大学物理（上） 第3章 刚体的转动.pdf

第3章刚体的转动万物之美科学之理本章知识要点描述刚体定轴转动的角量刚体的转动动能转动惯量及其计算角动量 角动量定理 力矩 转动定律角动量守恒及其应用力矩的功刚体定轴转动的动能定理万物之美科学之理目录第一节刚体运动的描述0*0第二节刚体的转动动能与转动惯量第三节角动量角动量定理和力矩 刚体转动定律第四节角动量守恒及应用。第五节刚体转动中的功与能量第一节刚体运动的描述刚体的引入刚体 在外力作用下，形状和大小都不发生变化的物体。（任意两质点间距离保持不变的特殊质点组）4第一节刚体运动的描述刚体的基本运动1、刚体的平动若刚体中所有点的运动轨 迹都保持完全相同，或者刚体 内任意两点间的连线总是平行 于它们的初始位置间的连线。第一节刚体运动的描述刚体的基本运动2.刚体的转动刚体中所有的点都绕同一直线做圆周运动。4 W _ _,小UN6第一节刚体运动的描述Z描述刚体转动的物理量i.角位移.角速度和角加速度表3-1描述平动线量和转动的角量描述质点平动的线量描述刚体定轴转动的角量位矢r平动运动方程，角位置，转动运动方程位移Ar位移的微兀dr珀位移角位移的微元d。速度一 Ar dr v=lim=ato A/山角速度 M d(o=hm=A/f o M d/(3-1)加速度QAv dv a=lim=/o Ar At角加速度少八.Aft)drwP=lim-=a/tO Z At(3-2)7第一节刚体运动的描述描述刚体转动的物理量62、线量和角量的关系表3-2线量和角量的数值对应关系弧长的微元山ds=R60角位移的微元d。切向速度的大小Pds Rd。v=-=R(odz dr角速度的大小。切向加速度的大小可四 口也at=R=Rpdr dz角加速度的大小P法向加速度的大小知V2 2a=Reo R8万物之美科学之理目录第一节刚体运动的描述第二节刚体的转动动能与转动惯量第三节角动量角动量定理和力矩 刚体转动定律第四节角动量守恒及应用第五节刚体转动中的功与能量第二节刚体的转动动能与转动惯量，转动动能刚体绕定轴转动时的动能n 1 1 n 1Ek=5（f 柱彳之）6/=J2i=l 乙 N，=1 乙10第二节刚体的转动动能与转动惯量，转动惯量1、定义J=（单位：kg-m2）i物理意义：刚体转动惯性的量度。11第二节刚体的转动动能与转动惯量，转动惯量2、计算质量离散分布：J=工*i耳州如图某质点系加2i=3J=工他/i=l2 2 2=m1n+叫弓+nkr312第二节刚体的转动动能与转动惯量，转动惯量质量连续分布：J=J r 2 dmpAV,其中dr表示刚体的体积元，夕表示体积元dr处的质量体密度 dm=crck,其中ch表示刚体的面积元，。表示面积元出处的质量面密度Ad/,其中d/表示刚体的线元长度，4表示线元d/处的质量线密度第二节刚体的转动动能与转动惯量哪种握法转动惯量大?同一根棍子,第二节刚体的转动动能与转动惯量例3求质量为也长度为/的均匀细棒关于不同转轴的转动惯量。(1)转轴过端点(2)转轴过中点角星：，=J r2 dmdm=Adx=学 dx7 1 2 1 72/端=0%了 dx=mli iT r-27 1 i2/比=2/%dx=ml中 I 12dx/O L IX XI 2OIdx 2图3-2细棒两种握法简化示意第二节刚体的转动动能与转动惯量例3-2 有一辆质量为1 000kg的小汽车从高度为50m的斜坡顶向坡底行驶，若到达坡底时的 速度为36kmh求此过程汽车重力所做的功和汽车在坡底时的动能。若下坡时过剩的机械能可以全 部储存在一个质量为20kg、半径为50cm的圆盘上，则此圆盘的转速可以达到多少？解在坡底时汽车的速度写成国际单位为】。Ms,此时动能为=32=5x 10”设重力加速度为lOm/s2,汽车重力所做的功为A=mgh=5xlQ5J显然在汽车下坡过程中有大量的机械能被白白浪费掉，它们在汽车刹车时转化成了热量。如果可以通过机械能回收装置回收转换为一个圆盘的转动动能，在需要的时候可以再次释放出来。根据 刚体的转动动能(3-5)式，有A-E=-J6?2=4,5x105J根据表33中圆盘转动惯量的公式J=niR2=x 20 x 0.522 7=2.5kg nr2x 4 5x lO5co=.-.-=600ra ds 95.5圈/秒V 2.516万物之美科学之理目录第一节刚体运动的描述第二节刚体的转动动能与转动惯量第三节角动量角动量定理和力矩 刚体转动定律第四节角动量守恒及应用第五节刚体转动中的功与能量第三节角动量角动量定理和力矩刚体转动定律-大小：L 二 rp sinO方向：符合右手螺旋法则注意：质点的角动量，必须指明是对哪个参考点而言的。18第三节角动量角动量定理和力矩刚体转动定律-角动量D2.刚体定轴转动的角动量2L：=Am,cd=Z4=Z（根。）图3-6刚体角动量=（Z Am）=J coL=JG刚体对某定轴的角动量等于刚体对该轴的转动惯量与角速度的乘积。方向沿该转动轴，并与这时转动的角速度矢量方向相同。19第三节角动量角动量定理和力矩刚体转动定律-角动量定理1.质点的角动量定理dp 三 6L=F,dt dt图3-7力矩更=义工包=史、万+尸x至=x至=”月dt dt dt dt dt力矩应=也 积分形式Mda dt%20第三节角动量角动量定理和力矩刚体转动定律角动量定理2.质点系的角动量定理年三M外=外 积分形式：1Mdt=L2-Li21第三节角动量角动量定理和力矩刚体转动定律刚体转动定律dL _ d(Jco)dt dtdt=J/3M=绕定轴转动的刚体角加速度与作用于刚体上的合外力矩 成正比，与刚体的转动惯量成反比。22万物之美科学之理目录第一节刚体运动的描述第二节刚体的转动动能与转动惯量第三节角动量角动量定理和力矩 刚体转动定律第四节角动量守恒及应用第五节刚体转动中的功与能量角动量守恒定律M=0 dt质点系所受的合外力对某参考点的力矩为零时，则此质点系对该参 考点的角动量守恒，即角动量的大小和方向都保持不变。刚体所受的合外力的力矩为零时，则恒矢量24角动量守恒应用转动轴(a)(b)图3-10旋转者的角动量守恒25思考：证明天体物理中著名的开普勒第二定律在相等的时间内，行星相对太阳的矢径扫过的面积相等。26开普勒发现了行星运动的三大定律：轨 道定律、面积定律和周期定律。这三大定 律最终使他赢得了“天空立法者”的美名。I mea sured t he skies,no w t he sha do ws I mea sure.Skybo und wa s t he mind,ea rt hbo und t he bo dy rest s.Johannes Kepler 1571-1630从开普勒开始，宇宙和谐的观念就一直成为启迪科学家伟大智慧的源泉，显示出耀眼的光芒；在追求宇宙奥秘的道路上，开普勒一直是光辉的榜样。27例3-4 质量为加、长度为/的均匀细棒，可以绕 一端的水平轴。自由转动，如图3-15所示。现将棒由 水平位置释放，当棒摆动到最低点时与物体”发生完 全弹性碰撞。已知物体与水平面的滑动摩擦系数为，求物体向右滑动的最终距离5。图375均匀细棒绕轴旋转解整个过程有3个阶段。第一阶段：棒由水平位置下落到竖直位置时，棒和 地球组成的系统机械能守恒。选取水平面作零势能面,棒末机械能等于初机械能，即mg-+-JccTmgl28其中质量均匀细棒绕端点的转动惯量在之前的例3-1中计算过，即J=l/3加尸,代入上式中，得棒在最低点时的角速率。=13g第二阶段：因为棒与物体的碰撞是完全弹性碰撞，所以棒和物体的系统机械能守恒。选取水平面作零势能面，棒和物体的碰撞前的机械能等于碰撞后的机械能，Fp J。2+机女一=一J。2 2 2 2 2且碰撞时合外力相对固定点。的力矩为0,所以棒和物体的系统角动量守恒，碰撞前 棒的角动量等于碰撞后棒和物体的角动量，即J二J1+Mlv29万物之美科学之理目录第一节刚体运动的描述第二节刚体的转动动能与转动惯量第三节角动量角动量定理和力矩 刚体转动定律第四节角动量守恒及应用第五节刚体转动中的功与能量第五节 刚体转动中的功与能量力矩的功dW=Ftds=FtrdO=M d力矩所做的元功dw等于 力矩M与角位移de的乘积3 W=d，斗 八M60第五节 刚体转动中的功与能量刚体定轴转动的动能定理dW=MdO=J Jcodco dtW=，卬2 1 1 2 1 2J COCi CO=-J CO J COi用 2 2 2 1合外力矩对绕定轴转动刚体所做的功等于刚体转动动能的增量第五节 刚体转动中的功与能量 表3-4质点运动规律与刚体定轴转动规律对照表质点的平动刚体的定轴转动力F质量m力矩M转动惯量J=2而牛顿第二定律口即 dt刚体转动定律 M=JBdr 动量p=niv角动量 L=rxmv=J(o动量定理（力在时间上的积累效应）1Fdt=p2-p1角动量定理（力矩在时间上的积累效应）j Mdt=L2-Lx动量守恒定律（合外力为o）nP=1=1角动量守恒定律（合外力矩为0）nL=恒矢量j=i力的功（力在空间上的积累效应）JF=fdlF=jF.dr力矩的功（力矩在空间上的积累效应）%=Jd7=JM dJ动能定理W=wv62-mv 2 2动能定理W=-Jc-Jo；2 233