相似三角形习题集.ppt

相似三角形的判定方法有哪些？相似三角形的判定方法有哪些？1.定义法定义法:对应角相等对应角相等,对应边成比例的三角形是相似三角对应边成比例的三角形是相似三角形形.2.预备定理预备定理:平行于三角形一边的直线截三角形的两边平行于三角形一边的直线截三角形的两边(或两边或两边的延长线的延长线),所得的三角形与原三角形相似所得的三角形与原三角形相似.3.判定定理判定定理1:两角对应相等的两个三角形相似两角对应相等的两个三角形相似.4.判定定理判定定理2:两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似.5.判定定理判定定理3:三边对应成比例的两个三角形相似三边对应成比例的两个三角形相似.6.定理定理:如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例角三角形的斜边和一条直角边对应成比例,那么这两个直角三那么这两个直角三角形相似角形相似.基本图形基本图形ABCDEABCDABCDEEDCBAAEDBC3(2x+y)=3x-y 6x+3y=3x-y3x=-4y 已知D、E分别是ABC的AB,AC边上的点，且(1)AD=3BD,ABC的面积为48,求ADE的面积解:DEBCADEEFC AD=3BD AB=4AD4.如图，平行四边形ABCD中,如果 ，那么 ECDAFB23BEEC=已知：已知：ABC中，中，DEBC，EFAB，证明证明:DEBC DEBC又又 EFABEFAB2.如图，已知D是ABC中AB边上一点，DEBC且交AC于点E,EFAB且交BC于F，且SADE=1,SEFC=4，则四边形BFED的面积等于 _。解:DEBCAED=ECF,ADE=ABC又EFAB，EFC=ABCEFC=ADE，ADEEFCDEBCADEABCSABC=9S四边形BFED=SABC-SADE-SEFC=9-1-4=4M M是是ABCABC内的一个点，过内的一个点，过M M分别作直线平行于分别作直线平行于ABCABC的的三条边，成形成的三个小三角形的面积分别为三条边，成形成的三个小三角形的面积分别为4 4、9 9、4949，则，则ABCABC的面积为的面积为_。ACMB123如图，D是ABC中AB边上的中点,DEBC,CD、BE交于点G，SFDE=a，则BCEDAFDEBC，ADEEFCSFDE=aSFCB=4aS四边形BDEC=9aFDEFCBSBDF=SCEF=2aSADE=3a3aa2a2a4a 6、如图、如图 ,E为为DC边上的边上的一点，一点，连接连接AE并并延长交延长交BC的延长线于的延长线于F，在这个在这个图形中，有几对相似三角形？若图形中，有几对相似三角形？若CF:CB1:2,SCEF4，求，求SAED 和和SABF。ABCDAOBECFD图中有图中有6对相似三角形对相似三角形2.如右图所示，在ABC中，D是AC的中点，E是BD的中点，AE交BC于F，则 _。GD是AC的中点解：取FC中点的G连接DGDGAF又E是BD的中点变式探究变式探究1.如下图，在ABC中，D为BC的中点，E为AD上一点，延长BE交AC于点F，若 ,则 的值为 _。H解：解：如右图，作DHBF交AC于点HD是BC的中点，BC=2BDCF=2FHAH=AF+FHAC=AF+CF2、ABC中，中，AM=BM，BN=CN，则，则AO：ON=。E2:1已知：如图，已知：如图，ABC中，中，AECE,BCCD求证：求证：ED3EF。ABCDEF解：解：G AEF ACG BCG BDF如右图，AECE，BCCD作CHDF交AB于点H已知：如图，ABC中，延长BC到D，使CD=BC,取AB的中点F，连接FD交AC于点E,（2）若ABa,FB=EC,求AC的长ABCDEF解：解：H CDH BDFCDBC作CH AB 交DF于点H CEH AEF AFBF，CH AB已知：如图，ABC中，延长BC到D，使CD=BC,取AB的中点F，连接FD交AC于点E,（2）若ABa,FB=EC,求AC的长ABCDEF解：解：HABa F是是AB的中点，的中点，由（1）AC=3ECBC于E.（1）求 的值；（2）如果BE=2CE，那么CF所在直线与边AB有怎样的位置关系？证明你的结论；（3）E能否为BC中点？如果能，求出相应的 的值;如果不能，证明你的结论.ACEFBD7.如图6.5-13，ABC中，AC=BC，F是AB边上一点，（m,n0）取CF的中点D，连结AD并延长交7.（1）过点C作CG AB交AE的延长线于G ，ACEFBDG D 是CF的中点 CD=DF GDC ADF ABE GEC CG=AF ABE GEC，BE=2CE AF=BFACEFBDGAB=BC EFBDCF所在直线垂直平分边AB（3）E不能为BC中点 BECE故E不能为BC中点;在平行四边形ABCD中,点E是BC边上的中点，点F是线段AE上一点，BF的延长交射线CD于点G，若 ，求 的值（2）在原题的条件下，若 ，则 的值是_,（用含m的代数式表示）试写出解答过程（1）尝试探究。过点E作EH AB交BG于点H 则AB和EH的关系是_,CG和EH的关系是_ 的值是_BCDAEHFGAB=3EHCG=2EHH解：EH ABBCDAEFG ABF HEF在平行四边形ABCD中 AB CD AB=CD EH AB BEH BCG E是BC的中点H解：过点E作EH AB交BG于点HBCDAEFG ABF HEF在平行四边形ABCD中 AB CD AB=CD EH AB BEH BCG E是BC的中点梯形ABCD中,CD AB，点E是BC延长线上一点，AE和BD交于点F，若 ，求 的值(用含a、b的代数式表示）BCDAEFH解：过点E作EH CD交BD的延长线于点H ABF EHF在平行四边形ABCD中 AB CD EH AB BCD BEH例例1 如图，已知如图，已知EM AM，交，交AC于于D，CE=DE，求证：求证：ECDMAECDMAFG D、E分别为ABC 的AB、AC上的点，DEBC，DCB=A，把每两个相似的三角形称为一组，那么图中共有相似三角形_组。DCA=DCE,A=EDC ADC DEC解:DEBC ADE=B,EDC=DCB=A DEBC ADE ABC A=DCB,ADE=B ADE CBD ADE ABC ADE CBD ABC CBD如图，在ABC中，AB9，AC6，点E在AB上，且AE3，点F在AC上，连结EF，若AEF与ABC相似，则AF_.AFEFBC 解：当AEF ABC时AF2 当AEF ACB时AF4.51.1.如图，如图，ABCABC中，中，AB=12AB=12，AC=15AC=15，D D为为ABAB上的一点，且上的一点，且AD=ABAD=AB，在，在ACAC上取一点上取一点E E，使，使 以以A A、D D、E E为顶点的三角形和为顶点的三角形和 ABCABC相似，则相似，则AE AE 等于等于 .ABCDEE1010或或6.46.4例例9 9、如图，如图，ABCABC中，中，ABAB1212，BCBC1818，ACAC1515，D D为为ACAC上一点，上一点，CDCD AC AC，在在ABAB上找一点上找一点E E，得到，得到ADEADE，若图中两个三角形相似，求若图中两个三角形相似，求AEAE的长；的长；A AB BC CD D2.在在ABC中，中，ABAC，过，过AB上一点上一点D作作直线直线DE交交另一边于另一边于E，使所得三角形与原三角形相似，使所得三角形与原三角形相似，画出满足条件的图形画出满足条件的图形.EDABCDABCDABCDABCEEE如图，在平面直角坐标系中，A（8，0），B（0，6），C是线段AB的中点，在x轴上是否存在一点P，使得以P、A、C为顶点的三角形与AOB相似？若存在，求出点P的坐标;若不存在，请说明理由A AC CO OB BP PAPC AOBOA8 OB6AP4解：A（8，0），B（0，6）在RtAOB中 C是线段AB的中点 A AA AOPOAAP4P（4,0)ACP AOBA AC CO OB BP PP P以P、A、C为顶点的三角形与AOB相似3、在、在ABC中，中，AB=8cm,BC=16cm,点点P从点从点A开始沿开始沿AB边向边向B点以点以2cm/秒的速度移动，点秒的速度移动，点Q从点从点B开始沿开始沿BC向点向点C以以4cm/秒的速度移动，如果秒的速度移动，如果P、Q分别从分别从A、B同时同时出发，经几秒钟出发，经几秒钟BPQ与与BAC相似？相似？分析：分析：由于由于PBQ与与ABC有公共角有公共角B；所以若所以若PBQ与与ABC相似，则有两种可能一种情况为相似，则有两种可能一种情况为,即即PQAC;另一种情况为另一种情况为B BC CA AQ QP P8162cm/秒秒4cm/秒秒练习练习1.如图如图ABC中，中，AB=10cm,BC=20cm,点点P从从A开始沿开始沿AB边边向点向点B以以2cm/s的速移动的速移动,点点Q从点从点B开始沿开始沿BC边向点边向点C以以4cm/s的速度移动，如果的速度移动，如果P,Q分别从分别从A,B同时出发，经过几秒同时出发，经过几秒PBQ与与ABC相似相似.BPQCA 例例3.如图：在如图：在ABC中，中，C=90,BC=8,AC=6.点点P从点从点B出发，沿着出发，沿着BC向点向点C以以2cm/秒的秒的速度移动速度移动;点点Q从点从点C出发，沿着出发，沿着CA向点向点A以以1cm/秒的秒的速度移动。速度移动。如果如果P、Q分别从分别从B、C同时出发，问：同时出发，问：经过多少秒时经过多少秒时CPQ CBA;AQPCBAQPCB 经过多少秒时以经过多少秒时以C、P、Q为顶点的三角形恰好与为顶点的三角形恰好与ABC相似？相似？2、已知在、已知在ABC中，中，C=90o,AC=8cm,BC=6cm,点点P从点从点A出发，沿出发，沿AC以以3厘米厘米/秒的速度向点秒的速度向点C移移动，点动，点Q从点从点B出发，沿出发，沿BA以以4厘米厘米/秒的速度向点秒的速度向点A移动。移动。如果如果P、Q分别从分别从A、B 同时出发，移动时间为同时出发，移动时间为t秒秒 (0t2.5)。当当t为何值时，以为何值时，以Q、A、P为顶点的为顶点的三角形与三角形与 ABC相似？相似？ACBPQQACBPACBPQ15、如图，在矩形如图，在矩形ABCD中，中，AB=12cm，BC=6cm，点，点P沿沿AB的边从点的边从点A开始向开始向B以以2厘米厘米/秒的秒的速度移动；点速度移动；点Q沿沿DA边从点边从点D开始向开始向A以以1厘米厘米/秒的速秒的速度移动。如果度移动。如果P、Q同时出发，用同时出发，用t（秒）表示移动的时（秒）表示移动的时间（间（0t6），那么），那么（1）当）当t为何值时，为何值时，QAP为等腰直角三角形？为等腰直角三角形？PQ2t6-t（2）求四边形）求四边形QAPC的面积，并提出一个与计算结果的面积，并提出一个与计算结果有关的结论；有关的结论；（3）当）当t为何值时，以点为何值时，以点Q、A、P为顶点的三角形与为顶点的三角形与ABC相似？相似？QP(2)S四边形四边形QAPC=72-SDQC-SPBC=36例例2、如图，已知：、如图，已知：ABDB于点于点B，CDDB于于点点D，AB=6，CD=4，BD=14.问：在问：在DB上是否存在上是否存在P点，使以点，使以C、D、P为顶点为顶点的三角形与以的三角形与以P、B、A为顶点的三角形相似？如为顶点的三角形相似？如果存在，计算出点果存在，计算出点P的位置；如果不存在，请说的位置；如果不存在，请说明理由。明理由。4614ADCB解解（1）假设存在这样的点）假设存在这样的点P，使，使ABPCDP 设设PD=x，则，则PB=14x，6：4=（14x）:x则有则有AB:CD=PB:PDx=5.6P6x14x4ADCBP（2）假设存在这样的点）假设存在这样的点P,使使ABPPDC,则则则有则有AB:PD=PB:CD设设PD=x，则，则PB=14x，6：x=（14x）:4x=2或或x=12x=2或或x=12或或x=5.6时，以时，以C、D、P为顶点的三为顶点的三角形与以角形与以P、B、A为顶点的三角形相似为顶点的三角形相似46x14xDBCAp9在直角坐标系中，点在直角坐标系中，点A（2，0），），B（0，4），），C（0，3）。过点作直线交）。过点作直线交x轴于点，使以、轴于点，使以、为顶点的三角形与为顶点的三角形与AOB相似，这样的直线最多可相似，这样的直线最多可以作（以作（）条）条A.2B.3C.4D.6ABCDDODDABCCBDABCCBD（两角对应相等，两三角形相似）两角对应相等，两三角形相似）.ABCD同理同理ABCACD.证明：证明：在在ABC中，中，ACB=90，CDAB于于D,CDB=ACB=90，B=B，ABCCBDACD.在RtABC中，CD是斜边上的高，试证明：RtABCRtACDRtCBDRtABCRtACDRtCBD.ACD CBD ABC找出图中所有的相似三角形。找出图中所有的相似三角形。“双垂直双垂直”三角形三角形BDAC有三对相似三角形：有三对相似三角形：ACD CBDCBD ABCACD ABC常用的成比例的线段：常用的成比例的线段：常用的相等的角：常用的相等的角：A=DCB；B=ACDBDAC1.D为ABC中AB边上一点，BCD=A.求证：BC2=BDAB BC2=BDABABCD证明:A=BCDB=B ABC ACD解：解：A=A ABD=C ABD ACB AB:AC=AD:AB AB2=AD AC AD=2 AC=8 AB=4练习练习1.已知已知:如图如图,ABD=C AD=2 AC=8，求，求AB ABCED CBE=ABC-ABE=36 证明证明 DE垂直平分垂直平分AB AE=BE ABE=A=36 AB=ACABC=CABCED AE2=AC EC由（由（1）知）知 CBE=A=36 C=72 BEC=ABE+A=72 BEC=C BC=BE BC=AEBCEACBC=CAE=BE BC2=AC ECABCED AE2=AC EC设设AC=1 AE=x 则则CE=1-x x2=1 (1-x)x2+x-1=04.过平行四边形ABCD的一个顶点A作一直线分别交对角线BD、边 BC、边DC的延长线于E、F、G.求证：EA2=EF EG.证明：在平行四边形ABCDADBF ABBCAED FEBGED AEB即：EA2=EF EG.ABBC G=BAE EDG=ABE 1、（1）如图，在ABC中，高BD、CE相交于点O，则图中哪些三角形是相似三角形？ABCEDOABD OBE OCD ACE5.ABC为锐角三角形，BD、CE为高.求证：ADE ABC（用两种方法证明）.ADE ABC 证明：BDAC，CEAB又 A=A ABD ACE A=AADBAEC=901O23ABCDE5.ABC为锐角三角形，BD、CE为高.求证：ADE ABC（用两种方法证明）.ADE ABC BOE=COD BOE COD CDO=BEO=90证明：BDAC，CEAB又 BOC=EOD BOC EOD 1=2 1+BCD=902+3=90 BCD=3又 A=A1O23ABCDE4.4.ABCABC中，中，ADBCADBC于点于点DD，DEACDEAC于于E E，DFABDFAB于点于点F F 求证求证:AEF=AEF=B BABCDEF.如图如图,已知已知:tABCtABC中中,ACB=90,ACB=90,CEAB,CEAB,垂垂足为足为E,E,在在CECE的延长线上取一点的延长线上取一点 P,P,连接连接AP,AP,BGAP,BGAP,垂足为垂足为G.G.试说明试说明:CE:CE2 2=PE.DE.=PE.DE.DGECABP3.如图，ABCD，AO=OB，DF=FB，DF交AC于E，求证：ED2=EO EC.即 ED2=EO EC证明：ABCD C=A AO=OB，DF=FB A=B，B=FDB C=FDB又 DEO=DEC EDCEOD6.6.已知在ABC中，BAC=90，ADBC，E是AC的中点，ED交AB的延长线于F.求证:AB:AC=DF:AF.分析：因ABDCAD，所以 ，要证 即证 ，需证BDFDAF.证明：BAC=90 ADBC ABC+C=90 ABC+BAD=90 BAD=C ADC=90 E是AC的中点，ED=EC EDC=C EDC=BDF BDF=C=BAD又 F=F BDFDAF.BAC=90，ADBC ABDCAD 2.ABC中，BAC是直角，过斜边中点M而垂直于斜边BC的直线交CA的延长线于E，交AB于D，连AM.求证：MAD MEA AM2=MD MEB=EMAD=E又 DMA=AMEMAD MEA MAD MEA 即AM2=MDME证明：BAC是直角 EMBCM为斜边BC中点AM=BM=BC B=MAD B+BDM=90 E+ADE=90BDM=ADE BAC=DAE BMD 90例例1 如图，已知：如图，已知：DE BCBC，DCDC和和BEBE相交于相交于P P点，连结点，连结APAP交交DEDE于于M M，延长延长APAP交交BCBC于于N N点，求证：点，求证：DM=MEDM=ME，BN=NCBN=NC。AMPDEBNC同理可证：BN=NCADMABNDE BCBC证明：证明：3 3、如图，已知在、如图，已知在ABCABC中，中，ADAD是是BCBC边上的中边上的中线线,EFBC,EFBC,分别交分别交ABAB、ACAC、ADAD于于E E、F F、O,O,试试说明说明:OE=OF.:OE=OF.ABCODEFADFC（图6.5-14）EMN BADFCEM NBABCDMNE F（图6.5-15）ADFCEMBN8.如图6.5-14，梯形ABCD中，ADBC，E、F分别在AB、CD上，且EFBC，EF分别交BD、AC于M、N.（1）求证ME=NF（2）当EF向上平移到图6.5-15各个位置，其它条件不变时（1）的结论是否还成立，证明你的判断.（1）证明：ADEFBC （2）仍成立 证明同（1）.ADFC（图6.5-14）EMN BBEM BADCFN CDAEM=NF例例3、已知、已知,如图如图,CE是直角是直角ABC的斜边的斜边AB上的高上的高,在在EC的延长线上任取一点的延长线上任取一点P,连接连接AP,作作BGAP,垂垂足为足为G,交交CE于于D,试说明试说明:CE2=EDEP.利用等积利用等积式代换式代换PGABECD 如图如图,在直角梯形在直角梯形ABCD中中,ABCD,ABBC,对角对角线线ACBD,垂足为垂足为E,AD=BD,过点过点E作作EFAB交交AD于于F,试说明试说明（1）AF=BE （2）AF2=AEEC利用等线利用等线段代换段代换DCABFE1.已知：如图，已知：如图，ABC中，中，P是是AB边上的一点，连边上的一点，连结结CP满足什么条件时满足什么条件时 ACPABC 解解:A=A，当当1=ACB（或或2=B）时时，ACPABC A=A，当当AC:APAB:AC时，时，ACPABC A=A，当当4ACB180时，时，ACPABC答：当答：当1=ACB 或或2=B 或或AC:APAB:AC或或4ACB180时时,ACPABC.APBC1241、条件探索型、条件探索型三、探索题三、探索题已知：如图，已知：如图，ABDE、BCEF、DFAC求证：求证：DEFABCABCODFE证明：ABDE ODEOAB DEFABC已知：如图，已知：如图，ABDE、BCEF、DFAC求证：求证：DEFABCABCODFE证明：ABDE ODEOAB DEFABC ODE=OAB EDF=BAC ODE ODF=OAB OACODF=OAC已知：如图，已知：如图，ABDE、BCEF、求证：求证：ODFOACABCODFE证明：ABDE DEFABC DOF=AOC已知：如图，已知：如图，ABDE、BCEF。求证：求证：ODFOACBCAOEDF证明：ABDE ODEOAB DOE=AOBEOF=BOC EOF-DOE=BOC-AOB ODFOAC DOF=AOC如图，在如图，在ABC中，中，1=2=3求证：求证：ABCDEF同理：ACB=DEF 证明：DEF=ABE+1ABC=ABE+21=2 ABC=DEF ABCDEFABHFGEDCACDCDACADABHFGEDC已知：如图，三个大小一样的正方形拼成矩形。已知：如图，三个大小一样的正方形拼成矩形。求证：求证：（1）ACDECA（2）12390证明：（1）设小正方形的边长为1由图和勾股定理知：ACDECACD=1CE=2 ACDECA（2）由图知：145由（1）知：ACDECA2=CAE2CAE=3123903212.AOD=902.AOD=90，OA=OB=BC=CDOA=OB=BC=CD，则下列结，则下列结论中错误的是（论中错误的是（）A.BCA.BC：AB=AB=ABAB：BD BD B.BCB.BC：AB=CDAB=CD：ACACC.BAC=C.BAC=ADB ADB D.D.ACB=ACB=BADBADB BPACDB如图，点如图，点C、D在线段在线段AB上，且上，且PCD是等边三角形，是等边三角形，且且APB=120（1）找出图中所有相似的三角形）找出图中所有相似的三角形解：（1）在等边PCD中中PCD=PDC=CPD60CP=DP=CDPCA=PDB=120APCABP(2)求证:CD2=AC DB APB=120PCA=PDB=APB=120 A=A B=BPBDABPPBDABPAPCPACDB如图，点如图，点C、D在线段在线段AB上，且上，且PCD是等边三角形，是等边三角形，且且APB=120（1）找出图中所有相似的三角形）找出图中所有相似的三角形证明：由（1）知CP=DP=CD(2)求证:CD2=AC DBPBDAPC即 CD2=AC DB PACDB如图点如图点C、D在在ABP的边的边AB上上,PC=PD,APB=105CPD=30找出图中所有相似的三角形找出图中所有相似的三角形解：（1）在等边PCD中中PCD=PDCPC=PDA+APC=PCD=75 BAPBPD APB=105APC+BPD=APB-APB=75 A=BPD B=B同理:BAPPACBPDBAPPACCPD=30PACDB如图，点如图，点C、D在线段在线段AB上，且上，且PCD是等边三角形，是等边三角形，（1）当）当AC、CD、DB满足怎样的关系时满足怎样的关系时ACPPDB（2）当）当ACPPDB时，求时，求APB的度数的度数解：（1）在等边PCD中中PCD=PDC=CPD60CP=DP=CDPCA=PDB=120ACPPDB即 CD2=AC DB 时，ACPPDBPACDB如图，点如图，点C、D在线段在线段AB上，且上，且PCD是等边三角形，是等边三角形，（1）当）当AC、CD、DB满足怎样的关系时满足怎样的关系时ACPPDB（2）当）当ACPPDB时，求时，求APB的度数的度数A=BPD ACPPDB解：（2）由（1）知：）知：PCD=CPD=60APC+BPD=A+APC=PCD=60APB=APC+BPD+CPD=PCD+CPD=120已知：如图，在ABC中，C=90,正方形DEFG的顶点D、E分别在AC、BC上，边GF在AB上，试说明：GF2=AGBF_G_F_C_E_B_A_D证明：在正方形DEFG中中DGF=EFG=90DG=GF=EFAGD=BFE=90A+ADG=DGF=90 C=90在RtACB中中 A+B=90ADG=BADGEBF即 GF2=AG BF DG=GF=EF如图，正方形如图，正方形ABCD的边长为的边长为8，E是是AB的中点，的中点，点点M，N分别在分别在BC，CD上，且上，且CM=2，则当，则当CN=_时，时，CMN与与ADE形状相同。形状相同。EABCDMN1或或4ABEDCMN解：当解：当CN=2时，时，AD：CN=AE：CM=2：1CMNADE如图正方形边长是如图正方形边长是8 8，BE=CEBE=CE，MN=1MN=1。线段线段MNMN的两端在的两端在CDCD、ADAD上滑动，当上滑动，当DMDM为多长为多长时，时，ABEABE与以与以D D、M M、N N为顶点的三角形相似。为顶点的三角形相似。NMABCDENABCDEM解：当解：当CN=1时，时，AD：CM=AE：CN=2：1CMNADEBP2=PC2=PEPF证明：证明：连接PC，AB=AC中线AD所在直线是此等腰三角形的对称轴.ABP=ACPPB=PC又CFABCFP=ABP=ACP又CPF为两个三角形的公共角CPEFPCABC是等腰三角形如右图所示，在ABC中，AB=AC,AD是边BC的中线，P为AD上一点，CFAB，BP的延长线分别交AC,CF于点E,F，求证：BP2=PEPF例例2：已知如图，在：已知如图，在ABC中，中，AD是是BAC的的平分线，平分线，EFAD于点于点F，AFFD。求证：求证：DE2BECE证明：连结证明：连结AEDCEBAFDE2BECEEFAD，AF=FDAEDEADEDAEBADCADAD是是BAC的平分线的平分线BADE-BADCAEDAE-CADBCAE又又BEACEAACEBAE即即AE2BECEAE：BECE：AE4.如右图所示，E是矩形ABCD的边BC上一点，EF AE，EF分别交AC、CD于点M、F，BG AC，垂足为G，BG交AE于点H。（1）求证：ABE ECF（2）找出与ABH相似的三角形，并证明（3）若E是BC的中点，BC2AB，AB2，求EM的长证明：在证明：在矩形ABCD中，BAE=CEFAEBCEF=180180-AEF =9090在RtABE中B=ECF90 EF AEAEF90ABCDEFAEBBAE=9090ABE ECF4.如右图所示，E是矩形ABCD的边BC上一点，EF AE，EF分别交AC、CD于点M、F，BG AC，垂足为G，BG交AE于点H。（2）找出与ABH相似的三角形，并证明（3）若E是BC的中点，BC2AB，AB2，求EM的长解：解：ABH EMC 理由为：由（1）知：BAE=CEF在RtAGB中AGB90 BG ACABCDEFABGBAC=9090ABH EMCMHG在RtABC中ACBBAC=9090ABG=ACB4.如右图所示，E是矩形ABCD的边BC上一点，EF AE，EF分别交AC、CD于点M、F，BG AC，垂足为G，BG交AE于点H。（3）若E是BC的中点，BC2AB，AB2，求EM的长ABCDECEM ADMM在RtDCE中解：如图解：如图在在矩形ABCD中，BC2AB，AB2,E是BC的中点BCD90 ADBC AB=CD AD=BC ADBCAD=2AB=4例例1.1.如如图图，C C是是以以ABAB为为直直径径的的O O上上一一点点，过过O O作作OE AC于点E，过点A作O O的的切切线线交交OEOE的的延延长长线于点线于点F F，连接，连接CFCF并延长交并延长交BABA的延长线于点的延长线于点P P（1 1）求证：）求证：PCPC是是O O的切线的切线PABCFEO解：如图解：如图 连接连接OCOC OEACOAF90AE=CECF=AF OC=OA OF=OF AF是O O的切线的切线OCF OAFOCF90PCPC是是O O的切线的切线OCF=OAF例1.如图，C是以AB为直径的O上一点，过O作OE AC于点E，过点A作O的切线交OE的延长线于点F，连接CF并延长交BA的延长线于点PPABCFEO解：由（解：由（1 1）知）知 PCPC、AFAF是是O O的切线的切线PCOPCOPAFPAF9090 APFAPFCPOCPOAPF CPO在RtPCO中 若将上图中的垂直改为斜交，如图6.5-10，ABCD，AD、BC相交于点E，过点E作EFAB，交BD于点F，则 还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由.3.如图6.5-9，已知ABBD，CDBD，垂足分别为B、D，AD和BC 相交于点E，EFBD，垂足为F，我们可证明 成立（不要求证明）.ABFECDABFECD.若将上图中的垂直改为斜交，如图6.5-10，ABCD，AD、BC相交于点E，过点E作EFAB，交BD于点F，则 还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由.ABFECD解：结论成立.理由如下CDEF.DEF DABBEF BCDABEF9.9.已知已知,ABCD,ABCDEF，（1）图中有几对相似的三角形？）图中有几对相似的三角形？（2）线段）线段AB、CD与与EF有怎样的等量关系？有怎样的等量关系？FABCDE(3)若AB=8cm,CD=12cm,求EF的长（2）请找出）请找出SABD、SBED、SBDC间的关系式，并间的关系式，并给出证明过程。给出证明过程。MNK例例5 如图，如图，ABCABC中，中，C=90C=90，AC=10AC=10，BC=24BC=24，点，点D D在在ACAC上运动（不运动至点上运动（不运动至点A A），），过点过点D D作作DEDEABAB，设，设AD=xAD=x，AE=yAE=y。（。（1 1）求）求y y关于关于x x的函数关系式和自变量的取值范的函数关系式和自变量的取值范围；（围；（2 2）若点）若点D D运动到运动到ACAC上有某个位置时，上有某个位置时，ADAD、AEAE的长的长恰好是一元二次方程恰好是一元二次方程 的两个根，求的两个根，求DE的的长和长和a的值。的值。CDABE解：DEABAED90C=90C=90AEDC CDAE=BACADE ABC在RtACB中AC=10AC=10，BC=24BC=24例例5 如图，如图，ABCABC中，中，C=90C=90，AC=10AC=10，BC=24BC=24，点，点D D在在ACAC上运动（不运动至点上运动（不运动至点A A），），过点过点D D作作DEDEABAB，设，设AD=xAD=x，AE=yAE=y。（。（2 2）若点）若点D D运动到运动到ACAC上有某个位置时，上有某个位置时，ADAD、AEAE的长恰好是一元二次方程的长恰好是一元二次方程 的两个根，求的两个根，求DE的长和的长和a的值。的值。CDABE解：由（1）知ADE ABCAD+AE=6APBCMDNEDE=10 xCM=BC-BM=12-12xBM=12x PMAB MNBC AD=10四边形PMCN是平行四边形 如图所示，在梯形ABCD中，ABCD，且AB=2CD，E，F分别是AB，BC的中点，EF与BD相交于点M（1）求证：EDMFBM（2）若DB=9，求BM ，（1）证明：E是AB中点 AB=2BE又AB=2CD CD=EB又ABCD四边形CBED是平行四边形CBDEDEM=BFM EDM=FBMEDMFBMEDMFBM（2）DM=2BM F是BC中点 DE=BC=2FB DB=9如右图所示,四边形ABCD是平行四边形,点E在边BA的延长线上,CE交AD于点F,ECA=D.求证:ACBE=CEAD.,.又,又ECA=D,CAF=DAC,AFCACD,ACBE=CEAD.证明：四边形ABCD是平行四边形AFBCAECDAFEDFCNMQPEDCBAPNBC APN ABCAEAD=PNBC因此因此 ，得，得 x=48（毫米）。答：（毫米）。答：-。80 x80=x1206.如图，如图，ABC是一块锐角三角形余料，是一块锐角三角形余料，边边BC=120毫毫米，高米，高AD=80毫米，要把它加毫米，要把它加工成正方形零件，使正方工成正方形零件，使正方形的一边在形的一边在BC上，上，其余两个顶点分别在其余两个顶点分别在AB、AC上，这上，这个正方个正方形零件的边长是多少？形零件的边长是多少？解：设正方形解：设正方形PQMN是符合要求的是符合要求的ABC的高的高AD与与PN相交于点相交于点E。设正方形。设正方形PQMN的边长的边长为为x毫米。毫米。AD=80BC=120DE=PQ=xAE=80-x6.如图，如图，ABC是一块直角三角形余料，是一块直角三角形余料，直角边直角边AB=1.5米，面为米，面为1.5平方米，要把它加平方米，要把它加工成一个面积最大的正方工成一个面积最大的正方形零件，小明打算按图形零件，小明打算按图进行加工进行加工,小华准备按图小华准备按图进行进行加工加工,他们谁的加工方案符合要求他们谁的加工方案符合要求ABCDEF(1)BACGFEDH(2)ADE ABC在正方形在正方形BDEF中中DEBC 设正方形设正方形BDEF的边长为的边长为x米。米。AB=1.5米米BC=2米米DE=BD=x米米AD=(1.5-x)米米ABCDEF(1)此时此时正方形正方形BDEF的边长为的边长为米。米。解：解：如图如图在在RtABC中中AB=1.5米米S1.5平方平方 BC=2米米BDE BAC在正方形在正方形DGFE中中DEBC 设正方形设正方形DGFE的边长为的边长为y米。米。AC=2.5米米BH=1.2米米HM=DG=y米米BM=(1.2-y)米米(2)此时此时正方形正方形BDEF的边长为的边长为米。米。解：解：如图如图在在RtABC中中AB=1.5米米S1.5平方平方 BC=2米米BACGFEDHBH=1.2米米小明小明按图按图进行加工进行加工,符合要求符合要求15.如图，如图，ABC是一块锐角三角形余料，边是一块锐角三角形余料，边BC=120毫毫米，高米，高AD=80毫米，要把它加工成矩形零件，使矩形的毫米，要把它加工成矩形零件，使矩形的一边在一边在BC上，其余两个顶点分别在上，其余两个顶点分别在AB，AC上，上，NMQPEDCBA（2）设）设y,PQ=x,确定确定y与与x的函数关系？的函数关系？(3)当当x为何值时，矩形的面积最大为何值时，矩形的面积最大？(1)ABCAPN成立吗？试说明理由；成立吗？试说明理由；解：解：ABCAPN成立成立 APN ABC在矩形在矩形PQMN中中PNQM15.如图，如图，ABC是一块锐角三角形余料，边是一块锐角三角形余料，边BC=120毫毫米，高米，高AD=80毫米，要把它加工成矩形零件，使矩形的毫米，要把它加工成矩形零件，使矩形的一边在一边在BC上，其余两个顶点分别在上，其余两个顶点分别在AB，AC上，上，NMQPEDCBA（2）设）设y,PQ=x,确定确定y与与x的函数关系？的函数关系？(3)当当x为何值时，矩形的面积最大为何值时，矩形的面积最大？ABC的高的高AD与与PN相交于点相交于点E。由（由（1）知）知APN ABCAD=80BC=120PN=yDE=PQ=xAE=80-x15.如图，如图，ABC是一块锐角三角形余料，边是一块锐角三角形余料，边BC=120毫毫米，高米，高AD=80毫米，要把它加工成矩形零件，使矩形的毫米，要把它加工成矩形零件，使矩形的一边在一边在BC上，其余两个顶点分别在上，其余两个顶点分别在AB，AC上，上，NMQPEDCBA(3)当当x为何值时，矩形的面积最大为何值时，矩形的面积最大？矩形的面积最大，矩形的面积最大，最大面积为最大面积为2400平方毫米平方毫米15.如图，某学校计划在一块形状为锐角三角形如图，某学校计划在一块形状为锐角三角形ABC的的空地空地进进行生行生态环态环境改造。已知境改造。已知ABC的的BC边长边长120米，高米，高AD长长80米，米，学校计划将它分割成学校计划将它分割成AHG、BHE、GFC和矩形和矩形EFGH四部分（如图）其中矩形四部分（如图）其中矩形EFGH的的一边一边EF在边在边BC上其中两个顶点上其中两个顶点H、G分别在边分别在边AB、AC上现计划在上现计划在AHG上种草，每平方米投资上种草，每平方米投资6元在元在BHE、GFC上都种