高等代数(北大版)第9章习题参考答案.doc

第九章 欧氏空间

1.设是一个阶正定矩阵,而
, ,
在中定义内积,
1) 证明在这个定义之下, 成一欧氏空间；
2) 求单位向量
, , … , ，
的度量矩阵；
3) 具体写出这个空间中的柯西—布湿柯夫斯基不等式。
解 1)易见是上的一个二元实函数，且
(1) ，
(2) ，
(3) ，
(4) ，
由于是正定矩阵，因此是正定而次型，从而，且仅当时有。
2)设单位向量
, , … , ，
的度量矩阵为，则
=，，
因此有。
4) 由定义，知
，，，
故柯西—布湿柯夫斯基不等式为

2.在中,求之间(内积按通常定义)，设:
1) , ，
2) , ，
3) , 。
解 1)由定义,得
，
所以
。
2)因为
，
，
，
，
所以
。
3)同理可得
, , , ，
所以。
3. 通常为的距离，证明；
。
证 由距离的定义及三角不等式可得

。
4在R中求一单位向量与正交。
解 设与三个已知向量分别正交，得方程组
，
因为方程组的系数矩阵A的秩为3，所以可令
x，即。
再将其单位化，则
，
即为所求。
5．设是欧氏空间V的一组基，证明：
1） 如果使，那么。
2） 如果使对任一有，那么。
证 1)因为为欧氏空间V的一组基，且对，有
，
所以可设，
且有

即证。
2)由题设，对任一总有，特别对基也有
，或者，
再由1)可得，即证。
6设是三维欧氏空间中一组标准正交基，证明：

也是一组标准正交基。
证 因为

，
同理可得
，
另一方面

，
同理可得
，
即证也是三维欧氏空间中的一组标准正交基。
7.设也是五维欧氏空间中的一组标准正交基, ，其中
, , ，
求 的一组标准正交基。
解 首先证明线性无关.事实上，由
，
其中 的秩为3，所以线性无关。
将正交化，可得
，
，
单位化，有
，
，
，
则为 的标准正交基。
8. 求齐次线性方程组

的解空间(作为的子空间)的一组标准正交基。
解 由

可得基础解系为
，，，
它就是所求解空间的一组基。将其正交化，可得
，
， ，
再将单位化,可得
，，，
则就是所求解空间的一组标准正交基。
9.在R[X]中定义内积为(f,g)= 求R[X]的一组标准正交基(由基1.出发作正交化)。
解 取R[X]的一组基为将其正交化,可得，
，其中(，又因为
，
， ，
所以，
同理可得，
再将单位化，即得，
，，，
则即为所求的一组标准正交基。
10.设V是一n维欧氏空间,是V中一固定向量,
1)证明:V是V的一个子空间；
2)证明:V的维数等于n-1。
证 1)由于0因而V非空.下面证明V对两种运算封闭.事实上,任取
则有 (，于是又有(，
所以。另一方面，也有 (， 即。故V是V的一个子空间。
2)因为是线性无关的，可将其扩充为V的一组正交基，且( (，。下面只要证明:对任意的可以由线性表出，则的维数就是。
事实上，对任意的，都有，于是有线性关系，且 ，
但有假设知 ，
所以，又因为，故，从而有，
再由的任意性，即证。
11．1）证明：欧氏空间中不同基的度量矩阵是合同的。
2）利用上述结果证明：任一欧氏空间都存在标准正交基。
证：1）设与是欧氏空间的两组不同基，它们对应的度量矩阵分别是和，另外，设到的过渡矩阵为，即 ，

=
=
=，
另一方面,令
，
则D的元素为
，
故的元素
，
即证。再由皆为V的基，所以C非退化，从而B与A合同。
2）在欧氏空间V中，任取一组基，它的度量矩阵为其中，且度量矩阵A是正定的，又因为正定矩阵与单位矩阵合同，即。于是只要
，
则由上面1）可知基的度量矩阵为E ，这就是说，就是所求的标准正交基。
12．设是n维欧氏空间V中的一组向量，而
证明：当且仅当时线性无关。
证 设有线性关系
，
将其分别与取内积，可得方程组
，
由于上述方程组仅有零解的充要条件是系数行列式不等于0，即证。
13．证明：上三角的正交矩阵必为对角矩阵，且对角线上元素为+1或-1。
证 设
为上三角矩阵，则也是上三角矩阵。由于A是正交阵，所以，即
，
所以，因而
为对角阵。再由知，即证或-1。
14．1）设A为一个n阶矩阵，且，证明A可以分解成
A=QT，
其中Q是正交矩阵，T是一上三角矩阵
，
且，并证明这个分解是唯一的；
2)设A是n阶正交矩阵，证明存在一上三角矩阵T，使
。
证 1)设A的n个列向量是由于，因此是线性无关的。从而它们也是V的一组基，将其正交单位化，可得一组标准正交基为
，
其中
，
，
其中。即
，
令，则T是上三角矩阵,且主对角线元素。
另一方面，由于是n维列向量，不妨记为
，
且令
，
则有,由于是一组标准正交基，故是正交矩阵。
再证唯一性，设是两种分解，其中是正交矩阵，是主对角线元素大于零的上三角阵，则，由于也是正交矩阵,且为上三角阵，因此, 是主对角线元为1或-1的对角阵，但是的主对角线元大于零，所以的主对角线元只能是1，故，即证。进而有,从而分解是唯一的。
2)因为是正定的，所以与合同，即存在可逆阵使,再由1)知,其中是正交矩阵为三角阵，所以。
15.设是欧氏空间中一单位向量，定义，
证明:1)是正交变换,这样的正交变换称为镜面反射；
2) 是第二类的；
3)如果维欧氏空间中正交变换以1作为一个特征值,且属于特征值1的特征子空间的维数为，那么是镜面反射。
证:1),有:
，
所以是线性变换。
又因为
，
注意到，故,此即是正交变换。
2)由于是单位向量，将它扩充成欧氏空间的一组标准正交基,则
，
即 ，
所以是第二类的。
3) 的特征值有个，由已知有个特征值为1，另一个不妨设为，则存在一组基使，
因为是正交变换，所以，
但，所以，于是

现令，则是单位向量，且与正交，则为欧氏空间 的 一组基。又因为
，
，
，
所以 ，即证。
16.证明：反对称实数矩阵的特征值是零或纯虚数。

证:设是属于特征值的特征向量，即，则
，
于是 ，
令，可得，即证。
17.求正交矩阵使成对角形，其中为
1) 2) 3)
4) 5)
解1）由
，
可得A的特征值为。
对应的特征向量为

将其正交单位化，可得标准正交基为

故所求正交矩阵为
且。
2）由，
可得 A的特征值为。
的特征向量为

的特征向量为

正交化，可得
，
再单位化，有:，
于是所求正交矩阵为
且。
3）由，
可得 A的特征值为，
相应的特征向量为
，
，
将其正交单位化，可得标准正交基为
，
，
故所求正交矩阵为
且。
4）由，
可得A的特征值为。
相应的特征向量为
，
，
正交化后得
，
，
再单位化，可得
，
，
故所求正交矩阵为
且 。
5）由，
可得的特征值为。
相应的特征向量为
，
，
将其正交化，可得
，
，
再单位化后，有
，
，
故所求正交矩阵为
且。
18用正交线性替换化下列二次型为标准形：
1）；
2）；
3）；
4）。
解 1)设原二次型对应的矩阵为A，则
，
且A的特征多项式为
，
特征值为
，
相应的特征向量为
，
，
单位化后，有
，
令X=TY，其中
，
则
。
2)原二次型对应的矩阵为
，
且A的特征多项式为
，
特征值为
。
相应的特征向量为
，
正交化,可得
，
再单位化,有
，
令X=TY，其中
，
则
。
3)原二次型对应的矩阵为
，
且A的特征多项式为
，
特征值为
。
相应的特征向量为
，
，
标准正交基为
，
，
令X=TY，其中
，
则
。
4)原二次型对应的矩阵为
，
且A的特征多项式为
，
特征值为
。
相应的特征向量为
，
，
标准正交基为
，
，
令X=XY，其中
，
故
。
19.设A是n级实对称矩阵，证明：A正定的充分必要条件是A的特征多项式的根全大于零。
证明 二次型经过正交变换X=TY，可使
，
其中为A的特征根。由于A为正定的充分必要条件是上式右端的二次型为正定，而后者为正定的充分必要条件是，即证。
20.设A是n级实矩阵，证明：存在正交矩阵T使为三角矩阵的充分必要条件是A的特征多项式的根是实的。
证明 为确定起见，这里三角矩阵不妨设为上三角矩阵。
先证必要性，设
，
其中T，A均为实矩阵，从而都是实数。又因为相似矩阵有相同的特征多项式，所以
从而A的n个特征根均为实数。
再证充分性，设为A的所有不同的实特征根，则A与某一若尔当形矩阵J相似，即存在可逆实矩阵，使
，
其中
，
而
，
由于都是实数,所以J为上三角实矩阵。
另一方面，矩阵可以分解为
，
其中是正交矩阵，为上三角矩阵，于是
，
即
。
由于都是上三角矩阵，因而它们的乘积也为上三角矩阵，即证充分性。
21.设A，B都是上三角实对称矩阵，证明；存在正交矩阵T使的充分必要条件是A，B的特征多项式的根全部相同。
证明 必要性是显然的，因为相似矩阵有相同的特征值。
现证充分性，设是A的特征根，则它们也是B的特征根。于是存在正交矩阵X和Y，使
，
所以
YXAXY=B。
令T=XY则T也是正交矩阵，从而TAT=B,，即 证。
22.设A是n级实对称矩阵，且A=A，证明：存在正交矩阵T使得
TAT=。
证 设是A的任一特征值，是属于的特征向量，则
A=, A=A()=A=，
由于
A=A=(-)=0，
又因为，所以-=0，即得
=0,=1。
换句话说，A的特征值不是1就是0。故存在正交矩阵T，使
TAT=。
上式中，对角线元素中1的个数为A的特征值1的个数，0的个数是A的特征值0的个数.。
23.证明：如果是n维欧氏空间的一个正交变换，那么的不变子空间的正交补也是的不变子空间。
证 设W是的任意一个不变子空间，现证W也是的不变子空间。
任取W , 下证W。取，，是W的一组标准正交基，再扩充成V的一组标准正交基为，，，则
W=L (，，), W=L (，，)。
因为是正交变换，所以，也是一组标准正交基，由于W是——子空间，，W ，且为的一组标准正交基，于是
，，W，
所以
=k++kW。
24. 欧氏空间V中的线性变换称为反对称的，如果对任意，V，有
（，）= —（ ，）。
证明： 1)为反对称的充分必要条件是：在一组标准正交基下的矩阵为反对称的。
2)如果V是反对称线性变换的不变子空间，则V也是。
证 1）必要性。设是反对称的，，，是一组标准正交基。则
= k+k++k (I=1,2, ,n)，
(,)= k , (,)= k，
由反对称知
(,)= —（， ） k = --k，
从而
，
故
(，，)= (，，)
=(，，)，
充分性。设在标准正交基，，下的矩阵为，有已知，有
(,)= —（， ），
对任意，V，设
，
，
则
（，）=（）=。
同理
，
故
（，）= —（ ，），
所以是反对称的。
2）任取V ，可证V，即V，事实上，任取V，由于V是子空间，因此，而 V，故（ ，）=0。
再由题设，是反对称的，知
（，）= —（ ，）=0，
由的任意性，即证V 。从而V也是A子空间。
25.证明:向量V是向量在子空间V上的内射影的充分必要条件是：对任意有。
证 必要性，设V是在V上的内射影，则,，

26设

从而
再证第二式.用
，
所以 。
27.求下列方程的最小二乘解
，
用“到子空间距离最短的线是垂线”的语言表达出上面方程的最小二乘解的几何意义，由此列出方程并求解(用三位有效数字计算)。
解 令
，
，
那么“到子空间距离最短的线是垂线”的意思就是。
令C=B-Y，由最小二乘法可得，其中 ，
，
即 ，
解之得 。
三、补充题参考解答

1． 证明：正交矩阵的实特征根为。
证 设A正交矩阵A是任一实特征值是，是A的对应于特征值的特征向量，则
A。
于是。
注意到
2.证明：奇数维欧氏空间中的旋转一定以1作为它的一个特征值。
证 因为A是正交矩阵,,则=-。
即。
3.证明：第二类正交变换一定以-1作为它的一个特征值。
证 当

即-。
4.设
那么它一定是线性的,因而它是正交变换。
证 因为
，
所以
，
故
。
又因为

=，
所以
。
即证。
5．和
。
证：下证充分性。
设
，
则有，
于是，
另一方面，因
，
于是，在
，
从而即证。
再将
:，
则由充分性假设

两组标准正交基 和则存在可逆线性变换，使

，
且
（T=(=(
=
=(，
即
（I=1,2,，
于是，由，有故

=
=(I=1,2,，
即证。
6．是n级实对称矩阵，且证明：存在正交矩阵T使得
。
证 证法1 因为A是n级实对称矩阵，所以存在n级矩阵Q，使
，
其中为的n个特征值（重根按重数列出）。于是

又因为所以
。
因此有=（I=1,2,n），不妨设=1的重数为r，则的重数为n-r。只要将集中排列在前面，则有正交矩阵T，使
。
证法2 因为n级实对称矩阵，且若令g(x)=则g(x)为
A的零多项式，且它无重根，故A相似于对角矩阵，设为A的任一特征
值，则。不妨设的重数为n-r。只要 将集中排列在前
面，则有正交矩阵，使
。
7．设f()=是一实二次型，是A的特征多项式的根，且。证明：对任意一个X,有
。
证 存在正交矩阵Q，使
，
其中为的个特征值。作正交变换则实二次型可化为
，
由题设有，于是
，
且 ，
故
。
8．设二次型对应的矩阵为，是的特征多项式的根，证明：
存在中的非零向量使的
。
证 设是矩阵A的特征值，则存在非零向量，使
，
其中，于是有
，
即证。
9．1）设是欧氏空间中两个不同的单位向量，证明存在一镜面反射，使
。
2）证明：n维欧氏空间中任一正交变换都可以表成一系列镜面反射的乘积。
证 1）记n维欧氏空间为V，当为欧氏空间为V的单位向量时，由
，
所确定的正交变换A是一个镜面反射，代入单位向量，有,
若记，则，因为是欧氏空间中两个不同的
单位向量，所以，故可解得,
其中 ，即，
于是只要取，就有=1，即为欧氏空间中的单位向量，
从而是一个镜面反射，且==。
2)设是维欧氏空间的任一正交变换，取的一组标准正交基,,，
则=，=，=也是的一组标准正交基。
此时，若，则是一个恒等变换，只要作镜面反射
，
则有 且，结论成立。
若与不全相同，不妨设,则为两个不同的单位向量，由1)知,存在镜面反射,使.令,若,则,结论成立。否则可设，再作镜面反射：,其中,则且，如此继续下去，设
，
则，其中都是镜面反射，即证。
10.设是两个实对称矩阵，且是正定矩阵，证明:存在一个实可逆矩阵使与同时为对角形。
证:因为是正定矩阵，所以存在一个阶实对称矩阵，使:，其中为阶单位矩阵，又因为还是阶实对称矩阵，所以也存在一个阶正交矩阵，使，其中为的特征值，于是，只要令，就有,
且 ， 即证。
11.证明：酉空间中两组标准正交基的过渡矩阵是酉矩阵。
证:设与分别为酉空间中两组标准正交基，且

则 。
于是，

即所以过渡矩阵是酉矩阵。
12．酉矩阵的特征值根的模为1。
证 因为酉矩阵A对应的变换是酉变换，设的任一特征值是，是的对应于的特征向量，则
（，）=（=（）=，
注意到（，），因而有
=1，
即。
13．设A是一个n级可逆复矩阵，证明可以分解成
A=UT，
其中U是酉矩阵，T是一个上三角矩阵：
T=，
其中对角元素都是正实数，并证明这中分解是唯一的。
证 设A=（，其中为A的列向量，则由A可逆知向
量组线性无关。由施密特正交化方法，可得
，
其中单位化，可得
，
则 是一组正交基，从而U=（）为又酉矩阵，且可解得
，
其中T为上三角矩阵，且为正实数。
再证分解的唯一性，设还有酉矩阵及对角线元素都是正实数的上三角形矩阵，使得，则 ，于是既是一个酉矩阵，又是一个上三角形矩阵，从而是对角矩阵，但的对角线元素都是正实数，即
，
再由是酉矩阵，知是单位矩阵，故，即证。
14．证明：埃尔米特矩阵的特征值是实数，并且它的属于不同特征值的特征向量相互正交。
证：设是埃尔米特矩阵的任一特征值，是的对应于的特征向量，则有
，
于是 ，
因此有 ，
即 ，但，故，即证为实数，另外是的任意两个不同的特征值，分别为的对应于和的特征向量，则有：，由于，因此
，
但，故（，即证的属于不同特征值的特征向量相互正交。