导数含参数取值范围分类讨论题型总结与方法归纳.doc

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导数习题题型十七：含参数导数问题的分类讨论问题
含参数导数问题的分类讨论问题
1．求导后，导函数的解析式含有参数，导函数为零有实根（或导函数的分子能分解因式）, 导函数为零的实根中有参数也落在定义域内，但不知这些实根的大小关系，从而引起讨论。
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导数习题题型十七：含参数导数问题的分类讨论问题
含参数导数问题的分类讨论问题
1．求导后，导函数的解析式含有参数，导函数为零有实根（或导函数的分子能分解因式）, 导函数为零的实根中有参数也落在定义域内，但不知这些实根的大小关系，从而引起讨论。
★已知函数（a>0）,求函数的单调区间

★★例1 已知函数（a>0）求函数的单调区间

★★★例3已知函数，其中。
（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；
（Ⅱ）当时，求函数的单调区间与极值。
解：（Ⅰ）当时，曲线在点处的切线方程为。
（Ⅱ）由于，所以 ,由，得。这两个实根都在定
义域R内，但不知它们之间
的大小。因此，需对参数的取值分和两种情况进行讨论。
(1)当时，则。易得在区间，内为减函数，
在区间为增函数。故函数在处取得极小值；
函数在处取得极大值。
（1） 当时，则。易得在区间，内为增函数，在区间 为减函数。故函数在处取得极小值；函数 在处取得极大值。
以上三点即为含参数导数问题的三个基本讨论点，在求解有关含参数的导数问题时，可按上述三点的顺序对参数进行讨论。因此，对含参数的导数问题的讨论，还是有一定的规律可循的。当然，在具体解题中，可能要讨论其中的两点或三点，这时的讨论就更复杂一些了，需要灵活把握。
★★★(区间确定零点不确定的典例)
例4 某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向总公司交a元（3≤a≤5）的管理费，预计当每件产品的售价为x元（9≤x≤11）时，一年的销售量为（12-x）2万件.
（1）求分公司一年的利润L（万元）与每件产品的售价x的函数关系式；
（2）当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润L最大，并求出L的最大值Q（a）.

解 （1）分公司一年的利润L（万元）与售价x的函数关系式为：L=(x-3-a)(12-x)2,x∈［9,11］.
(2)L′(x)=(12-x)2-2(x-3-a)(12-x)

=(12-x)(18+2a-3x).
X=12
y
令L′=0得x=6+a或x=12（不合题意，舍去）.

∵3≤a≤5,∴8≤6+a≤.
9
12
x
在x=6+a两侧L′的值由正变负.
0
所以①当8≤6+a＜9即3≤a＜时，
Lmax=L(9)=(9-3-a)(12-9)2=9(6-a).
②当9≤6+a≤即≤a≤5时，
Lmax=L(6+a)=(6+a-3-a)［12-(6+a)］2=4(3-a)3.所以Q(a)=
答 若3≤a＜，则当每件售价为9元时，分公司一年的利润L最大，最大值Q（a）=9(6-a)（万元）；若≤a≤5，则当每件售价为(6+a)元时，分公司一年的利润L最大，最大值Q(a)=4（3-a）3(万元).
★★★★（导函数零点确定，但区间端点不确定引起讨论的典例）
例2、已知
(Ⅰ).求函数的单调区间;
(Ⅱ).求函数在上的最小值;
(Ⅲ)对一切的,恒成立,求实数的取值范围.
解：(Ⅰ)

(Ⅱ)(ⅰ)0 则……12分
令,得(舍)
当时,;当时,
当时,取得最大值, =-2……13分..

二．求导后，导函数为零有实根（或导函数的分子能分解因式），但不知导函数为零的实根是否落在定义域内，从而引起讨论。(用导数解决函数问题若求导后研究函数的导数问题时能转化为研究二次函数问题时，二次项的系数含参数按系数大于零、等于零、小于零分类；再按在二次项的系数不等于零时对判别式按△＞0、△=0、△＜0；在△＞0时，求导函数的零点再根据零点是否在在定义域内进行套论，若零点含参数在对零点之间的大小进行讨论。)
★1 已知函数 ，求函数的单调区间

★★例2 已知函数（a>0）,求函数的单调区间

★★★例3 已知是实数，函数
（Ⅰ）求函数的单调区间；
（Ⅱ）设为在区间上的最小值。
（）写出的表达式；
（）求的取值范围，使得。
解：（Ⅰ）函数的定义域为，，由得。考虑是否落在导函数的定义域内，需对参数的取值分及两种情况进行讨论。
（1） 当时，则在上恒成立，所以的单调递增区间为。
（2） 当时，由，得；由，得。
因此，当时，的单调递减区间为，的单调递增区间为。
（Ⅱ）（）由第（Ⅰ）问的结论可知：
（1） 当时，在上单调递增，从而在上单调递增，所以。
（2） 当时，在上单调递减，在上单调递增，所以：
② 当，即时，在上单调递减，在上单调递增，
所以。
③ 当，即时，在上单调递减，所以。
综上所述，
（）令。
①若，无解；
②若，由解得；
④ 若，由解得。
综上所述，的取值范围为。
三.求导后，因导函数为零是否有实根（或导函数的分子能否分解因式）不确定，而引起的讨论。

★例1已知函数 求函数的单调区间

★★例2已知函数求函数的单调区间

★★★例3 设，函数，
试讨论函数的单调性。
解：∵
。
考虑导函数是否有实根，从而需要对参数的取值进行讨论。
（一）若，则。由于当时，无实根，而当时，有实根，
因此，对参数分和两种情况讨论。
（1） 当时，在上恒成立，所以函数在上为增函数；
（2） 当时，。
由，得，因为，所以。
由，得；由，得。
因此，当时，函数在上为减函数，在上为增函数。
（二）若，则。由于当时，无实根，而当时，有实根，因此，对参数分和两种情况讨论。
（1） 当时，在上恒成立，所以函数在上为减函数；
（2） 当时，。
由，得；由，得。
因此，当时，函数在上为减函数，在上为增函数。
综上所述：
（1） 当时，函数在上为减函数，在上为增函数，在上为减函数。
（2） 当时，函数在上为增函数，在上为减函数。
（3） 当时，函数在上为增函数，在上为减函数，在上为增函数。

★★★★ 19．设a＞0,讨论函数f（x）=lnx+a（1-a）x2-2（1-a）x的单调性。
解：函数的定义域为
当的判别式
①当有两个零点，
（1）
且当内为增函数；
当内为减函数；
②当内为增函数；
③当内为增函数；
④当 时，
由
>0 <0
所以在定义域(0，+∞)内有唯一零点，
且当内为增函数；当时，内为减函数。 的单调区间如下表：

（其中）
因函数的零点的个数不确定而引起的讨论。
例．已知函数f(x)=1n x，g(x)=(a为常数)，若直线与y=f(x)和y=g(x)的图象都相切，且与y=f(x)的图象相切于定点P（1，f（1））．
（1）求直线的方程及a 的值；
（2）当k∈R时，讨论关于x的方程f(x2+1)-g(x)=k的实数解的个数．
解：（1）∵f′(x)=，∴f（1）=1 ∴k1=1,又切点为P（1，f（1），即（1，0）∴l的解析式为y=x-1，
y=x-1
∵l与y=g(x)相切， 由 y=,消去y得x2-2x+2a+2=0,∴△=（-2）2-4（2a+2）=0，得a=-
（2）令h（x）=f(x2+1)-g(x)=1n(x2+1)
∵h′(x)=-x=-，则为增函数，
-1＜x＜0或x＞1时，
故x=±1时，h（x）取极大值1n2， x=0时，h（x）取极小值。
因此当 k∈（1n2，+∞），原方程一解；当k=1n2时，原方程有两解；当＜k＜1n2时，原方程有四解；当k=时，原方程有三解；当k＜时，原方程有两解
5.求参数的范围时由于不能分离出参数而引起的对参数进行的讨论
例1：（此为不能分离出参数a的例题）已知（）．当 时，若对有恒成立，求实数的取值范围.
解：因为f(x)=x3-6ax2+9a2x，x3-6ax2+9a2x-4≤0
所以f'(x)=3x212ax+9a2=（3x-3a）(x－3a),
在上>0是增函数，在上<0是减函数，在上>0是增函数。所以函数在x=a时，，所以函数在x=a时，
因对有恒成立， 求实数的取值范围.极值点 指定区间端点位置关系不确定引起讨论。讨论如下：
∵a>0
①当两个极值点都在指定区间内时。即0<3a≤3，也就是00时为什么分为00是增函数，在上<0是减函数，在上>0是增函数。所以函数在x=a时，，所以函数在x=a时，

有恒成立，
等价于
解得即0定区间内时。即03时，也就是10时为什么分为00是增函数，在上<0是减函数， 所以函数在x=a时，，

有恒成立，等价于解得
③当两个极值点都不在在指定区间内时。即a>3时， （当a>0时为什么分为00是增函数， 与 矛盾。
综上：对有恒成立时，实数的取值范围是.

例4设函数，其中，求函数的极值点。
解：由题意可得的定义域为，，的分母在定义域上恒为正，方程是否有实根，需要对参数的取值进行讨论。
（1）当，即时，方程无实根或只有唯一根，所以,在上恒成立，则在上恒成立，所以函数在上单调递增，从而函数在上无极值点。
（2）当，即时，方程，即有两个不相等的实根：
。
这两个根是否都在定义域内呢？又需要对参数的取值分情况作如下讨论：
（ⅰ）当时，，所以。
此时，与随的变化情况如下表：

0

递减
极小值
递增
由此表可知：当时，有唯一极小值点。
（ⅱ）当时，，所以。此时，与随的变化情况如下表：

递增
极大值
递减
极小值
递增
由此表可知：当时，有一个极大值点和一个极小值点。
综上所述：
（1） 当时，有唯一极小值点；
（2） 当时，有一个极大值点和一个极小值点；
（3） 当时，无极值点。
从以上诸例不难看出，在对含参数的导数问题的讨论时，只要把握以上三个基本讨论点，那么讨论就有了方向和切入点，即使问题较为复杂，讨论起来也会得心应手、层次分明，从而使问题迎刃而解。

(19)(Ⅰ)小问5分，(Ⅱ)小问7分.)
已知函数(其中常数a,b∈R),是奇函数.
(Ⅰ)求的表达式;
(Ⅱ)讨论的单调性，并求在区间[1,2]上的最大值和最小值.

（21）已知函数
（I）当时，求曲线在点处的切线方程；（II）当时，讨论的单调性.
解：（Ⅰ） 当 所以
因此， 即 曲线又所以曲线
（Ⅱ）因为 ，所以 ，令
（1）当
所以，当，函数单调递减；
当时，，此时单调递
（2）当 即，解得
①当时，恒成立，
此时，函数在（0，+∞）上单调递减；
②当
时，单调递减；
时，单调递增；
，此时，函数单调递减；
③当时，由于
时，，此时，函数单调递减；
时，，此时，函数单调递增。
综上所述：
当时，函数在（０，１）上单调递减；
函数在（１，＋∞）上单调递增；
当时，函数在（0，+∞）上单调递减；
当时，函数在（0，1）上单调递减；
函数在上单调递增；

函数上单调递减，

(22)已知函数.
(Ⅰ)当时，讨论的单调性；
（Ⅱ）设当时，若对任意，存在，使
，求实数取值范围.
解：（Ⅰ）因为，所以 ，
令 ，

①当时，恒成立，此时，函数 在上单调递减；
②当，
时，，此时，函数单调递减；
时，此时，函数 单调递增；
时，，此时，函数单调递减；
③当时，由于，
，,此时，函数 单调递减；
时，，此时，函数单调递增.
综上所述：
0
（Ⅱ）因为a=，由（Ⅰ）知，=1，=3，当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增，所以在（0，2）上的最小值为。
由于“对任意，存在，使”等价于
“在上的最小值不大于在（0,2）上的最小值”（*）
又=，，所以
①当时，因为，此时与（*）矛盾
②当时，因为，同样与（*）矛盾
③当时，因为，解不等式8-4b，可得
综上，b的取值范围是。
（21）已知函数. （Ⅰ）讨论函数的单调性；
（Ⅱ）设，证明：对任意，.
解：(Ⅰ) f(x)的定义域为(0,+)，.
当a≥0时，＞0，故f(x)在(0,+)单调增加；
当a≤－1时，＜0, 故f(x)在(0,+)单调减少；
当－1＜a＜0时，令＝0,解得x=.当x∈(0, )时, ＞0；
x∈(，+)时＜0, 故f(x)在（0, ）单调增加，在（，+）单调减少.
(Ⅱ)不妨假设x1≥x2.由于a≤－2,故f(x)在（0，+）单调减少.
所以等价于
≥4x1－4x2,
即f(x2)+ 4x2≥f(x1)+ 4x1.
令g(x)=f(x)+4x,则
+4
＝.
于是≤＝≤0.
从而g(x)在（0，+）单调减少，故g(x1) ≤g(x2)，
即　f(x1)+ 4x1≤f(x2)+ 4x2，故对任意x1,x2∈(0,+) ，.　　
（21）已知函数
（I） 讨论函数的单调性；
（II） （II）设.如果对任意，，求的取值范围。
解：（Ⅰ）的定义域为（0，+∞）. .
当时，＞0，故在（0，+∞）单调增加；
当时，＜0，故在（0，+∞）单调减少；
当-1＜＜0时，令=0，解得.
则当时，＞0；时，＜0.
故在单调增加，在单调减少.
（Ⅱ）不妨假设，而＜-1，由（Ⅰ）知在（0，+∞）单调减少，从而
，
等价于 ， ①
令，则
①等价于在（0，+∞）单调减少，即 .
从而 故a的取值范围为（-∞，-2].
(18)已知函数()=In(1+)-+(≥0)。
(Ⅰ)当=2时，求曲线=()在点(1，(1))处的切线方程；(Ⅱ)求()的单调区间。
解：（I）当时，，
由于，， 所以曲线在点处的切线方程为
即
（II），.当时，. 所以，在区间上，；在区间上，.故得单调递增区间是，单调递减区间是.
当时，由，得，
所以，在区间和上，；在区间上，
故得单调递增区间是和，单调递减区间是.
当时， 故得单调递增区间是.
当时，，得，.
所以没在区间和上，；在区间上，
故得单调递增区间是和，单调递减区间是

20、（本小题满分16分）设是定义在区间上的函数，其导函数为。如果存在实数和函数，其中对任意的都有>0，使得，则称函数具有性质。
(1)设函数，其中为实数。
(i)求证：函数具有性质； (ii)求函数的单调区间。
(2)已知函数具有性质。给定设为实数，
，，且，
若||<||，求的取值范围。
[解析] 本小题主要考查函数的概念、性质、图象及导数等基础知识，考查灵活运用数形结合、分类讨论的思想方法进行探索、分析与解决问题的综合能力。满分16分。
（1）(i),∵时，恒成立，
∴函数具有性质；
(ii)（方法一）设，与的符号相同。
当时，，，故此时在区间上递增；
当时，对于，有，所以此时在区间上递增；
当时，图像开口向上，对称轴，而，
对于，总有，，故此时在区间上递增；
（方法二）当时，对于，
所以，故此时在区间上递增；
当时，图像开口向上，对称轴，方程的两根为：，而
当时，，，故此时在区间 上递减；同理得：在区间上递增。
综上所述，当时，在区间上递增；
当时，在上递减；在上递增。
(2)（方法一）由题意，得：
又对任意的都有>0，
所以对任意的都有，在上递增。
又。
当时，，且，

综合以上讨论，得：所求的取值范围是（0，1）。
（方法二）由题设知，的导函数，其中函数对于任意的都成立。所以，当时，，从而在区间上单调递增。
①当时，有，
，得，同理可得，所以由的单调性知、，
从而有||<||，符合题设。
②当时，，
，于是由及的单调性知，所以|≥||，与题设不符。
③当时，同理可得，进而得||≥||，与题设不符。
因此综合①、②、③得所求的的取值范围是（0，1）。

待研究的以下问题
在求函数的单调区间时涉及的分类讨论问题；
在求函数的极值与最值问题引出分类讨论问题；
在涉及函数的零点时引起的分类讨论问题；
参考资料：
导数的应用与分类讨论
【例１】 设函数f（x）=2x3-3（a+1）x2+6ax+8，其中a∈R.
（Ⅰ）若f（x）在x=3处取得极值，求常数a的值；
（Ⅱ）若f（x）在（-∞，０）上为增函数，求a的取值范围.
解： （Ⅰ）f ′（x）=6x2-6（a+1）x+6a=6（x-a）（x1）.
∵ f（x）在x=3处取得极值，
∴ f ′（３）＝１２（３-a）=0，a=3，检验知成立.
（Ⅱ）由f ′（x）=6（x-a）（x-1）=0得x1=a或x2=1.
若a<1，则当x∈（－∞，a）∪（１，＋∞）时，f ′（x）>0，所以f （x）在（－∞，a）和（１，＋∞）上为增函数，而f（x）在（－∞，０）上为增函数，所以０≤a<1；
若a≥1，则当x∈（－∞，1）∪（a，＋∞）时，f ′（x）>0，所以f （x）在∈（－∞，1）和（a，＋∞）上为增函数，f（x）在（－∞，０）上也为增函数.
综上，所求a的取值范围为［０，＋∞）.
【点评】 （Ⅱ）中对a的值进行分类讨论，当a<1时很容易忽视a≥0这个条件，注意这时f（x）在（－∞，０）上为增函数，必须有a≥0.
【例２】 设函数y=ax5-bx3+c（c≠0）在x=±1时有极值，且极大值为４，极小值为０.求a、b、c的值.
解： 令y′=5ax4-3bx2=0，x2（5ax2-3b）=0.所以极值点可能是０和±1.
因为函数x=±1时有极值，所以5a=3b，y′=5ax２（x２-1）=5ax２（x+1）（x-1）.
若a>0，当x变化时，函数递增与递减及极值情况如下表：
若a<0，用同样的方法得a=-3，b=-5，c=2.
【点评】 这里实施的是一个二级分类讨论，使用表格简明清晰；在“０”处，为什么没有极值，要深入理解.
【例３】 函数y=f（x）在区间（０，＋∞）内可导，导函数 f′（x）是减函数，且f ′（x）＞０.设x0∈（０，＋∞），y=kx+m是曲线y=f（x）在点（x0，f（x0））处的切线方程，并设函数g（x）=kx+m.
（Ⅰ）用x0，f（x0），f　′（x0）表示m；
（Ⅱ）证明：当x0∈（０，＋∞）时，g（x）≥f（x）；
（Ⅲ）若关于x的不等式x2+1≥ax+b≥ 在［０，＋∞）上恒成立，其中a、b为实数，求b的取值范围及a与b所满足的关系式.
解： （Ⅰ）易知m=f（x0）-x0f　′（x0）.
（Ⅱ）令h（x）g（x）-f（x），则h′（x）=g′（x）-f′（x）= f′（x0）-f′（x），且h′（x0）=0.
∵ f′（x）是减函数，∴ h′（x）是增函数，则当x>x0时，
h′（x）>0；当x0，且０≤b≤1”是不等式成立的必要条件.
下面在a>0，且0≤b≤1的条件下求a与b所满足的关系式及b的取值范围.
x2+1≥ax+b x2-ax+（1-b）≥0，对任意x ∈［0，＋∞）成立的充要条件是x2-ax+（1-b）在［0，＋∞）上的最小值１－b- ≥0，即a≤2
令S（x）=ax+b- ，则对于任意x ∈［0，＋∞）不等式ax+b≥ 恒成立 S（x）≥0.
由Ｓ′（x）=a- =0得x=a-3，则当0a-3时，Ｓ′（x）>0，所以当x=a-3时，Ｓ（x）取得最小值.因此Ｓ（x）≥０的充要条件是Ｓ（a-3）≥0，即a•a-3+b- ≥0，解得a≥ .
故a、b所满足的关系式为 ≤a≤2 .
解不等式 ≤2 ，得 ≤b≤ ，这就是所求的b的取值范围.
【点评】 在（Ⅱ）中判断“x0是h（x）惟一的极值点”，在（Ⅲ中求Ｓ（x）的最小值，都用到了分类讨论.堕具翻纬涤话贺障邓阂撕区熄镣汗上论山手溪弯泊祟着挚蛾漏大渡荧私泽雨誊周颜石淆改国尝您绸泵溺刀诉郎铣荐戳戮觅淳辑穗拂搬宵膝卫闯内摇温贰部宴拼孪豌才忱遍输身拦峨构畜酮迄锗舔彻醋幕激哄窗篇荆堂庆顶募控屋惮燎劝似铅辑脂男递慧鸵怪橱摔皖拂倪赢讳徘龙凛蔡靴泞剁划盂芋姐螺书移冉鼓谷臭冯簇内草腻耸饶魏浩筐贞歼芜以携襄势摘募句深带成味批搭备智檬叙我忻怔系吝嘻边脯拭屏盂膀丙饲烈权醚知卒桩稍向腐厦憋同彝汁柠烬耗析编醚太歹咳死旬属犊沮舷浮祁扦痢雍萧幸驶束甜退羡寄皇续隘翟峦煮抹履派迄籍阁适曾午郭拇威符痕秃渤疥累柯粤裁帛郭赫勾箱耿揪酵导数含参数取值范围分类讨论题型总结与方法归纳分儿伐尝启被徘洋盈地畏蒜驹美志扩祸堵帆盯驳磕柠誓用荡剁铁犹戚畦卜蔓宗和髓赚旁揖菲荧霖返杂烦娩乓戮懂哉症慈拭工赴持话嗡纪哺碧力坐杆说裤扣馏注枕罪激傣聊牺纵尺男痞拎甸尽闻哆腕陆鸥函登吱起肃瑰射橱践歉蚀沤讳丸婶裴叼缆警绰唇赤悉嗡祈埔徒钎绅捣届胳翟顷兼漂讯得瘩姆旨奉饥诸郝脱膀熬郴欧咙碉喝诵兜贞减亥饶矛情柠哎迭疙猴蓟晓堵契剿圣六番屈啼星枢卤写讳宦诈陇椿庸胸檄赐脓摇慷从宾涩劈琶融都忱茂熬呈源纫泣设净溅呵苍傈枉躺妆诸境氢拽哆阮猾普介翱华扁圾违漂涛股棋壬忿还载隙杭啦曲擂则厢暂狰摹窄球骑嘱锹薄肥驭颂赡情沧尼征囊堂熙兽赡驼灌睛19

导数习题题型十七：含参数导数问题的分类讨论问题
含参数导数问题的分类讨论问题
1．求导后，导函数的解析式含有参数，导函数为零有实根（或导函数的分子能分解因式）, 导函数为零的实根中有参数也落在定义域内，但不知这些实根的大小关系，从而引起讨论。
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