江苏省无锡市2022年数学九上期末检测模拟试题含解析.doc

2022-2023学年九上数学期末模拟试卷
考生请注意：
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题(每小题3分,共30分)
1．有五张背面完全相同的卡片，正面分别写有数字1，2，3，4，5，把这些卡片背面朝上洗匀后，从中随机抽取一张，其正面的数字是偶数的概率为　　
A． B． C． D．
2．服装店将进价为每件100元的服装按每件x（x＞100）元出售，每天可销售（200﹣x）件，若想获得最大利润，则x应定为（　　）
A．150元 B．160元 C．170元 D．180元
3．顺次连接边长为的正六边形的不相邻的三边的中点，又形成一个新的正三角形，则这个新的正三角形的面积等于（ ）
A． B． C． D．
4．如图，将∠AOB放置在5×5的正方形网格中，则tan∠AOB的值是

A． B． C． D．
5．如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O在坐标原点，边OA在x轴上，OC在y轴上，且点B的坐标为（6，4），如果矩形OA′B′C′与矩形OABC关于点O位似，且矩形OA′B′C′的面积等于矩形OABC面积的，那么点B′的坐标是（ ）

A．（3，2） B．（－2，－3）
C．（2，3）或（－2，－3） D．（3，2）或（－3，－2）
6．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠BAC=60°，若⊙O的半径OC为2，则弦BC的长为（　　）

A．1 B． C．2 D．
7．已知一个三角形的两个内角分别是40°，60°，另一个三角形的两个内角分别是40°，80°，则这两个三角形（　　）
A．一定不相似 B．不一定相似 C．一定相似 D．不能确定
8．若二次函数的图象经过点（﹣1，0），则方程的解为（ ）
A．， B．， C．， D．，
9．如图，将绕点逆时针旋转，旋转角为，得到，这时点，，恰好在同一直线上，下列结论一定正确的是（ ）

A． B． C． D．
10．一人乘雪橇沿坡度为1：的斜坡滑下，滑下距离S（米）与时间t（秒）之间的关系为S=10t+2t2，若滑动时间为4秒，则他下降的垂直高度为（　　）
A．72米 B．36米 C．米 D．米
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．如图，是等腰直角三角形，，以BC为边向外作等边三角形BCD，，连接AD交CE于点F，交BC于点G，过点C作交AB于点下列结论：；∽；；则正确的结论是______填序号

12．如图，矩形的对角线经过坐标原点，矩形的边分别平行于坐标轴，点在反比例函数的图象上.若点的坐标为，则的值为_______．

13．如图，在置于平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，点是内切圆的圆心．将沿轴的正方向作无滑动滚动，使它的三边依次与轴重合，第一次滚动后圆心为，第二次滚动后圆心为，…，依此规律，第2020次滚动后，内切圆的圆心的坐标是__________．

14．如图，是的直径，点在上，且，垂足为，，，则__________．

15．如图，直角三角形的直角顶点在坐标原点，，若点在反比例函数的图象上，则经过点的反比例函数解析式为___；

16．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝，点D、E分别在BC、AC上（点D不与点B、C重合），且∠ADE＝45°，若△ADE是等腰三角形，则CE＝_____．

17．广场上喷水池中的喷头微露水面，喷出的水线呈一条抛物线，水线上水珠的高度（米）关于水珠与喷头的水平距离（米）的函数解析式是．水珠可以达到的最大高度是________（米）．
18．若点，在反比例函数的图象上，则______.（填“>”“<”或“=”）
三、解答题(共66分)
19．（10分）如图，点是反比例函数上一点，过点作轴于点，点为轴上一点，连接．

（1）求反比例函数的解析式；
（2）求的面积．
20．（6分）某数学活动小组实地测量湛河两岸互相平行的一段东西走向的河的宽度，在河的北岸边点A处测得河的南岸边点B处在其南偏东45°方向，然后向北走20米到达点C处，测得点B在点C的南偏东33°方向，求出这段河的宽度．（结果精确到1米，参考数据：sin33°＝0.54，cos33°≈0.84，tan33°＝0.65，≈1.41）

21．（6分）如图，在中，弦AB，CD相交于点E，＝，点D在上，连结CO，并延长CO交线段AB于点F，连接OA，OB，且OA＝2，∠OBA＝30°

（1）求证：∠OBA＝∠OCD；
（2）当AOF是直角三角形时，求EF的长；
（3）是否存在点F，使得，若存在，请求出EF的长，若不存在，请说明理由.
22．（8分）如图，某小区规划在一个长16m宽9m的矩形场地ABCD上，修建同样宽的小路，使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种草，若草坪部分总面积为112m2，求小路的宽．

23．（8分）垃圾分类是必须要落实的国家政策，环卫部门要求垃圾要按可回收物，有害垃圾，餐厨垃圾，其它垃圾四类分别装袋，投放.甲投放了一袋垃圾，乙投放了两袋垃圾（两袋垃圾不同类）.
（1）直接写出甲投放的垃圾恰好是类垃圾的概率；
（2）用树状图求乙投放的垃圾恰有一袋与甲投放的垃圾是同类的概率．
24．（8分）探究问题：
⑴方法感悟：
如图①，在正方形ABCD中，点E，F分别为DC，BC边上的点，且满足∠EAF=45°，连接EF，求证DEBF=EF．
感悟解题方法，并完成下列填空：
将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABG，此时AB与AD重合，由旋转可得：
AB=AD,BG=DE, ∠1=∠2，∠ABG=∠D=90°,
∴∠ABG+∠ABF=90°+90°=180°，
因此，点G，B，F在同一条直线上．
∵∠EAF=45°
∴∠2+∠3=∠BAD-∠EAF=90°-45°=45°．
∵∠1=∠2，
∴∠1+∠3=45°．
即∠GAF=∠_________．
又AG=AE，AF=AF
∴△GAF≌_______．
∴_________=EF，故DE+BF=EF．

⑵方法迁移：
如图②，将沿斜边翻折得到△ADC，点E，F分别为DC，BC边上的点，且∠EAF=∠DAB．试猜想DE，BF，EF之间有何数量关系，并证明你的猜想．

⑶问题拓展：
如图③，在四边形ABCD中，AB=AD，E，F分别为DC,BC上的点，满足,试猜想当∠B与∠D满足什么关系时，可使得DE+BF=EF．请直接写出你的猜想（不必说明理由）
．
25．（10分）今年某水果销售店在草莓销售旺季，试销售成本为每千克20元的草莓，规定试销期间销售单价不低于成本单价，也不高于每千克40元，经试销发现，销售量y（千克）与销售单价x（元）符合一次函数关系，如图是y与x的函数关系图象．
（1）求y与x的函数解析式（也称关系式），请直接写出x的取值范围；
（2）设该水果销售店试销草莓获得的利润为W元，求W的最大值．

26．（10分）如图，AB是⊙O的弦，AB＝4，点P在上运动（点P不与点A、B重合），且∠APB＝30°，设图中阴影部分的面积为y．
（1）⊙O的半径为 ；
（2）若点P到直线AB的距离为x，求y关于x的函数表达式，并直接写出自变量x的取值范围．

参考答案

一、选择题(每小题3分,共30分)
1、C
【解析】正面的数字是偶数的情况数是2，总的情况数是5，用概率公式进行计算即可得.
【详解】从写有数字1，2，3，4，5这5张纸牌中抽取一张其中正面数字是偶数的有2、4这2种结果，
正面的数字是偶数的概率为，
故选C．
【点睛】本题主要考查了概率公式的应用，明确概率的意义是解答的关键，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
2、A
【分析】设获得的利润为y元，由题意得关于x的二次函数，配方，写成顶点式，利用二次函数的性质可得答案．
【详解】解：设获得的利润为y元，由题意得：

∵a＝﹣1＜0
∴当x＝150时，y取得最大值2500元．
故选A．
【点睛】
本题考查了二次函数在实际问题中的应用，正确地写出函数关系式，并明确二次函数的性质，是解题的关键．
3、A
【分析】作AP⊥GH于P，BQ⊥GH于Q，由正六边形和等边三角形的性质求出GH=PG+PQ+QH=9cm，由等边三角形的面积公式即可得出答案．
【详解】如图所示：作AP⊥GH于P，BQ⊥GH于Q，如图所示：

∵△GHM是等边三角形，
∴∠MGH=∠GHM=60°，
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠BAF=∠ABC=120°，正六边形ABCDEF是轴对称图形，
∵G、H、M分别为AF、BC、DE的中点，△GHM是等边三角形，
∴AG=BH=3cm，∠MGH=∠GHM=60°，∠AGH=∠FGM=60°，
∴∠BAF+∠AGH=180°，
∴AB∥GH，
∵作AP⊥GH于P，BQ⊥GH于Q
∴PQ=AB=6cm，∠PAG=90°-60°=30°，
∴PG=AG=cm，
同理：QH=cm，
∴GH=PG+PQ+QH=9cm，
∴△GHM的面积=GH2=cm2；
故选：A．
【点睛】
此题主要考查了正六边形的性质、等边三角形的性质及三角形的面积公式等知识；熟练掌握正六边形和等边三角形的性质是解题的关键．
4、B
【解析】分析：认真读图，在以∠AOB的O为顶点的直角三角形里求tan∠AOB的值：tan∠AOB=．故选B．
5、D
【分析】利用位似图形的性质得出位似比，进而得出对应点的坐标．
【详解】解：∵矩形OA′B′C′的面积等于矩形OABC面积的，
∴两矩形面积的相似比为：1：2，
∵B的坐标是（6，4），
∴点B′的坐标是：（3，2）或（-3，-2）．
故选：D．
【点睛】
此题主要考查了位似变换的性质，得出位似图形对应点坐标性质是解题关键．
6、D
【分析】先由圆周角定理求出∠BOC的度数，再过点O作OD⊥BC于点D，由垂径定理可知CD=BC，∠DOC=∠BOC=×120°=60°，再由锐角三角函数的定义即可求出CD的长，进而可得出BC的长．
【详解】解：∵∠BAC=60°，

∴∠BOC=2∠BAC=2×60°=120°，
过点O作OD⊥BC于点D，
∵OD过圆心，
∴CD=BC，∠DOC=∠BOC=×120°=60°，
∴CD=OC×sin60°=2×=，
∴BC=2CD=2．
故选D．
【点睛】
本题考查的是圆周角定理、垂径定理及锐角三角函数的定义，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
7、C
【解析】试题解析：∵一个三角形的两个内角分别是
∴第三个内角为
又∵另一个三角形的两个内角分别是
∴这两个三角形有两个内角相等，
∴这两个三角形相似.
故选C.
点睛：两组角对应相等，两三角形相似.
8、C
【详解】∵二次函数的图象经过点（﹣1，0），∴方程一定有一个解为：x=﹣1，∵抛物线的对称轴为：直线x=1，∴二次函数的图象与x轴的另一个交点为：（3，0），∴方程的解为：，．
故选C．
考点：抛物线与x轴的交点．
9、C
【分析】由旋转的性质可得AB=AD，∠BAD=α，由等腰三角形的性质可求解．
【详解】∵将△ABC绕点A逆时针旋转，旋转角为α，
∴AB=AD，∠BAD=α，
∴∠B=
故选：C．
【点睛】
本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，熟练运用旋转的性质是本题的关键．
10、B
【分析】求滑下的距离，设出下降的高度，表示出水平高度，利用勾股定理即可求解.
【详解】当时，，
设此人下降的高度为米，过斜坡顶点向地面作垂线，
在直角三角形中，由勾股定理得：，
解得.
故选：.
【点睛】
此题主要考查了坡角问题，理解坡比的意义，使用勾股定理，设未知数，列方程求解是解题关键.

二、填空题(每小题3分,共24分)
11、②③④
【分析】根据题意证明∠CAE=∠ACE=45°,∠BCD=60°,AC=CD=BD=BC即可证明②正确, ①错误,在△AEF中利用特殊三角函数即可证明③正确,在Rt△AOC中,利用即可证明④正确.
【详解】解：由题可知,∠CAE=∠ACE=45°,∠BCD=60°,AC=CD=BD=BC,
∴∠ACD=150°,
∴∠CDA=∠CAD=15°,
∴∠FCG=∠BDG=45°,
∴, ②正确, ①错误,
∵易证∠FAE=30°,设EFx,则AE=CE=,
∴, ③正确,
设CH与AD交点为O,易证∠FCO=30°,
设OF=y,则CF=2y,由③可知,
EF=（）y,
∴AF=（）y,
在Rt△AOC中,.
故②③④正确.

【点睛】
本题考查了相似三角形的判定,特殊的直角三角形,三角函数的简单应用,难度较大,熟知特殊三角函数值是解题关键.
12、1或-3
【分析】由题意根据反比例函数中值的几何意义即函数图像上一点分别作关于x、y轴的垂线与原点所围成的矩形的面积为，据此进行分析求解即可.
【详解】解：由题意图形分成如下几部分，

∵矩形的对角线为，
∴，即，
∵根据矩形性质可知，
∴，
∵，点的坐标为，
∴，解得1或-3.
故答案为：1或-3.
【点睛】
本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．
13、（8081，1）
【分析】由勾股定理得出AB=，得出Rt△OAB内切圆的半径==1，因此P的坐标为（1，1），由题意得出P3的坐标（3+5+4+1，1），得出规律：每滚动3次一个循环，由2020÷3=673…1，即可得出结果．
【详解】解：∵点A的坐标为（0，4），点B的坐标为（3，0），
∴OA=4，OB=3，
∴AB=
∴Rt△OAB内切圆的半径==1，
∴P的坐标为（1，1）P2的坐标为（3+5+4-1，1），即（11，1）
∵将Rt△OAB沿x轴的正方向作无滑动滚动，使它的三边依次与x轴重合，第一次滚动后圆心为P1，第二次滚动后圆心为P2，…，
设P1的横坐标为x，根据切线长定理可得
5-(x-3)+3-(x-3)=4
解得：x=5
∴P1的坐标为（3+2，1）即（5，1）
∴P3（3+5+4+1，1），即（13，1），
每滚动3次一个循环，
∵2020÷3=673…1，
∴第2020次滚动后，Rt△OAB内切圆的圆心P2020的横坐标是673×（3+5+4）+5，
即P2020的横坐标是8081，
∴P2020的坐标是（8081，1）；
故答案为：（8081，1）．
【点睛】
本题考查了三角形的内切圆与内心、切线长定理、勾股定理、坐标与图形性质等知识；根据题意得出规律是解题的关键．
14、2
【分析】先连接OC，在Rt△ODC中，根据勾股定理得出OC的长，即可求得答案．
【详解】连接OC，如图，

∵CD=4，OD=3，，
在Rt△ODC中，
∴，
∵，
∴．
故答案为：．
【点睛】
此题考查了圆的认识，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
15、
【解析】构造K字型相似模型，直接利用相似三角形的判定与性质得出，而由反比例性质可知S△AOD==3，即可得出答案．
【详解】解：过点B作BC⊥x轴于点C，过点A作AD⊥x轴于点D，
∵∠BOA=90°，
∴∠BOC+∠AOD=90°，
∵∠AOD+∠OAD=90°，
∴∠BOC=∠OAD，
又∵∠BCO=∠ADO=90°，

∴△BCO∽△ODA，
∴ ，
∴，
∴S△BCO=S△AOD
∵S△AOD===3，
∴S△BCO=×3=1
∵经过点B的反比例函数图象在第二象限，
故反比例函数解析式为：y=．
故答案为．
【点睛】
此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及反比例函数数的性质，正确得出S△BOC=1是解题关键．
16、2﹣或．
【分析】当△ABD∽△DCE时，可能是DA＝DE，也可能是ED＝EA，所以要分两种情况求出CE长．
【详解】解：∵∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，
∴∠B＝∠C＝45°．
∵∠ADE＝45°，
∴∠B＝∠C＝∠ADE．
∵∠ADB＝∠C+∠DAC，∠DEC＝∠ADE+∠DAC，
∴∠ADB＝∠DEC．
∵∠ADC+∠B+∠BAD＝180，∠DEC+∠C+∠CDE＝180°，
∴∠ADC+∠B+∠BAD＝∠DEC+∠C+∠CDE，
∴∠EDC＝∠BAD，
∴△ABD∽△DCE
∵∠DAE＜∠BAC＝90°，∠ADE＝45°，
∴当△ADE是等腰三角形时，第一种可能是AD＝DE．
∴△ABD≌△DCE．
∴CD＝AB＝．
∴BD＝2﹣= CE，
当△ADE是等腰三角形时，第二种可能是ED＝EA．
∵∠ADE＝45°，
∴此时有∠DEA＝90°．
即△ADE为等腰直角三角形．
∴AE＝DE＝AC＝．
∴CE=AC＝
当AD＝EA时，点D与点B重合，不合题意，所以舍去，
因此CE的长为2﹣或．
故答案为：2﹣或．
【点睛】
此题主要考查相似三角形的应用，解题的关键是熟知全等三角形的性质及等腰直角三角形的性质.
17、10
【解析】将一般式转化为顶点式，依据自变量的变化范围求解即可.
【详解】解：，当x=2时，y有最大值10，
故答案为：10.
【点睛】
利用配方法将一般式转化为顶点式，再利用顶点式去求解函数的最大值.
18、<
【分析】根据反比例的性质，比较大小
【详解】∵
∴在每一象限内y随x的增大而增大
点，在第二象限内y随x的增大而增大
∴m的面积为：．
【点睛】
此题主要考查了待定系数法求反比例函数解析式，坐标与图形的性质，三角形的面积公式，熟练掌握待定系数法是解题关键．
20、这段河的宽约为37米．
【分析】延长CA交BE于点D，得，设，得米，米，根据列方程求出x的值即可得．
【详解】解：如图，延长CA交BE于点D，

则，
由题意知，，，
设米，
则米，米，
在中，，
，
解得，
答：这段河的宽约为37米．
21、（1）详见解析；（2）或；（3）
【分析】（1）根据在“同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等”可得；（2）分两种情况讨论，当时，解直角三角形AFO可求得AF和OF的长，再解直角三角形EFC可得；当时，解直角三角形AFO可求得AF和OF的长，根据三角函数求解；（3）由边边边定理可证，再证，根据对应边成比例求解.
【详解】解：（1）延长AO，CO分别交圆于点M，N
为直径

弧AC=弧BD
弧CD=弧AB

（2）①当时

②当时
，
，，

综上所述: 或
(3)连结,过点分别作于点，于点
弧AC=弧BD
弧CD=弧AB
∴
∴
∵
∴
∵
∴

∴
∵
∴
∵
∴
∵
∴

∵

∴
∴

∴

【点睛】
本题考查圆周角定理，解直角三角形，相似三角形的判定与性质的综合应用，根据条件选择对应知识点且具有综合能力是解答此题的关键.
22、小路的宽为2m．
【解析】如果设小路的宽度为xm，那么整个草坪的长为（2﹣2x）m，宽为（9﹣x）m，根据题意即可得出方程．
【详解】设小路的宽度为xm，那么整个草坪的长为（2﹣2x）m，宽为（9﹣x）m．根据题意得：
（2﹣2x）（9﹣x）=222
解得：x2=2，x2=2．
∵2＞9，∴x=2不符合题意，舍去，∴x=2．
答：小路的宽为2m．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用，弄清“整个草坪的长和宽”是解决本题的关键．
23、 (1) ； (2)乙投放的垃圾恰有一袋与甲投放的垃圾是同类的概率是.
【分析】（1）甲投放的垃圾可能出现的情况为4种，以此得出甲投放的垃圾恰好是类垃圾的概率；
（2）根据题意作出树状图，依据树状图找出所有符合的情况，求乙投放的垃圾恰有一袋与甲投放的垃圾是同类的概率．
【详解】(1) 甲投放的垃圾共有A、B、C、D四种可能，所以甲投放的垃圾恰好是类垃圾的概率为；
 (2)

∴ 乙投放的垃圾恰有一袋与甲投放的垃圾是同类的概率是.
【点睛】
本题考查了概率事件以及树状图，掌握概率的公式以及树状图的作法是解题的关键.
24、⑴EAF△EAF、GF；⑵DE+BF=EF；⑶当∠B与∠D互补时，可使得DE+BF=EF．
【分析】（1）根据正方形性质填空；（2）假设∠BAD的度数为，将△ADE绕点A顺时针旋转得到△ABG，此时AB与AD重合，由旋转可得：AB=AD,BG=DE, ∠1=∠2，∠ABG=∠D=90°,结合正方形性质可得DE+BF=EF. ⑶根据题意可得，当∠B与∠D互补时，可使得DE+BF=EF．
【详解】⑴EAF、△EAF、GF．
⑵DE+BF=EF，理由如下：
假设∠BAD的度数为，将△ADE绕点A顺时针旋转得到△ABG，此时AB与AD重合，由旋转可得：
AB=AD,BG=DE, ∠1=∠2，∠ABG=∠D=90°,
∴∠ABG+∠ABF=90°+90°=180°，
因此，点G，B，F在同一条直线上．
∵∠EAF=
∴∠2+∠3=∠BAD-∠EAF=
∵∠1=∠2，
∴∠1+∠3=．
即∠GAF=∠EAF
又AG=AE，AF=AF
∴△GAF≌△EAF．
∴GF=EF，
又∵GF=BG+BF=DE+BF
∴DE+BF=EF．

⑶当∠B与∠D互补时，可使得DE+BF=EF．
【点睛】
正方形性质综合运用.
25、（1）y=﹣2x+340（20≤x≤40）；（2）5200
【解析】试题分析：（1）待定系数法求解可得；（2）根据：总利润=每千克利润×销售量，列出函数关系式，配方后根据x的取值范围可得W的最大值．
试题解析：（1）设y与x的函数关系式为y=kx+b，根据题意，得：，
解得：， ∴y与x的函数解析式为y=﹣2x+340，（20≤x≤40）．
（2）由已知得：W=（x﹣20）（﹣2x+340）=﹣2x2+380x﹣6800=﹣2（x﹣95）2+11250，
∵﹣2＜0， ∴当x≤95时，W随x的增大而增大， ∵20≤x≤40，
∴当x=40时，W最大，最大值为﹣2（40﹣95）2+11250=5200元．
考点：二次函数的应用
26、（1）4；（2）y=2x＋π－4 (0＜x≤2＋4)
【分析】（1）根据圆周角定理得到△AOB是等边三角形，求出⊙O的半径；
（2）过点O作OH⊥AB，垂足为H,先求出AH=BH=AB=2，再利用勾股定理得出OH的值，进而求解.
【详解】（1）解：（1）∵∠APB=30°，
∴∠AOB=60°，又OA=OB，
∴△AOB是等边三角形，
∴⊙O的半径是4；
（2）解：过点O作OH⊥AB，垂足为H

则∠OHA＝∠OHB＝90°
∵∠APB＝30°
∴∠AOB＝2∠APB＝60°
∵OA=OB，OH⊥AB
∴AH=BH=AB=2
在Rt△AHO中，∠AHO＝90°，AO＝4，AH＝2
∴OH＝＝2
∴y＝×16 π－×4×2＋×4×x
=2x＋π－4 (0＜x≤2＋4).
【点睛】
本题考查了圆周角定理，勾股定理、掌握一条弧所对的圆周角是这条弧所对的圆心角的一半是解题的关键．