正比例和反比例(含试题和答案).doc

年级六年级科目数学主讲老师崔小兵【同步教育信息】一、本周主要内容正比例和反比例二、本周学习目标1、使学生结合实际情境认识成正比例和反比例的量，能根据正、反比例的意义判断两种相关联的量是否成正比例或反比例。2、使学生初步认识正比例的图像是一条直线，能利用给出的具有正比例关系的数据在方格纸上画出相应的直线，能根据具有正比例关系的一个量的数值看图估计另一个量的数值。3、使学生在认识成正比例、反比例的量的过程中，初步体会数量之间相依互变的关系，感受有效表示数量关系及其变化规律的不同数学模型，进一步提升思维水平。4、使学生进一步体会数学与日常生活的密切联系，增强探索数学知识和规律的意识，养成积极主动地参与学习活动的习惯，提高学好数学的信心。三、考点分析1、两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化。如果这两种量中相对应的两个数的比的比值（也就是商）一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们之间的关系叫做正比例关系。如果用字母和分别表示两种相关联的量，用表示它们的比值，正比例关系可以用这样的式子来表示： = K（一定）。2、用“描点法”可以得到正比例的图像，正比例的图像是一条直线。对照图像，能根据一种量的值，估计另一种量相对应的值。3、两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化。如果这两种量中相对应的两个数的乘积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们之间的关系叫做反比例关系。如果用字母和分别表示两种相关联的量，用表示它们的积，反比例关系可以用这样的式子来表示： = K（一定）。4、两个变量的比值一定，这两个变量成正比例；两个变量的积一定，这两个变量成反比例；没有上述两种关系，这两个变量不成比例。【典型例题】例1、（正比例的意义）一列火车行驶的时间和路程如下表。这两种量有什么关系？时间/时123456路程/千米120240360480600720分析与解：（1）从上表可以看出，表中有时间和路程两种量。（2）从左往右看，时间扩大，路程也扩大；从右往左看，时间缩小，路程也缩小。所以它们是两种相关联的量。（3）路程和时间的比值始终不变， = 120， = 120， = 120这个比值就是火车的行驶速度。通过观察和计算，我们对路程和时间的关系有两点发现：第一点路程和时间是两种相关联的量，也就是时间变化，路程也随着变化；第二点路程和对应的时间的比的比值（也就是速度）是一定的，有这样的关系： = 速度（一定）。具备了这两个条件，我们就可以得到结论：行驶的路程和时间成正比例关系；行驶的路程和时间成正比例的量。点评：判断两种量是不是成正比例，分三步：一看它们是不是相关联的两种量；二是看一种量变化，另一种量是不是也随着变化；满足了前面两个条件，再看它们的比值是否一定。不要省去任何一步。如果用字母和分别表示两种相关联的量，用表示它们的比值，正比例关系可以用这样的式子来表示： = K（一定）。例2、（判断是否成正比例）练习本的单价一定，买练习本的数量和总价是不是成正比例？为什么？分析与解：根据正比例的意义，看两个变量的比值是否一定，如果两个变量的比值一定，那么这两个变量就成正比例，反之，则不成正比例。买练习本的数量和总价是两种相关联的量，它们与练习本的单价有下面的关系： = 练习本的单价（一定）所以练习本的数量和总价成正比例。例3、（正比例的图像）磁悬浮列车匀速行驶时，路程与时间的关系如下。时间/分123456 7路程/千米7142128354249（1）图中的点A表示时间为1分钟时，磁悬浮列车驶过的路程为7千米。请你试着描出其他各点。（2）连接各点，它们在一条直线上吗？（3）根据图像判断，列车运行2分半钟时，行驶的路程是多少千米？行驶30千米大约需要几分钟？ 路程/千米42 35 28 21 14 7 A0 1 2 3 4 5 6 7 时间/分分析与解：根据提供的各组数据描出图像的许多个点，再依次连成直线。路程和时间相对应的数的比值都是7，即速度一定，路程和时间成正比例，图像是一条直线。对照图像，可以根据时间的值估计出路程的值，也可以根据路程的值估计出时间的值，估计时允许有一定的出入。（1）描点、连线如图。 路程/千米42 35 28 21 14 7 A0 1 2 3 4 5 6 7 时间/分（2）在一条直线上，因为路程和时间成正比例，正比例的图像是一条直线。（3）根据图像，列车运行2分半钟时，行驶的路程是17.5千米；行驶30千米大约需要4.3分钟。例4、（辨析）圆的周长和直径成正比例，圆的面积和半径成正比例？分析与解：圆的周长和直径成正比例，而圆的面积和半径却不成正比例。可列表判断。半径/cm123456直径/cm24681012周长/cm6.2812.5618.8425.1231.437.68面积/cm3.1412.5628.2650.2478.5113.04圆的周长和直径的相对应的数的比值都是3.14，所以圆的周长和直径成正比例。而圆的面积和半径的相对应的数的比值是变化的，所以圆的面积和半径不成正比例。圆的周长和直径成正比例，圆的面积和半径却不成正比例。例5、（反比例的意义）下表是王师傅加工一批零件时，每小时加工零件个数随时间变化的情况。这两种量有什么关系？每小时加工零件的个数/个20304060 80加工的时间/时128643分析与解：（1）从上表可以看出，表中有每小时加工零件的个数和加工的时间两种量。（2）从左往右看，每小时加工零件的个数扩大，加工的时间反而缩小；从右往左看，每小时加工零件的个数缩小，加工的时间反而扩大。所以它们是两种相关联的量。（3）每小时加工零件的个数和相对应的加工的时间的积都始终不变，如20 12 = 240，30 8 = 240，40 6 = 240而这个积就是这批零件的总个数。通过观察和计算，我们发现：每小时加工零件的个数和加工的时间是两种相关联的量，每小时加工零件的个数随着加工的时间变化而变化，但无论它们怎么变化，相对应的积是一定的，有这样的关系：每小时加工零件的个数 加工的时间 = 零件的总个数（一定）。所以每小时加工零件的个数和加工的时间成反比例的量，它们之间的关系叫做反比例关系。点评：判断两种量是不是成反比例，和正比例一样，分三步：一看它们是不是相关联的两种量；二是看一种量变化，另一种量是不是也随着变化；满足了前面两个条件，再看它们的乘积是否一定，进行判断。不要省去任何一步。如果用字母和分别表示两种相关联的量，用表示它们的比值，正比例关系可以用这样的式子来表示： = K（一定）。例6、（判断是否成反比例）总产量一定，每公顷的产量和公顷数是不是成反比例？为什么？分析与解：根据反比例的意义，看两个变量的乘积是否一定，如果两个变量的积一定，那么这两个变量就成反比例，反之，则不成反比例。每公顷的产量和公顷数是两种相关联的量，它们与总产量有下面的关系：每公顷的产量 公顷数 = 总产量（一定）所以每公顷的产量和公顷数成反比例。例7、（辨析）和一定，一个加数和另一个加数成反比例。分析与解：判断两个变量是否成反比例，关键是看两个变量的乘积是否一定。很明显，和一定，两个加数的积是变化的，所以它们不成反比例。和一定，一个加数和另一个加数不成反比例。因为它们的积不一定。点评：有些相关联的量，虽然也是一种量变化，另一种量也随着变化，但它们不是积一定，也不是比值一定，它们就不成比例。像这样的还有：人的跳高高度和身高；减数一定，被减数和差等。例8、（综合题1）（1）长方形的面积一定，长和宽成反比例吗？为什么？（2）长方形的周长一定，长和宽成反比例吗？为什么？分析与解：判断时可以用列表的方式列举数据，也可以根据计算的公式来推导。（1）因为长方形的长 宽 = 长方形的面积（一定），所以长和宽成反比例。（2）长方形的周长 = （长+宽） 2 ，长方形的周长一定，长+宽的和一定，但不是积一定，所以长和宽不成反比例。例9、（综合题2）分别说明大米的总千克数、每天吃的千克数和天数这三种量中，每两种量的比例关系。（1）大米的总千克数一定，每天吃的千克数和天数；（2）每天吃的千克数一定，大米的总千克数和天数；（3）天数一定，大米的总千克数和每天吃的千克数。分析与解：在大米的总千克数、每天吃的千克数和天数这三种量中，当某一种量一定时，另外两种量可能成正比例关系，也可能成反比例关系。可以根据数量关系式来判断。（1）因为每天吃的千克数 天数 = 大米的总千克数（一定），所以大米的总千克数一定时，每天吃的千克数和天数成反比例。（2）因为 = 每天吃的千克数（一定），所以每天吃的千克数一定时，大米的总千克数和天数成正比例。（3）因为 = 天数（一定），所以天数一定时，大米的总千克数和每天吃的千克数成正比例。【模拟试题】1、仔细观察每张表格，思考表格中两种量之间有关系吗？有什么关系？为什么？表格1数量/本13681020总价/元41224324080表格2单价/元1.523456总价/元6812162024表格3 用60元钱购买笔记本，笔记本的单价和可以购买的数量如下表：单价/元1.523456数量/本4030201512102、用一批纸装订练习本，每本25页，可以装订400本。如果要装订500本，每本有X页。题中（ ）量一定，关系式：（ ）（ ）（ ）（一定），（ ）和（ ）成（ ）比例。3、一间会客室地面用边长0.3米的正方形地砖铺，需要640块。如果改用边长0.4米的正方形地砖，需要Y块。题中（ ）量一定，关系式：（ ）（ ）（ ）（一定），（ ）和（ ）成（ ）比例。4、在圆柱的侧面积、底面周长、高这三种量中 当底面周长一定时，（ ）与（ ）成（ ）比例； 当高一定时，（ ）与（ ）成（ ）比例； 当侧面积一定时，（ ）与（ ）成（ ）比例。5、在被除数、除数、商这三种量中， 当（ ）一定时，（ ）与（ ）成正比例； 当（ ）一定时，（ ）与（ ）成反比例；6、当 a b c（ a、b、c 为三种量，且均不为0）。 ( )一定，（ ）与（ ）成（ ）比例；（ ）一定，（ ）与（ ）成（ ）比例；（ ）一定，（ ）与（ ）成（ ）比例；7、判断。（1）、工作总量一定，工作效率和工作时间成反比例。（ ）（2）、图上距离和实际距离成正比例。（ ）（3）、X和Y表示两种变化的相关联的量，同时5X7Y0，X和Y不成比例。（ ）（4）、分数的大小一定，它的分子和分母成正比例。 （ ）（5）、在一定的距离内，车轮周长和它转动的圈数成反比例。 （ ）（6）、两种相关联的量，不成正比例，就成反比例。 （ ）（7）订阅小学数学评价手册的份数与所需钱数成正比例。 ( )（8）在400米赛跑中，跑步的速度和所用时间成反比例。 ( )（9）工作总量一定，已完成的量和未完成的量成反比例。 ( )（10）正方体的棱长和体积成正比例。 ( )（11）被除数一定，除数和商成反比例。 ( )（12）圆的周长和它的直径成正比例。 ( )8、判断下面每题中的两种量是不是成比例，如果成比例，成什么比例。（1）、装配一批电视机，每天装配台数和所需的天数（ ）。（2）、正方形的边长和周长（ ）。（3）、水池的容积一定，水管每小时注水量和所用时间（ ）。（4）、房间面积一定，每块砖的面积和铺砖的块数（ ）。（5）、在一定时间里，加工每个零件所用的时间和加工零件的个数（ ）。（6）、在一定时间里，每小时加工零件的个数和加工零件的个数（ ）。9、思考：明明三岁时体重12千克，十一岁时体重44千克。于是小张就说：“明明的体重和身高成正比例。”你认为小张的说法对吗？为什么？10、某造纸厂每小时造纸1.5吨，2小时、3小时各造纸多少吨？（1）把下表填写完整。造纸时间/时1234造纸吨数/吨1.5（2）根据表中的数据，在下图中描出造纸时间和造纸吨数对应的点，再把它们连起来。 吨数/吨6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 时间/时（3）造纸吨数与造纸时间成正比例吗？为什么？（4）根据图像判断， 5小时造纸多少吨？【试题答案】1、仔细观察每张表格，思考表格中两种量之间有关系吗？有什么关系？为什么？表格1数量/本13681020总价/元41224324080 = 4， = 4， = 4 因为 = 单价（一定），所以单价一定时，总价和数量成正比例。表格2单价/元1.523456总价/元6812162024 = 4， = 4， = 4 因为 = 数量（一定），所以数量一定时，总价和单价成正比例。表格3 用60元钱购买笔记本，笔记本的单价和可以购买的数量如下表：单价/元1.523456数量/本4030201512101.5 40 = 60 ，2 30 = 60 ，4 15 = 60 因为单价 数量 = 总价（一定），所以总价一定时，单价和数量成反比例。2、用一批纸装订练习本，每本25页，可以装订400本。如果要装订500本，每本有X页。题中（ 纸的总页数 ）量一定，关系式：（ 每本页数 ） （ 装订本数 ）（ 纸的总页数 ）（一定），（ 每本页数 ）和（ 装订本数 ）成（ 反 ）比例。3、一间会客室地面用边长0.3米的正方形地砖铺，需要640块。如果改用边长0.4米的正方形地砖，需要Y块。题中（ 会客室地面面积 ）量一定，关系式：（ 每块砖的面积 ）（ 砖的块数 ）（ 会客室地面面积 ）（一定），（ 每块砖的面积 ）和（ 砖的块数 ）成（ 反 ）比例。4、在圆柱的侧面积、底面周长、高这三种量中 当底面周长一定时，（ 侧面积 ）与（ 高 ）成（正）比例； 当高一定时，（ 侧面积 ）与（ 底面周长 ）成（正）比例； 当侧面积一定时，（ 底面周长 ）与（ 高 ）成（ 反 ）比例。5、在被除数、除数、商这三种量中， 当（ 除数 ）一定时，（ 被除数 ）与（ 商 ）成正比例； 当（ 被除数 ）一定时，（ 除数 ）与（ 商 ）成反比例；6、当 a b c（ a、b、c 为三种量，且均不为0）。 ( c )一定，（ a ）与（ b ）成（ 反 ）比例；（ a ）一定，（ c ）与（ b ）成（ 正 ）比例；（ b ）一定，（ c ）与（ a ）成（ 正 ）比例；7、判断。（1）、工作总量一定，工作效率和工作时间成反比例。 （ ）（2）、图上距离和实际距离成正比例。 （ ）（3）、X和Y表示两种变化的相关联的量，同时5X7Y0，X和Y不成比例。（ ）（4）、分数的大小一定，它的分子和分母成正比例。 （ ）（5）、在一定的距离内，车轮周长和它转动的圈数成反比例。 （ ）（6）、两种相关联的量，不成正比例，就成反比例。 （ ）（7）订阅小学数学评价手册的份数与所需钱数成正比例。 ( )（8）在400米赛跑中，跑步的速度和所用时间成反比例。 ( )（9）工作总量一定，已完成的量和未完成的量成反比例。 ( )（10）正方体的棱长和体积成正比例。 ( )（11）被除数一定，除数和商成反比例。 ( )（12）圆的周长和它的直径成正比例。 ( )8、判断下面每题中的两种量是不是成比例，如果成比例，成什么比例。（1）、装配一批电视机，每天装配台数和所需的天数（ 反比例 ）。（2）、正方形的边长和周长（ 正比例 ）。（3）、水池的容积一定，水管每小时注水量和所用时间（ 反比例 ）。（4）、房间面积一定，每块砖的面积和铺砖的块数（ 反比例 ）。（5）、在一定时间里，加工每个零件所用的时间和加工零件的个数（ 反比例 ）。（6）、在一定时间里，每小时加工零件的个数和加工零件的个数（ 正比例 ）。9、思考：明明三岁时体重12千克，十一岁时体重44千克。于是小张就说：“明明的体重和身高成正比例。”你认为小张的说法对吗？为什么？答：小张的说法是错误的，体重和身高不是两种相关联的量，体重和身高不成比例。10、某造纸厂每小时造纸1.5吨，2小时、3小时各造纸多少吨？（1）把下表填写完整。造纸时间/时1234造纸吨数/吨1.534.56（2）根据表中的数据，在下图中描出造纸时间和造纸吨数对应的点，再把它们连起来。 吨数/吨6 5 4 3 2 1 01 2 3 4 5 6 7 时间/时（3）造纸吨数与造纸时间成正比例吗？为什么？因为 = 每小时造纸吨数（一定），所以每小时造纸吨数一定时，造纸吨数与造纸时间成正比例。（4）根据图像判断，5小时造纸多少吨？根据图像判断，5小时造纸7.5吨