初三数学难题集锦.doc

初中数学难题集锦 组题：韩松
1．（本小题满分10分）
如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点D，已知∠D＝30°.
⑴求∠A的度数；
⑵若点F在⊙O上，CF⊥AB，垂足为E，CF＝，求图中阴影部分的面积.

2. 先阅读下面材料，然后解答问题：（本小题满分10分）
【材料一】：如图⑴，直线l上有、两个点，若在直线l上要确定一点P，且使点P到点、的距离之和最小，很明显点P的位置可取在和之间的任何地方，此时距离之和为到的距离.
如图⑵，直线l上依次有、、三个点，若在直线l上要确定一点P，且使点P到点、、的距离之和最小，不难判断，点P的位置应取在点处，此时距离之和为到的距离. (想一想，这是为什么？)
不难知道，如果直线l上依次有、、、四个点，同样要确定一点P，使它到各点的距离之和最小，则点P应取在点和之间的任何地方；如果直线l上依次有、、、、五个点，则相应点P的位置应取在点的位置.
图⑴
图⑵

【材料二】：数轴上任意两点a、b之间的距离可以表示为.
【问题一】：若已知直线l上依次有点、、、……、共25个点，要确定一点P，使它到已知各点的距离之和最小，则点P的位置应取在 ；
若已知直线l上依次有点、、……、共50个点，要确定一点P，使它到已知各点的距离之和最小，则点P的位置应取在 .
【问题二】：现要求的最小值，
根据问题一的解答思路，可知当x值为 时，上式有最小值为 .

3. （本小题满分10分）
如图①，一条笔直的公路上有A、B、C 三地，B、C 两地相距 150 千米，甲、乙两辆汽车分别从B、C 两地同时出发，沿公路匀速相向而行，分别驶往C、B 两地．甲、乙两车到A 地的距离、（千米）与行驶时间 x（时）的关系如图②所示．

根据图象进行以下探究：
⑴请在图①中标出 A地的位置，并作简要的文字说明；
⑵求图②中M点的坐标，并解释该点的实际意义．
⑶在图②中补全甲车的函数图象，求甲车到 A地的距离与行驶时间x的函数关系式．
⑷A地设有指挥中心，指挥中心及两车都配有对讲机，两部对讲机在15千米之内（含15千米）时能够互相通话，求两车可以同时与指挥中心用对讲机通话的时间．

4．（本小题满分10分）
已知抛物线(a≠0)的顶点在直线上，且过点A(4，0)．
⑴求这个抛物线的解析式；
⑵设抛物线的顶点为P，是否在抛物线上存在一点B，使四边形OPAB为梯形？若存在，求出点B的坐标；若不存在，请说明理由.
⑶设点C(1，－3)，请在抛物线的对称轴确定一点D，使的值最大，请直接写出点D的坐标.

5．（本小题满分12分）
定义：只有一组对角是直角的四边形叫做损矩形，连结它的两个非直角顶点的线段叫做这个损矩形的直径.
⑴如图1，损矩形ABCD，∠ABC=∠ADC=90°，则该损矩形的直径是线段 .
图1
⑵在线段AC上确定一点P，使损矩形的四个顶点都在以P为圆心的同一圆上(即损矩形的四个顶点在同一个圆上)，请作出这个圆，并说明你的理由. 友情提醒：“尺规作图”不要求写作法，但要保留作图痕迹．

图2
⑶如图2，，△ABC中，∠ABC＝90°，以AC为一边向形外作菱形ACEF，D为菱形ACEF的中心，连结BD，当BD平分∠ABC时，判断四边形ACEF为何种特殊的四边形？请说明理由. 若此时AB＝3，BD＝，求BC的长.

6．（本小题满分12分）
已知在梯形ABCD中，AB∥DC，且AB=40cm，AD=BC=20cm，∠ABC=120°．点P从点B出发以1cm/s的速度沿着射线BC运动，点Q从点C出发以2cm/s的速度沿着线段CD运动，当点Q运动到点D时，所有运动都停止. 设运动时间为t秒．
⑴如图1，当点P在线段BC上且△CPQ∽△DAQ时，求t的值；
⑵在运动过程中，设△APQ与梯形ABCD重叠部分的面积为S，求S关于t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；

参考答案
1．（本小题满分10分）
⑴解：连结OC，∵CD切⊙O于点C，∴∠OCD＝90°. ………………………………(1分)
∵∠D＝30°，∴∠COD＝60°. …………………(2分)
∵OA＝OC，∴∠A＝∠ACO＝30°. ………………(4分)
⑵∵CF⊥直径AB， CF＝，∴CE＝，…………(5分)
∴在Rt△OCE中，OE＝2，OC＝4. ……………………(6分)
∴，.…………………………(8分)
∴…………………………………………………(10分)
2. 先阅读下面材料，然后解答问题：（本小题满分10分）
问题一：点处 …………(3分) 点和之间的任何地方 ………(6分)
问题二：48 …………(8分) 1225 ………(10分)

3. （本小题满分10分）
⑴A 地位置如图所示．使点A满足AB ∶AC＝2∶3 . ……………………………… (2分)

⑵乙车的速度150÷2＝75千米/时,
，∴M(1.2，0) ………………(3分)
所以点 M表示乙车 1.2 小时到达 A地．…(4分)
⑶甲车的函数图象如图所示． …………(5分)
当时，；…………(6分)
当时，. …………(7分)
⑷由题意得，得； ，得.
∴ …………………………………………………………………………(9分)
∴两车同时与指挥中心通话的时间为小时. …………………………(10分)
4．（本小题满分10分）
⑴∵抛物线过点(0，0)、(4，0)，
∴抛物线的对称轴为直线. ………………………………………………………(1分)
∵顶点在直线上， ∴顶点坐标为(2，－2). …………………………(3分)
故设抛物线解析式为，
∵过点(0，0)，∴，∴抛物线解析式为………………………(5分)
⑵当AP∥OB时，
如图，∠BOA＝∠OAP＝45°，过点B作BH⊥x轴于H，则OH＝BH.
设点B(x，x)，故，解得x＝6或x＝0(舍去)…………………………(6分)
∴B(6，6). …………………………………………………………………………(7分)
当OP∥AB时，同理设点B(4－x，x)
故，解得x＝6或x＝0(舍去)，∴B(－2，6) .……(8分)
H
⑶D(2，－6).………………………………………………………………………………(10分)

5．（本小题满分12分）
解：⑴AC；…………………………………………………………………………………(1分)
⑵作图如图；…………………………………………………………………………(3分)
∵点P为AC中点，∴PA＝PC＝AC.
∵∠ABC=∠ADC=90°，∴BP＝DP＝AC，∴PA＝PB＝PC＝PD，…………(4分)
∴点A、B、C、D在以P为圆心AC为半径的同一个圆上. ………………(5分)
⑶解：∵菱形ACEF，∴∠ADC＝90°AE＝2AD，EC＝2CD，∴四边形ABCD为损矩形，
∴由⑵可知，点A、B、C、D在同一个圆上. ……………………………………(7分)
∵ AM平分∠BAD，∴∠ABD＝∠CBD＝45°，∴，∴AD＝CD，
∴四边形ACEF为正方形. ………………………………………………………(9分)
∵点BD平分∠ABC，BD＝，∴点D到AB、BC的距离h为4，
∴＝6. ，
，，
∵，∴＋＝6＋2BC，
∴BC＝5或BC＝－3(舍去)，∴BC＝5. ……………………………………………(12分)

6．（本小题满分12分）
解：⑴如图1，分别过点作AM⊥CD于M，BN⊥CD于N，∵BC＝20，∠C＝180°－∠ABC＝60°，
∴CN＝10＝DM，BN＝，∴CD＝60.
∵△CPQ∽△DAQ，∴，
∴，∴，(不合题意)， ∴t＝10.…………………(5分)

图1 图2
⑵当点P在线段BC上时，如图2，过P作FG⊥CD于G，交AB延长线于F.
∴PF＝，PG＝，
∴，，
＝500－
－－，＝. ()………(8分)
当点P在线段BC的延长线上时，如图3，过P作PH⊥AB于H，则
设AP与CD交于点E，
∵，∴,
∴QE＝CQ－CE＝.
∴y＝
=. () ………………………………………(12分)