一元二次方程根的分布情况归纳.docx

一元二次方程根的分布情况归纳(完整版)
一元二次方程根的分布情况归纳(完整版)

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二次方程根的分布与二次函数在闭区间上的最值归纳
1、一元二次方程根的分布情况
设方程的不等两根为且，相应的二次函数为，方程的根即为二次函数图象与轴的交点，它们的分布情况见下面各表(每种情况对应的均是充要条件)
表一：（两根与0的大小比较即根的正负情况）
分布情况
两个负根即两根都小于0

两个正根即两根都大于0

一正根一负根即一个根小于0，一个大于0
大致图象（）

得出的结论

大致图象()

得出的结论

综合结论（不讨论）

表二：（两根与的大小比较）

分布情况
两根都小于即

两根都大于即

一个根小于，一个大于即

大致图象（)

得出的结论

大致图象（）

得出的结论

综合结论（不讨论）

表三:(根在区间上的分布）
分布情况
两根都在内
两根有且仅有一根在内
（图象有两种情况,只画了一种）
一根在内,另一根在内，
大致图象（）

得出的结论

或
大致图象(）

得出的结论

或
综合结论（不讨论）
-————-

根在区间上的分布还有一种情况：两根分别在区间外，即在区间两侧，（图形分别如下）需满足的条件是

（1）时，； （2）时，
对以上的根的分布表中一些特殊情况作说明:
（1)两根有且仅有一根在内有以下特殊情况：
若或,则此时不成立，但对于这种情况是知道了方程有一根为或，可以求出另外一根，然后可以根据另一根在区间内，从而可以求出参数的值。如方程在区间上有一根,因为，所以，另一根为，由得即为所求;
方程有且只有一根,且这个根在区间内,即,此时由可以求出参数的值，然后再将参数的值带入方程，求出相应的根，检验根是否在给定的区间内，如若不在,舍去相应的参数。如方程有且一根在区间内,求的取值范围。分析:①由即得出；②由即得出或当时，根，即满足题意；当时，根，故不满足题意;综上分析，得出或

根的分布练习题
例1、已知二次方程有一正根和一负根，求实数的取值范围。
解：由 即 ，从而得即为所求的范围。
例2、已知方程有两个不等正实根，求实数的取值范围.
解：由

或即为所求的范围.

例3、已知二次函数与轴有两个交点，一个大于1,一个小于1，求实数的取值范围。
解:由 即 即为所求的范围。

例4、已知二次方程只有一个正根且这个根小于1，求实数的取值范围。
解:由题意有方程在区间上只有一个正根,则 即为所求范围。
(注:本题对于可能出现的特殊情况方程有且只有一根且这个根在内，由计算检验,均不复合题意，计算量稍大）
例1、当关于的方程的根满足下列条件时，求实数的取值范围：
(1)方程的两个根一个大于2,另一个小于2；
（2）方程的一个根在区间上，另一根在区间上；
（3)方程的两根都小于0；
变题：方程的两根都小于-1．
（4)方程的两根都在区间上；
(5）方程在区间（-1，1）上有且只有一解；
例2、已知方程在区间[-1，1]上有解，求实数m的取值范围．
例3、已知函数f (x)的图像与x轴的交点至少有一个在原点右侧，求实数m的取值范围．
检测反馈：
1．若二次函数在区间上是增函数，则的取值范围是___________．
2．若、是关于x的方程的两个实根, 则的最小值为 ．
3．若关于的方程只有一根在内,则_ _．
4．对于关于x的方程x2+(2m-1）x+4 -2m=0 求满足下列条件的m的取值范围：
(1）有两个负根 （2） 两个根都小于-1
(3）一个根大于2，一个根小于2 （4） 两个根都在（0 ，2）内
（5）一个根在(-2,0）内，另一个根在（1，3）内 （6）一个根小于2，一个根大于4
（7） 在(0， 2）内 有根
(8） 一个正根,一个负根且正根绝对值较大
5．已知函数的图像与x轴的交点至少有一个在原点的右侧，求实数m的取值范围。

2、二次函数在闭区间上的最大、最小值问题探讨
设，则二次函数在闭区间上的最大、最小值有如下的分布情况：

即

图象

最大、最小值

对于开口向下的情况，讨论类似。其实无论开口向上还是向下，都只有以下两种结论:
（1）若，则，；
（2）若，则，
另外，当二次函数开口向上时，自变量的取值离开轴越远，则对应的函数值越大;反过来,当二次函数开口向下时，自变量的取值离开轴越远，则对应的函数值越小。
二次函数在闭区间上的最值练习
二次函数在闭区间上求最值，讨论的情况无非就是从三个方面入手：开口方向、对称轴以及闭区间，以下三个例题各代表一种情况。
例1、函数在上有最大值5和最小值2，求的值。
解:对称轴,故函数在区间上单调。
（1）当时，函数在区间上是增函数,故 ；
（2）当时,函数在区间上是减函数，故
例2、求函数的最小值.
解:对称轴
（1）当时，（2）当时,;（3）当时，
改:1．本题若修改为求函数的最大值,过程又如何?
解:（1)当时,;
(2）当时,。
2．本题若修改为求函数的最值,讨论又该怎样进行？
解:（1）当时，,;
（2)当时， ，；
（3)当时，，；
（4)当时， ,。
例3、求函数在区间上的最小值。
解：对称轴
（1)当即时,；(2）当即时，;
（3）当即时，
例4、讨论函数的最小值。
解：，这个函数是一个分段函数,由于上下两段上的对称轴分别为直线,，当，，时原函数的图象分别如下（1），(2），（3）

因此，（1）当时，； （2）当时，；
（3）当时，