必修四二倍角的正弦、余弦、正切公式(附答案).doc

完整word)必修四二倍角的正弦、余弦、正切公式(附答案)
　二倍角的正弦、余弦、正切公式
[学习目标]　1。会从两角和的正弦、余弦、正切公式推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式。2.能熟练运用二倍角的公式进行简单的恒等变换并能灵活地将公式变形运用．

知识点一　二倍角公式的推导
(1)S2α：sin 2α＝2sin αcos α，sin cos ＝sin α;
(2）C2α：cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α;
（3)T2α：tan 2α＝.
思考1　二倍角的正弦、余弦、正切公式就是用α的三角函数表示2α的三角函数的公式．根据前面学过的两角和与差的正弦、余弦、正切公式．你能推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式吗？
答案　sin 2α＝sin（α＋α)＝sin αcos α＋cos αsin α
＝2sin αcos α;
cos 2α＝cos(α＋α）＝cos αcos α－sin αsin α
＝cos2α－sin2α；
tan 2α＝tan(α＋α）＝。
思考2　根据同角三角函数的基本关系式sin2α＋cos2α＝1,你能否只用sin α或cos α表示cos 2α？
答案　∵cos 2α＝cos2α－sin2α＝cos2α－(1－cos2α）＝2cos2α－1;
或cos 2α＝cos2α－sin2α＝(1－sin2α）－sin2α＝1－2sin2α。
知识点二　二倍角公式的常用变形
(1）＝cos α，＝sin α；
(2）（sin α±cos α）2＝1±sin 2α；
（3)sin2α＝，cos2α＝；
(4)1－cos α＝2sin2,1＋cos α＝2cos2.
二倍角的余弦公式cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α变形较多,应用灵活．其中sin2α＝，cos2α＝也称作降幂公式，＝sin2，＝cos2也称作升幂公式．这些公式在统一角或函数名时非常有用．
思考　函数f（x）＝sin xcos x＋cos2x－的最小正周期是 ．
答案　π
解析　∵f（x)＝sin 2x＋（2cos2x－1）
＝sin 2x＋cos 2x＝sin，
∴T＝＝π.

题型一　利用倍角公式化简求值
例1　求下列各式的值．
（1）coscosπ;
(2）－cos215°。
解　(1）原式＝cos·sin＝sin＝。
（2)原式＝－(2cos215°－1）＝－cos 30°
＝－.
跟踪训练1　求下列各式的值．
(1)cos 72°cos 36°;(2)＋.
解　(1）cos 72°cos 36°＝
＝＝＝.
(2）原式＝＝＝＝＝4。
题型二　三角函数式的化简或证明
例2　求证:＝tan4 A.
证明　∵左边＝
＝2＝2＝（tan2A）2
＝tan4 A＝右边，
∴＝tan4 A.

跟踪训练2　化简：。
解　方法一　原式＝
＝＝
＝tan θ。
方法二　原式＝
＝
＝＝tan θ.
题型三　利用二倍角公式给值求值
例3　已知sin(＋α)sin(－α）＝,且α∈（，π)，求sin 4α的值．
解　∵（＋α)＋（－α）＝，
∴sin(－α）＝cos(＋α)．
∵sin(＋α）sin（－α)＝，
∴2sin（＋α)cos(＋α）＝，
∴sin(＋2α）＝，∴cos 2α＝.
又∵α∈(，π),∴2α∈（π,2π）．
∴sin 2α＝－＝－，
∴sin 4α＝2sin 2αcos 2α＝－。
跟踪训练3　已知sin＝,0〈x〈，求的值．
解　原式＝
＝＝2sin。
∵sin＝cos＝，且0〈x〈，
∴＋x∈，
∴sin＝ ＝，
∴原式＝2×＝.

合理配凑、巧用倍角公式求解
例4　求cos cos cos cos cos 的值．
分析　添加“sin "及系数2，创造条件，注意重复使用倍角公式．
解　原式＝－cos cos cos cos cos
＝
＝＝＝
＝＝.

1.sin cos 的值等于（　　）
A. B. C。 D
2．sin4－cos4等于(　　)
A．－ B．－ C。 D.
3。·等于（　　）
A．tan 2α B．tan α C．1 D.
4．已知cos＝,则sin 2x＝ 。
5．求值：。

一、选择题
1．已知x∈(－,0)，cos x＝，则tan 2x等于（　　)
A。 B．－ C。 D．－
2．已知sin 2α＝，则cos2等于(　　）
A。 B. C。 D。
3．若sin（－α）＝,则cos(＋2α）的值为（　　）
A．－ B．－ C. D。
4．若＝1，则的值为（　　)
A．3 B．－3 C．－2 D．－
5．已知等腰三角形底角的正弦值为，则顶角的正弦值是(　　)
A。 B. C．－ D．－
6．如果｜cos θ｜＝，〈θ<3π，则sin 的值是(　　)
A．－ B。 C．－ D。
二、填空题
7．2sin222。5°－1＝ .
8．sin 6°sin 42°sin 66°sin 78°＝ .
9．已知tan ＝3，则＝ 。
10．函数f（x)＝cos x－sin2x－cos 2x＋的最大值是 ．
三、解答题
11．已知角α在第一象限且cos α＝，求的值．

12．已知sin22α＋sin 2αcos α－cos 2α＝1，α∈（0，），求α。

13．求值:sin2α＋sin2＋sin2。

当堂检测答案
1。答案　B
解析　原式＝sin ＝.
2．答案　B
解析　原式＝·
＝－＝－cos ＝－。
3.答案　A
解析　原式＝·＝tan 2α。
4．答案　－
解析　sin 2x＝cos＝cos
＝cos 2［(x－）]＝2cos2－1
＝2×2－1＝－.
5．解　∵sin 50°(1＋tan 10°）
＝sin 50°·
＝sin 50°·＝1，
cos 80°＝sin 10°＝sin210°，
∴
＝＝.

课时精练答案
一、选择题
1．答案　D
解析　cos x＝，x∈（－，0)，得sin x＝－，
所以tan x＝－，
所以tan 2x＝＝＝－，故选D。
2．答案　A
解析　因为cos2＝
＝＝,
所以cos2＝
＝＝,选A.
3．答案　B
解析　cos(＋2α)＝－cos(－2α）＝－cos[2(－α)］
＝－[1－2sin2(－α）]＝2sin2（－α）－1＝－.
4．答案　A
解析　∵＝1，∴tan θ＝－.
∴＝
＝
＝＝＝3。

5．答案　A
解析　设底角为θ,则θ∈,顶角为π－2θ。
∵sin θ＝，∴cos θ＝＝。
∴sin（π－2θ)＝sin 2θ
＝2sin θcos θ
＝2××＝。
6．答案　C
解析　∵<θ<3π，|cos θ｜＝，
∴cos θ<0，cos θ＝－
∵〈<π，∴sin <0。
∵sin2＝＝，
∴sin ＝－.
二、填空题
7．答案　－
解析　原式＝－cos 45°＝－.
8．答案　
解析　原式＝sin 6°cos 48°cos 24°cos 12°
＝
＝＝＝。
9．答案　3
解析　＝
＝
＝tan ＝3.
10．答案　2
解析　∵f(x)＝cos x－(1－cos2x）－（2cos2x－1)＋
＝－cos2x＋cos x＋＝－2＋2.
∴当cos x＝时,f（x）max＝2。
三、解答题
11．解　∵cos α＝且α在第一象限,∴sin α＝.
∴cos 2α＝cos2α－sin2α＝－,
sin 2α＝2sin αcos α＝，
原式＝
＝＝。
12．解　∵sin22α＋sin 2αcos α－（cos 2α＋1）＝0，
∴4sin2αcos2α＋2sin αcos2α－2cos2α＝0.
∵α∈(0，），∴2cos2α〉0。
∴2sin2α＋sin α－1＝0。
∴sin α＝（sin α＝－1舍)．∴α＝。
13．解　原式＝＋＋

＝－cos 2α－
＝－cos 2α－cos ·cos 2α
＝－cos 2α＋cos 2α＝.