初二级竞赛专题：因式分解.doc

初二级竞赛专题：因式分解
一、重要公式
1、a2－b2=(a＋b)(a－b)；an－1=(a－1)( an-1＋an-2＋an-3 ＋…＋a2＋a＋1)
2、a2±2ab＋b2=(a±b)2；
3、x2＋(a＋b)x＋ab=(x＋a)(x＋b);
4、a3＋b3=(a＋b)(a2－ab＋b2); a3－b3=（a－b）(a2＋ab＋b2);
二、因式分解的一般方法及考虑顺序
1、基本方法：提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法；
2、常用方法与技巧：换元法、主元法、拆项法、添项法、配方法、待定系数法。
3、考虑顺序：（1）提公因式法；（2）十字相乘法；（3）公式法；（4）分组分解法；（5）其它常用方法与技巧（简单概括为：提十公分）。
三、例题
1、添项拆项
[例1]因式分解：（1）x4＋x2＋1；　（2）a3＋b3＋c3－3abc
（1）分析：x4＋1若添上2x2可配成完全平方公式
解：x4＋x2＋1＝x4＋2x2＋1－x2=(x2＋1)2－x2=(x2＋1＋x)(x2＋1－x)
（2）分析：a3＋b3要配成（a＋b）3应添上两项3a2b＋3ab2
解：a3＋b3＋c3－3abc＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3＋c3－3abc－3a2b－3ab2
　　 =(a＋b)3＋c3－3ab(a＋b＋c)
=(a＋b＋c)[(a＋b)2－(a＋b)c＋c2]－3ab(a＋b＋c)
=(a＋b＋c)(a2＋b2＋c2－ab－ac－bc)
[例2]因式分解：（1）x3－11x＋20； （2）a5＋a＋1
（1）分析：把中项－11x拆成－16x+5x 分别与x5,20组成两组，则有公因式可提。（注意这里16是完全平方数）
解：x3－11x＋20＝x3－16x＋5x＋20＝x(x2－16)＋5(x＋4)
=x(x＋4)(x－4)＋5(x＋4) =(x＋4)(x2－4x＋5)
（2）分析：添上－a2 和a2两项，分别与a5和a＋1组成两组，正好可以用立方差公式
解：a5＋a＋1＝a5－a2＋a2＋a＋1=a2(a3－1)＋a2＋a＋1
=a2(a－1)( a2＋a＋1)＋a2＋a＋1=(a2＋a＋1)(a3－a2＋1)
2、待定系数法
[例3]因式分解2x2＋3xy－9y2＋14x－3y＋20
解：∵2x2＋3xy－9y2=(2x－3y)(x＋3y),故用待定系数法，
可设2x2＋3xy－9y2＋14x－3y＋20=(2x－3y＋a)(x＋3y＋b)，
其中a,b是待定的系数，比较右边和左边的x和y两项的系数，得
　 　解得
∴2x2＋3xy－9y2＋14x－3y＋20=(2x－3y＋4)(x＋3y＋5)
[另解]原式=2x2＋(3y＋14)x－(9y2＋3y－20)，这是关于x的二次三项式
　 常数项可分解为－(3y－4)(3y＋5),用待定系数法，
可设2x2＋(3y＋14)x－(9y2＋3y－20)=[mx－(3y－4)][nx＋(3y＋5)]
比较左、右两边的x2和x项的系数，得m=2, n=1
∴2x2＋3xy－9y2＋14x－3y＋20=(2x－3y＋4)(x＋3y＋5)
四、填空题
1、两个小朋友的年龄分别为a和b，已知a2＋ab=99，则a= ，b= 。
2、计算：(x＋6)2(x－6)2= 。
3、若x＋y=4，x2＋y2=10，则(x－y)2= 。
4、分解因式：a2－b2＋4a＋2b＋3= 。
5、分解因式：4x3－31x＋15= 。
6、分解因式：x4＋1987x2＋1986x＋1987= 。
五、选择题
7、x2y－y2z＋z2x－x2z＋y2x＋z2y－2xyz因式分解后的结果是（ ）。
（A）(y－z)(x＋y)(x－z) （B）(y－z)(x－y)(x＋z)
（C）(y＋z)(x－y)(x＋z) （D）(y＋z)(x＋y)(x－z)
8、已知724－1可被40至50之间的两个整数整除，则这两个整数是（ ）。
（A）41，48 （B）45，47 （C）43，48 （D）41，47
9、n为某一自然数，代入代数式n3－n中计算其值时，四个同学算出如下四个结果，其中正确的结果只能是（ ）。
（A）388944 （B）388945 （C）388954 （D）388948
六、将下列各式分解因式
10、x4＋x2y2＋y4 　 11、x4＋4

12、x4－23x2y2＋y4 13、x3＋4x2－9

14、x3－41x＋30 15、x3＋5x2－18

16、x3＋3x2y＋3xy2＋2y3 17、x3－3x2＋3x＋7

18、x3－9ax2＋27a2x－26a3 　 19、x3＋6x2＋11x＋6

20、a3＋b3＋3(a2＋b2)＋3(a＋b)＋2

21、3x3－7x＋10　 22、x3－11x2＋31x－21

七、解答题
23、已知x－y＋4是x2－y2＋mx＋3y＋4的一个因式，求m的值。

24、求方程xy－x－y＋1=3的整数解。
解：原方程可化为(x－1)(y－1)=3
∵x，y整数,
∴原方程可化为四个方程组:
x－1=1 x－1=3 x－1=－1 x－1=－3
y－1=3 y－1=1 y－1=－3 y－1=－1
解得：（x,y）的解为(2,4)、(4,2)、(0,－2)、(－2,0)