039旋转类几何变换(9页).doc

旋转类几何变换
自检自查必考点

一 几何变换——旋转
（一）共顶点旋转模型(证明基本思想“SAS”)

以上给出了各种图形连续变化图形，图中出现的两个阴影部分的三角形是全等三角形，此模型需要注意的是利用“全等三角形”的性质进行边与角的转化

二 利用旋转思想构造辅助线
（1）根据相等的边先找出被旋转的三角形
（2）根据对应边找出旋转角度
（3）根据旋转角度画出对应的旋转的三角形
三 旋转变换前后具有以下性质：
（1）对应线段相等，对应角相等
（2）对应点位置的排列次序相同
（3）任意两条对应线段所在直线的夹角都等于旋转角．
中考满分必做题

考点一 旋转与最短路程
☞考点说明：旋转与最短路程问题主要是利用旋转的性质转化为两点之间线段最短的问题，同时与旋转有关路程最短的问题，比较重要的就是费马点问题，涉及费马点问题，视学生程度进行选择性讲解。
【例1】 如图，四边形是正方形，是等边三角形，为对角线上任意一点，将绕点逆时针旋转得到，连接、、．
⑴求证：
⑵①当点在何处时，的值最小；
②当点在何处时，的值最小，并说明理由；
⑶当的最小值为时，求正方形的边长．
【例2】 阅读下列材料
对于任意的，若三角形内或三角形上有一点，若有最小值，则取到最小值时，点为该三角形的费马点。
①若三角形内有一个内角大于或等于，这个内角的顶点就是费马点
②若三角形内角均小于，则满足条件时，点既为费马点
解决问题：
⑴如图，中，三个内角均小于，分别以、为边向外作等边、，连接、交于点，
证明：点为的费马点。(即证明)且

⑵如图，点为三角形内部异于点的一点，证明：
⑶若，，，直接写出的最小值

考点二 利用旋转求点的坐标
☞考点说明：利用全等三角形的性质进行边与角的转化。
【例3】 正方形在坐标系中的位置如图所示，将正方形绕点顺时针方向旋转后，点的坐标为（ ）
A. B.
C. D.

【例4】 如图，在平面直角坐标系中，的顶点的坐标为，若将绕点逆时针旋转后，点到达点，则点的坐标是________

考点三 旋转与勾股定理
☞考点说明：在等边三角形与正方形中，常见的一种题型，应重点掌握
【例5】 如图，是等边中的一个点，，则的边长是________

【例6】 如图，在中，，，是内的一点，且，求的度数．

【例7】 如图点是正方形内部一点，，则= ．

考点四 利用旋转的性质解决几何有关的计算
☞考点说明：此类问题多以选择填空的形式出现，较为简单，有的时候也会再综合题中出现。
【例8】 如图，将绕点顺时针旋转得到，点落在边上，则

【例9】 如图，将直径为的半圆，绕点逆时针旋转，则阴影部分的面积为

【例10】 如图，将绕点逆时针旋转得到．若，则的度数为( )
A． B．
C． D．
【例11】 如图，将矩形绕点顺时针旋转后，得到矩形，如果，那么_________．

【例12】 把边长分别为和的矩形如图放在平面直角坐标系中，将它绕点顺时针旋转角，旋转后的矩形记为矩形．在旋转过程中，
⑴如图①，当点在射线上时，点坐标为___________；
⑵当是等边三角形时，旋转角的度数是____________(为锐角时)；
⑶如图②，设与交于点，当时，求点的坐标；

考点五 利用旋转的性质解决几何有关的证明
☞考点说明：旋转有关的几何变换是中考的热点问题，同时也是中考试题中的重难点所在。
【例13】 、分别是正方形的边、上的点，且，，为垂足，
求证：．

【例14】 已知，分别以、、为边向形外作等边三角形，等边三角形，等边三角形
⑴如图1，当是等边三角形时，请你写出满足图中条件，四个成立的结论。

⑵如图2，当中只有时，请你证明与的和等于与的和
【例15】 如图①，在中，、分别是、上的点，且，将绕点顺时针旋转一定角度，连结、，得到图②，然后将、分别延长至、，使，，连结、、，得到图③，请解答下列问题：
⑴若，请探究下列数量关系：
①在图②中，与的数量关系是________________；
②在图③中，猜想与的数量关系、与的数量关系，并证明你的猜想；
⑵若（），按上述操作方法，得到图④，请继续探究：与的数量关系、与的数量关系，直接写出你的猜想，不必证明．
D
B
C
A

E
图①
D
B
C
A

图②
E

D
B
C
A

图④
E

M

N

D
B
C
A

图③
E

M

N

【例16】 已知：在中，，点为边的中点，点是边上一点，点在线段的延长线上，，点在线段上，．
⑴如图1，当时，求证：；
⑵如图2，当时，则线段、之间的数量关系为________
M
B
A
C
D
（图1）
（图2）
E
F
M
B
A
C
D
E
F
⑶在⑵的条件下，延长到，使，连接，若，，求的值．

【例17】 ⑴如图所示，在四边形中，，，，证明：.
⑵ 如图所示，在四边形中，,，为四边形内部一点，，证明：.

【例18】 如图1，若△ABC和△ADE为等边三角形，M，N分别EB，CD的中点，易证：CD=BE，△AMN是等边三角形．（1）把△ADE绕A点旋转到图2的位置时，CD=BE是否仍然成立？若成立请证明，若不成立请说明理由；（2）当△ADE绕A点旋转到图3的位置时，△AMN是否还是等边三角形？若是，请给出证明，并求出当AB=2AD时，△ADE与△ABC及△AMN的面积之比；若不是，请说明理由．
图1 图2 图3

图8

【例19】 如图1，Rt△ABC≌Rt△EDF，∠ACB＝∠F＝90°，∠A＝∠E＝30°．△EDF绕着边AB的中点D旋转，DE，DF分别交线段AC于点M，K．
（1）观察：①如图2、图3，当∠CDF＝0°或60°时，AM＋CK_______MK（填“＞”，“＜”或“＝”）．
②如图4，当∠CDF＝30°时，AM＋CK_______MK（只填“＞”或“＜”）．
（2）猜想：如图1，当0°＜∠CDF＜60°时，AM＋CK_______MK，证明你所得到的结论．
D
B
C
A
(F,K)
E
M
图2
（3）如果MK 2＋CK 2＝AM 2，请直接写出∠CDF的度数和的值．
D
B
C
A
F
E
M
K
图1

D
B
C
A
F
E
K
图3
(M)

D
B
C
A
F
E
M
K
图4

【例20】 在等边的两边，所在直线上分别有两点为外一点，且，，，探究：当点分别爱直线上移动时，之间的数量关系及的周长与等边的周长的关系．

（1）如图①，当点在边上，且时，之间的数量关系式_________；此时__________
（2）如图②，当点在边上，且时，猜想(1)问的两个结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明；
⑶如图③，当点分别在边的延长线上时，若，则_________(用表示)

【例21】 在Rt△ABC中，∠ACB=90°，tan∠BAC=. 点D在边AC上（不与A，C重合），连结BD，F为BD中点.若将图1中的△ADE绕点A旋转，使得D、E、B三点共线，点F仍为BD中点，如图2所示．求证：BE-DE=2CF；