
3）
解：令
取素数满足艾森斯坦判别法条件，因此在有理数域上不可约，从而在有理数域上不可约.
4）为奇素数；
解：令，由为奇数可得

由组合数定义均为整数，且，分子中有因子，分母个各数均小于，又为素数，因此约分时不会被约去，因此有
，取素数为，满足艾森斯坦判别式条件，因此在有理数域上不可约，从而在有理数域上不可约.
5）为整数.
解：令则有

取素数满足艾森斯坦判别法条件，因此在有理数域上不可约，从而在有理数域上不可约.

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