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极化恒等式
秒杀秘籍：极化恒等式：
在中，若AM是的BC边中线，有以下两个重要的向量关系：
定理1 平行四边形两条对角线的平分和等于两条邻边平分和的两倍.以此类推到三角形，若AM是的中线，则
定理2 （极化恒等式的三角形模式）在中，若M是BC的中点，则有
例1：（2014年高考全国新课标II卷文（理）科第4（3）题）设向量满足，则等于 （ ）
A.1 B. 2 C. 3 D. 5
解：由极化恒等式，即得
例2:（2014江苏）在平行四边形中，已知则的值是 .
解:
例3：.设点P是边长为2的△ABC三边上的一动点，则的取值范围是
解：如图，设BC的中点为D，则,设AD的中点为M，
则,显然，当P在B点时，的值最大，此时；当时，的值最小，此时.
所以的取值范围是.
例4：正方形ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，MN是它的内切球的一条弦（把球面上任意两点之间的线段称为球的弦），p为正方形表面上的动点，当弦MN最长时，的最大值为
解：设球心为O，球半径为R，则R=2,根据极化恒等式：又因为P为正方形表面上的动点，所以的最大值为正方体体对角线长的一半，即，所以的最大值为2
例5：△ABC中，∠C=,AC=4,BC=3,D是AB的中点，E,F分别是边BC，AC上的动点，且EF=1，则的最小值等
解：（H为EF的中点）。又因为
所以。

一、求数量积的值
1. （2016年高考江苏卷第13题）如图，在中，是的中点，是的两个三等分点，，则 .
2. （2012年高考浙江卷理科第15题）在中，是的中点，则 .
3. （2011年高考上海卷理科第11题）在正中，是上的点，则 .
4. （2015年全国高中数学联赛四川赛区预赛第11题）在矩形中，为矩形所在平面上一点，满足则 .
二、 界定数量积的取值范围
5. （2015年郑州市高三第一次质量预测理科第11题）在中，是斜边AB上的两个动点，且则的取值范围为 （ ）
A. B. C. D.
三、 探求数量积的最值
6. （2017年高考全国II卷理科第12题）已知是边长为2的等边三角形，P为平面内一点，则的最小值是 （ ）
A. B. C. D.
7.（2018•天津）如图，在平面四边形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD=120°，ABAD=1．若点E为边CD上的动点，则的最小值为（　　）
A． B． C． D．3
8.（2016年高考浙江卷理科第15题）已知向量若对任意单位向量，均有则的最大值是 .
四、 处理长度问题
9.（2008年高考浙江卷理科第9题）已知是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量满足则的最大值是 （ ）
A. 1 B. 2 C. D.
10.（2013年高考重庆卷理科第10题）在平面内，若,则的取值范围是 （ ）
A. B. C. D.
11.（2017年高考浙江卷理科第15题）已知向量满足则的最小值是 ，最大值是 .
12.（2013年高考天津卷文（理）科第12题）在平行四边形中，为的中点.若，则 .
13. （2012年全国高中数学联赛湖南赛区预赛第11题）若边长为4的正方形沿对角线折成平面角大小为的二面角，则边的中点与点的距离为 .
14. （2012年全国高中数学联赛黑龙江预赛题）设P是椭圆上异于长轴端点的任意一点，分别是其左右焦点，O为中心，则 .
五、 解决综合性问题
15. （2012年高考江西卷理科第7题）在中，点D是斜边AB的中点，点P为线段CD的中点，则等于 （ ）
A. 2 B. 4 C. 5 D. 10
16. （2013年高考浙江卷理科第7题）已知在中，是边上一定点，满足，且对于边上任一点P，恒有，则 （ ）
A. B. C. D.
17. （2013年浙江省高中数学竞赛试题第5题）已知直线AB与抛物线交于点，点M为AB的中点，C为抛物线上一个动点，若点满足，则下列一定成立的是（其中是抛物线过点的切线） （ ）
A. B. C. D.
18. （2014年高考浙江卷理科第8题）记设为平面向量，则 （ ）
A. B.
C. D.
19. （浙江省鲁迅中学等六校2016届高三下学期联考理科第8题）如图5，在等腰梯形中，,点分别为的中点.如果对于常数，在等腰梯形的四条边上，有且只有8个不同的点P，使得成立，那么的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
20. （2005年高考湖北卷理科第18题）在中，已知，，边上的中线，求的值.

1. ； ;解得：
故.
2.-16； .
3.；法一：.
4.0； 定理：在矩形ABCD中，P为矩形平面内任意一点，设AC与BD交点为O,一定有；故此题由于,.
5. D；取MN中点P，，故当P位于AB中点时，取得最小值，当M位于A（B）点时，取得最大值，根据余弦定理，，，选D。
6. B；取AB中点E，AC中点F，连接EF， ，当时等号成立，当P位于EF中点时，取得最小，答案为。
7. A；取AB中点F，连接EF，，根据几何条件，当时，最小，过B作交CD于G，，，此时，选A。
8. ；设=，=，=，则=+，=﹣，由绝对值不等式得≥|•|+|•|≥|•+•|=|（+）•|，于是对任意的单位向量，均有|（+）•|≤，由题设当且仅当与同向时，等号成立，此时（+）2取得最大值6，由于|+|2+|﹣|）2=2（||2+||2）=10，于是（﹣）2取得最小值4，则•=，•的最大值是．
9. C；，由于，而与反向时，取得最大值，此时。
10. 如图在三角形OPA中M为AP中点，及，又因为，，即，即，即
11. 4 2； 12. 13. 14. 25
15. D 又因为。
16. D
17. B
18. D
19. C