集合与集合的表示方法教案.doc

1.1 集合与集合的表示方法
（一）教学目标
1．知识与技能
（1）初步理解集合的含义，知道常用数集及其记法．
（2）初步了解“属于”关系的意义．理解集合相等的含义.
（3）初步了解有限集、无限集的意义，并能恰当地应用列举法或描述法表示集合.
2．过程与方法
（1）通过实例，初步体会元素与集合的“属于”关系，从观察分析集合的元素入手，正确地理解集合．
（2）观察关于集合的几组实例，并通过自己动手举出各种集合的例子，初步感受集合语言在描述客观现实和数学对象中的意义．
（3）学会借助实例分析、探究数学问题（如集合中元素的确定性、互异性）．
（4）通过实例体会有限集与无限集，理解列举法和描述法的含义，学会用恰当的形式表示给定集合掌握集合表示的方法.
3．情感、态度与价值观
（1）了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系．
（2）在学习运用集合语言的过程中，增强学生认识事物的能力．初步培养学生实事求是、扎实严谨的科学态度．
（二）教学重点、难点
重点是集合的概念及集合的表示．难点是集合的特征性质和概念以及运用特征性质描述法正确地表示一些简单集合.
（三）教学方法
尝试指导与合作交流相结合．通过提出问题、观察实例，引导学生理解集合的概念，分析、讨论、探究集合中元素表达的基本要求，并能依照要求举出符合条件的例子，加深对概念的理解、性质的掌握．通过命题表示集合，培养运用数学符合的意识.

教学环节
教学内容
师生互动
设计意图
提出
问题
一个百货商店，第一批进货是帽子、皮鞋、热水瓶、闹钟共计4个品种，第二批进货是收音机、皮鞋、尼龙袜、茶杯、闹钟共计5个品种，问一共进了多少品种的货?能否回答一共进了4 + 5 = 9种呢？
学生回答（不能，应为7种），然后教师和学生共同分析原因：由于两次进货共同的品种有两种，故应为4 +5 – 2 = 7种．从而指出：
……这好像涉及了另一种新的运算．……
设疑激趣，
导入课题．

复习
引入
①初中代数中涉及“集合”的提法．
②初中几何中涉及“集合”的提法．
引导学生回顾，初中代数中不等式的解法一节中提到的有关知识：
一般地，一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解的集合，简称为这个不等式的解集．
几何中，圆的概念是用集合描述的．
通过复习回顾，引出集合的概念．
概念
形成
第一组实例（幻灯片一）：
（1）“小于l0”的自然数0，1，2，3，……，9．
（2）满足3x – 2 ＞x + 3的全体实数．
（3）所有直角三角形．
（4）到两定点距离的和等于两定点间的距离的点．
（5）高一（1）班全体同学．
（6）参与中国加入WTO谈判的中方成员．
1．集合：
一般地，把一些能够确定的不同的对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象的全体构成的集合（或集）．
2．集合的元素（或成员）：
即构成集合的每个对象（或成员）
教师提问：①以上各例（构成集合）有什么特点?请大家讨论．
学生讨论交流，得出集合概念的要点，然后教师肯定或补充．
②我们能否给出集合一个大体描述?……学生思考后回答，然后教师总结．
③上述六个例子中集合的元素各是什么?
④请同学们自己举一些集合的例子．

通过实例，引导学生经历并体会集合（描
述性）概念形成的过程，引导学生进一步明确集合及集合元素的概念，会用自然语言描述集合．
概念
深化
第二组实例（幻灯片二）
（1）参加亚特兰大奥运会的所有中国代表团的成员构成的集合．
（2）方程x2 = 1的解的全体构成的集合．
（3）平行四边形的全体构成的集合．
（4）平面上与一定点O的距离等于r的点的全体构成的集合．
3．元素与集合的关系：

教师要求学生看第二组实例，并提问：①你能指出各个集合的元素吗？②各个集合的元素与集合之间是什么关系？③例（2）中数0，–2是这个集合的元素吗?
学生讨论交流，弄清元素与集合之间是从属关系，即“属于”或“不属于”关系．

引入集合语言描述集合．

教学环节
教学内容
师生互动

设计意图
概念
深化
集合通常用英语大写字母A、B、C…表示，它们的元素通常用英语小写字母a、b、c…表示．
如果a是集合A的元素，就说a属于A，
记作a∈A，读作“a属于A”．
如果a不是集合A的元素，就说a不属于
A，记作aA，读作“a不属于A”．
4．集合的元素的基本性质；
（1）确定性：集合的元素必须是确定的．不能确定的对象不能构成集合．
（2）互异性：集合的元素一定是互异的．相同的几个对象归于同一个集合时只能算作一个元素．

第三组实例（幻灯片三）：
（1）由x2，3x + 1，2x2 – x + 5三个式子构成的集合．
（2）平面上与一个定点O的距离等于1的点的全体构成的集合．
（3）方程x2 = – 1的全体实数解构成的集合．

5．空集：不含任何元素的集合，记作．
6．集合的分类：按所含元素的个数分为有限集和无限集．
7．常用的数集及其记号（幻灯片四）．
N：非负整数集（或自然数集）．
N*或N+：正整数集（或自然数集去掉0）．
Z：整数集．
Q：有理数集．
R：实数集．
教师提问：“我们班中高个子的同学”、“年轻人”、“接近数0的数”能否分别组成一个集合，为什么？
学生分组讨论、交流，并在教师的引导下明确：
给定一个集合，任何一个对象是不是这个集合的元素也就确定了．另外，集合的元素一定是互异的．相同的对象归于同一个集合时只能算作集合的一个元素．

教师要求学生观察第三组实例，并提问：它们各有元素多少个?
学生通过观察思考并回答问题．
然后，依据元素个数的多少将集合分类．
让学生指出第三组实例中，哪些是有限集？哪些是无限集？……
请同学们熟记上述符号及其意义．
通过讨论，使学生明确集合元素所具有的性质，从而进一步准确理解集合的概念．

通过观察实例，发现集合的元素个数具有不同的类别，从而使学生感受到有限集、无限集、空集存在的客观意义．

教学环节
教学内容
师生互动
设计意图
应用
举例
列举法：
定义：把集合的元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法.
例1 用列举法表示下列集合：
（1）小于10的所有自然数组成的集合；
（2）方程x2 = x的所有实数根组成的集合；
（3）由1～20以内的所有质数组成的集合.
描述法：
定义：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法. 具体方法是：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征.
例2 试分别用列举法和描述法表示下列集合：
（1）方程x2 –2 = 0的所有实数根组成的集合；
（2）由大于10小于20的所有整数组成的集合.
师生合作应用定义表示集合.
例1 解答：（1）设小于10的所有自然数组成的集合为A，那么
A = {0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}.
由于元素完全相同的两个集合相等，而与列举的顺序无关，因此集合A可以有不同的列举法. 例如：
A = {9，8，7，6，5，4，3，2，1，0}.
（2）设方程x2 = x 的所有实数根组成的集合为B，那么B = {0，1}.
（3）设由1～20以内的所有质数组成的集合为C，那么
C = {2，3，5，7，11，13，17，19}.
例2 解答：（1）设方程x2 – 2 = 0的实数根为 x，并且满足条件x2 – 2 = 0，因此，用描述法表示为
A = {x∈R| x2 –2 = 0}.
方程x2 –2 = 0有两个实数根，，因此，用列举法表示为
A = {，}.
（2）设大于10小于20的整数为 x，它满足条件x∈Z，且10＜x＜20. 因此，用描述法表示为
B = {x∈Z | 10＜x＜20}.
大于10小于20的整数有11，12，13，14，15，16，17，18，19，因此，用列举法表示为
B = {11，12，13，14，15，16，17，18，19}.

教学环节
教学内容
师生互动
设计意图
应用
举例
例3 已知由l，x，x2，三个实数构成一个集合，求x应满足的条件．
解：根据集合元素的互异性，
得
所以x∈R且x≠±1，x≠0．
例2 用∈、填空．
① Q；② Z；
③ R；④0 N；
⑤0 N*；⑥0 Z．
学生分析求解，教师板书．

通过应
用，进一步
理解集合的
有关概念、
性质．

例4 试选择适当的方法表示下列集合：
（1）由方程x2 – 9 = 0的所有实数根组成的集合；
（2）由小于8的所有素数组成的集合；
（3）一次函数y = x + 3与 y = –2x + 6的图象的交点组成的集合；
（4）不等式4x – 5＜3的解集.
生：独立完成；题：点评说明.
例4 解答：（1）{3，–3}；
（2）{2，3，5，7}；
（3）{(1，4)}；
（4）{x| x＜2}.

归纳
总结
①请同学们回顾总结，本节课学过的集合的概念等有关知识；
②通过回顾本节课的探索学习过程，请同学们体会集合等有关知识是怎样形成、发展和完善的．
③通过回顾学习过程比较列举法和描述法. 归纳适用题型.
师生共同总结——交流——完善．
引导学生学会自己总结；让学
生进一步（回顾）体
会知识的形成、发展、完善的过程．
课后
作业

课后练习
由学生独立完成．
巩固深化；预习下一节内容，培养自学能力．
备选例题
例1（1）利用列举法表法下列集合：①{15的正约数}；②不大于10的非负偶数集.
（2）用描述法表示下列集合：①正偶数集； ②{1，–3，5，–7，…，–39，41}.
【分析】考查集合的两种表示方法的概念及其应用.
【解析】（1）①{1，3，5，15}
②{0，2，4，6，8，10}
（2）①{x | x = 2n，n∈N*}
②{x | x = (–1) n–1·(2n –1)，n∈N*且n≤21}.
【评析】（1）题需把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合，多用于集合中的元素有有限个的情况.
（2）题是将元素的公共属性描述出来，多用于集合中的元素有无限多个的无限集或元素个数较多的有限集.
例2 用列举法把下列集合表示出来：
（1）A = {x∈N |∈N}；
（2）B = {∈N | x∈N }；
（3）C = { y = y = – x2 + 6，x∈N ，y∈N }；
（4）D = {(x，y) | y = –x2 +6，x∈N }；
（5）E = {x |= x，p + q = 5，p∈N ，q∈N*}.
【分析】先看五个集合各自的特点：集合A的元素是自然数x，它必须满足条件也是自然数；集合B中的元素是自然数，它必须满足条件x也是自然数；集合C中的元素是自然数y，它实际上是二次函数y = – x2 + 6 (x∈N )的函数值；集合D中的元素是点，这些点必须在二次函数y = – x2 + 6 (x∈N )的图象上；集合E中的元素是x，它必须满足的条件是x =，其中p + q = 5，且p∈N，q∈N*.
【解析】（1）当x = 0，6，8这三个自然数时，=1，3，9也是自然数.
∴ A = {0，6，9}
（2）由（1）知，B = {1，3，9}.
（3）由y = – x2 + 6，x∈N，y∈N知y≤6.
∴ x = 0，1，2时，y = 6，5，2 符合题意.
∴ C = {2，5，6}.
（4）点 {x，y}满足条件y = – x2 + 6，x∈N，y∈N，则有：

∴ D = {(0，6) (1，5) (2，2) }
（5）依题意知p + q = 5，p∈N，q∈N*，则

x 要满足条件x =，
∴E = {0，，，，4}.
【评析】用描述法表示的集合，要特别注意这个集合中的元素是什么，它应该符合什么条件，从而准确理解集合的意义.
例3 已知–3∈A = {a –3，2a – 1，a2 + 1}，求a的值及对应的集合A.
–3∈A，可知–3是集合的一个元素，则可能a –3 = –3，或2a – 1 = –3，求出a，再代入A，求出集合A.
【解析】由–3∈A，可知，a –3 = –3或2a –1 = –3，当a –3 = –3，即a = 0时，A = {–3，–1，1}
当2a – 1 = –3，即a = –1时，A = {– 4，–3，2}.
【评析】元素与集合的关系是确定的，–3∈A，则必有一个式子的值为 –3，以此展开讨论，便可求得a.
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