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混沌系统理论混沌系统理论1979年年12月，洛月，洛伦兹在在华盛盛顿的美国科学促的美国科学促进会的一次会的一次演演讲中提出：一只南美洲的蝴蝶，偶中提出：一只南美洲的蝴蝶，偶尔扇扇动几下翅膀，在两几下翅膀，在两周以后可以引起美国德克周以后可以引起美国德克萨斯州的一斯州的一场龙卷卷风。蝴蝶效蝴蝶效应此效此效此效此效应说应说明，事物明，事物明，事物明，事物发发展的展的展的展的结结果，果，果，果，对对初始条件具有极初始条件具有极初始条件具有极初始条件具有极为为敏感的敏感的敏感的敏感的依依依依赖赖性，初始条件的极小偏差，性，初始条件的极小偏差，性，初始条件的极小偏差，性，初始条件的极小偏差，将会引起将会引起将会引起将会引起结结果的极大差异，甚至果的极大差异，甚至果的极大差异，甚至果的极大差异，甚至会呈会呈会呈会呈现现一种混沌状一种混沌状一种混沌状一种混沌状态态。有科学家称之有科学家称之为为混沌学混沌学。混沌的定混沌的定义混沌理混沌理论是系是系统从有序突然从有序突然变为无序状无序状态的一种演化的一种演化理理论，是，是对确定性系确定性系统中出中出现的内在的内在“随机随机过程程”形成形成的途径、机制的研的途径、机制的研讨。科学家科学家给混沌下的定混沌下的定义混沌混沌 是指是指发生在确定性系生在确定性系统中的，貌似随机的不中的，貌似随机的不规则运运动，一个确定性理，一个确定性理论描述的系描述的系统，其行，其行为却表却表现为不不确定性，不可重复、不可确定性，不可重复、不可预测，这就是混沌就是混沌现象。混沌象。混沌是非是非线性性动力系力系统的固有特性，是非的固有特性，是非线性系性系统普遍存在普遍存在的的现象。象。混沌系混沌系统理理论 典型系典型系统 对初初值的敏感依的敏感依赖性性 确定性随机性确定性随机性 长期行期行为的不可的不可预见性性 混沌序：貌似无序的高混沌序：貌似无序的高级有序性有序性 通向混沌的道路通向混沌的道路 他他组织混沌混沌 分形几何与奇怪吸引子分形几何与奇怪吸引子 非周期定非周期定态混混混混沌沌沌沌的的的的特特特特点点点点所所谓典型系典型系统，一是能，一是能鲜明地表明地表现出混沌的主要出混沌的主要特征，二是数学模型特征，二是数学模型简单，容易，容易处理。理。典型系典型系统 Logistic Equation：在离散系在离散系统中，通常取中，通常取逻辑斯蒂方程斯蒂方程为典型系典型系统。虫口模型虫口模型逻逻辑辑斯斯蒂蒂方方程程在在生生态态学学中中的的应应用用是是无无世世代代交交叠叠的的虫虫口口系系统统，x x为为状状态态变变量量，a a或或 为为控控制制变变量量。方方程程给给出出第第n n代代虫虫口口数数与与第第n+1n+1代代虫虫口口数数的的确确定定性性关关系系。0 x10 x1，0a40a4它它经经常常被被用用来来描描述述没没有有世世代代交交叠叠的的昆昆虫虫群群体体的的繁繁殖殖演演化化，称称为为虫虫口口模模型型。a a为为控控制制参参数数，虫虫口口数数x x为为状状态态变变量量，x xn n为为第第n n代代虫虫口口数数，虫虫口口模模型型给给出出第第n n代代虫虫口口与与第第n+1n+1代代虫虫口口的的关关系系，知知道道n n代代虫虫口口就就可可以以按按逻辑斯蒂方程计算第逻辑斯蒂方程计算第n+1n+1代虫口。代虫口。虫口模型虫口模型横轴横轴a a为控制空间，纵轴为控制空间，纵轴x x为相空间，共同形成为相空间，共同形成2 2维的乘积空间，维的乘积空间，axax平面。平面。0aa0aa 为系统的为系统的周期区，周期区，a a a 4a 4为系统的混沌区为系统的混沌区。=104=3洛洛伦兹方程方程 在在连续系系统中，通常以洛中，通常以洛伦兹方程方程为为典型系典型系统。Lorentz Equation:这是一个三是一个三维系系统，x、y、z为状状态变量，量，、r、b为控控制参量。制参量。洛洛伦伦兹兹利利用用流流体体力力学学中中的的纳纳维维叶叶-斯斯托托克克斯斯(Navier-StokesNavier-Stokes)方方程程、热热传传导导方方程程和和连连续续性性方方程程，处处理理贝贝耐耐特特对对流流，推推导导出出描描述述大大气气对对流流的的微微分分方方程程，即即著著名的洛名的洛伦兹伦兹方程。方程。x-对流的翻动速率 y-比例于上流与下流液体之间的温差 z-是垂直方向的温度梯度 s-s-无量纲因子 b-速度阻尼常数 r-相对瑞利数 r=R/RC。洛洛伦兹方程方程在在在在r r 较较小小小小的的的的情情情情况况况况下下下下，系系系系统统是是是是稳稳定定定定的的的的，随随随随着着着着的的的的r r 增增增增加加加加，系系系系统统趋趋于于于于复复复复杂杂，出出出出现现不不不不稳稳定定定定的的的的极极极极限限限限环环，在在在在r r=28=28时时达达达达到到到到混混混混沌沌沌沌状状状状态态。所所所所以以以以，=10 10，b b=8/3 8/3，r r=28 28 时时利利利利用用用用MatlabMatlab编编程，得到下程，得到下程，得到下程，得到下图图：混沌的数学定混沌的数学定义定定义义：令令 为为区区间间 到到自自身身的的连连续续映映射射，如如果果满满足足以以下下条件条件（1 1）的周期点的周期无上界的周期点的周期无上界（2 2）存在）存在 的不可数子集的不可数子集 ,满足满足a.a.对于任何对于任何 ，当，当 时有（时有（）b.b.对于任何对于任何 ，有（，有（）则称则称 描述的系统为混沌系统，描述的系统为混沌系统，为为 的混沌集。的混沌集。分形几何分形几何分分形形几几何何理理论论诞诞生生于于2020世世纪纪7070年年代代中中期期，创创始始人人是是美美国国数数学学家家-曼曼德德布布罗罗特特(B.B.Mandelbrot)(B.B.Mandelbrot)，他他19821982年年出出 版版的的大大自自然然的的分分形形几几何何学学 (The The Fractal Fractal Geometry Geometry of of NatureNature)是是这这一一学科经典之作。学科经典之作。“上帝的指纹上帝的指纹”混沌理混沌理论的特征的特征分形几何理论诞生于分形几何理论诞生于2020世纪世纪7070年代中期，创始人是美国数学家年代中期，创始人是美国数学家-曼德布罗特曼德布罗特(B.B.Mandelbrot)(B.B.Mandelbrot)，他，他19821982年出年出 版的版的大自然的分形几大自然的分形几何学何学(The Fractal Geometry of NatureThe Fractal Geometry of Nature)是这一学科经典之作。是这一学科经典之作。康托尔三分集谢尔宾斯基地毯分形花分形项链分形树分形山分分维的概念的概念1.1.整数维（拓扑维或传统的维数整数维（拓扑维或传统的维数整数维（拓扑维或传统的维数整数维（拓扑维或传统的维数 ）a.a.点点点点 零维零维零维零维 b.b.线线线线 一维一维一维一维 c.c.面面面面 二维二维二维二维 d.d.体体体体 三维三维三维三维 2.2.分数维分数维分数维分数维 现现现现在在在在我我我我们们们们从从从从测测测测量量量量的的的的角角角角度度度度引引引引入入入入了了了了维维维维数数数数概概概概念念念念，将将将将维维维维数从整数扩大到分数。即：数从整数扩大到分数。即：数从整数扩大到分数。即：数从整数扩大到分数。即：如果某如果某图图形是由把原形是由把原图缩图缩小小为为1/1/的相的相似的个似的个图图形所形所组组成，有：成，有：=D DD D即即维维数数 D=logD=log/loglog其中：其中：其中：其中：为线度的放大倍数为线度的放大倍数为线度的放大倍数为线度的放大倍数 为为为为“体积体积体积体积”的放大倍数的放大倍数的放大倍数的放大倍数 分分维的概念的概念由于这样定义的维数由于这样定义的维数由于这样定义的维数由于这样定义的维数D D D D是一个分式所得出的比值，因此人们称之为是一个分式所得出的比值，因此人们称之为是一个分式所得出的比值，因此人们称之为是一个分式所得出的比值，因此人们称之为分数维分数维分数维分数维。柯尔莫戈洛夫柯尔莫戈洛夫柯尔莫戈洛夫柯尔莫戈洛夫(Kolmogorov(Kolmogorov)曾给分维这样定义：曾给分维这样定义：曾给分维这样定义：曾给分维这样定义：对于对于对于对于d d 维空间中的一个小集合维空间中的一个小集合维空间中的一个小集合维空间中的一个小集合E E，我们可以用一些直径我们可以用一些直径我们可以用一些直径我们可以用一些直径r r的的的的d d 维小球去覆盖它，如果完全覆盖所需的小球数目的最小值为维小球去覆盖它，如果完全覆盖所需的小球数目的最小值为维小球去覆盖它，如果完全覆盖所需的小球数目的最小值为维小球去覆盖它，如果完全覆盖所需的小球数目的最小值为N(r)N(r),则该子集的柯尔莫戈洛夫容量维为：则该子集的柯尔莫戈洛夫容量维为：则该子集的柯尔莫戈洛夫容量维为：则该子集的柯尔莫戈洛夫容量维为：或或或或 一般地，我们就把这样定义的容量维叫做一般地，我们就把这样定义的容量维叫做一般地，我们就把这样定义的容量维叫做一般地，我们就把这样定义的容量维叫做豪斯道夫豪斯道夫豪斯道夫豪斯道夫维数维数维数维数，把豪斯道夫维数是分数的物体称为分形，把此，把豪斯道夫维数是分数的物体称为分形，把此，把豪斯道夫维数是分数的物体称为分形，把此，把豪斯道夫维数是分数的物体称为分形，把此时的时的时的时的D D 值称为该分形的值称为该分形的值称为该分形的值称为该分形的分形维数分形维数分形维数分形维数，简称，简称，简称，简称分维分维分维分维。也有人。也有人。也有人。也有人把该维数称为把该维数称为把该维数称为把该维数称为分数维分数维分数维分数维。容量容量维奇怪吸引子奇怪吸引子奇奇怪怪吸吸引引子子又又叫叫分分形形吸吸引引子子，因因为它它们都都是是相相空空间的的分分形形点点集集，不不能能用用传统的的规则几几何何图形形表表示示。一一个个耗耗散散系系统统的的相相空空间间当当时时间间趋趋于于无无穷穷大大时时，如如果果收收缩缩到到一一个个非非整整数数维维的的点点集集，这这就就是是一一个个奇奇怪吸引子。怪吸引子。1、埃侬吸引子、埃侬吸引子 取取参参数数 m m 1.41.4，b b0.30.3（即即 b b 1 1 的的耗耗散散体体系系），进进行行计计算算，结结果果显显示示在在(x x,y y)相相平平面面上上。此此吸吸引引子子的的分分维维D D。=1.26=1.26 奇怪吸引子奇怪吸引子2 2、洛伦兹吸引子、洛伦兹吸引子 在在洛洛伦伦兹兹方方程程中中，取取参参数数 s s =10=10，b b=8/38/3，随随参参数数 r r 增增加加，出出现现一一次新分岔霍夫分岔，平衡点次新分岔霍夫分岔，平衡点 C C1 1 与与 C C2 2 将失将失稳发稳发展成展成为为奇怪吸引子。奇怪吸引子。取取 r r=28=28 时计时计算的算的结结果如下果如下。它的容量维。它的容量维D D。=2.06=2.06非周期定非周期定态混沌的特点混沌的特点l在奇怪吸引子上的运在奇怪吸引子上的运动是系是系统的一种的一种稳定定定定态行行为。l在奇怪吸引子上的运在奇怪吸引子上的运动具有回具有回归性，但性，但混沌的回混沌的回归性是不性是不严格的，是非周期的。格的，是非周期的。l非周期运非周期运动也可能是定也可能是定态行行为，非周期，非周期定定态未必都是混沌。未必都是混沌。回归性回归性周期性周期性非周期性非周期性准周期性准周期性严格的周期性严格的周期性混沌式非周期混沌式非周期非混沌式非周期非混沌式非周期非线性回归非线性回归非线性回归非线性回归完备分类完备分类完备分类完备分类 混沌的特点混沌的特点 对初始条件的敏感依初始条件的敏感依赖性性这是混沌系是混沌系统的典型特征。意思是的典型特征。意思是说，初始条件的微小差初始条件的微小差别会在最后的会在最后的现象中象中产生极大的差生极大的差别，或者，或者说，起初小的，起初小的误差可能会引起灾差可能会引起灾难性后果。性后果。在生活中，人在生活中，人们知道一串事件往往具有一个知道一串事件往往具有一个临界点，那界点，那里小小的里小小的变化会被放大化会被放大.l 在天气在天气这个系个系统中，中，对初始条件的敏感依初始条件的敏感依赖性乃性乃是各种大小尺度的运是各种大小尺度的运动互相互相纠缠所不能逃避的后果。所不能逃避的后果。因此，因此，洛洛洛洛伦兹伦兹断言：断言：长期期预报注定要失注定要失败。因。因为信息信息在在传递的的过程中，有一种放大作用。程中，有一种放大作用。一一则西方寓言：西方寓言：丢失一个失一个钉子，坏了一只蹄子，坏了一只蹄铁；坏了一只蹄坏了一只蹄铁，折了一匹，折了一匹战马；折了一匹折了一匹战马，伤了一位了一位骑士；士；伤了一位了一位骑士，士，输了一了一场战斗；斗；输了一了一场战斗，亡了一个帝国。斗，亡了一个帝国。马蹄蹄铁上一个上一个钉子是否会子是否会丢失，本是初始条失，本是初始条件的十分微小的件的十分微小的变化，但其化，但其“长长期期期期”效效应却是却是一个帝国存与亡的根本差一个帝国存与亡的根本差别。这就是就是军事和政治事和政治领域中所域中所谓的的 蝴蝶效蝴蝶效应。u一切混沌系一切混沌系统都呈都呈现出出类似随机运似随机运动的特点，或者干脆的特点，或者干脆说混沌是一混沌是一类随随机运机运动。混沌的特点混沌的特点u但混沌运但混沌运动的随机性与第七章的随机性与第七章讲的随机性有原的随机性有原则的不同。混沌是确定性系的不同。混沌是确定性系统的内在随机性，一的内在随机性，一种自种自发随机性，或随机性，或动力学随机性。力学随机性。u定定义：混沌是一种确定性随机性，即确定性系：混沌是一种确定性随机性，即确定性系统内在内在产生的随机性生的随机性 确定性随机性确定性随机性长期行期行为的不可的不可预见性性混沌的特点混沌的特点由于其内在非由于其内在非线性机制造成性机制造成对初初值的敏感的敏感依依赖性，混沌系性，混沌系统的的长期行期行为是不可是不可预测的。的。任何任何实际系系统的初始条件都不可能的初始条件都不可能绝对精确精确地确定，地确定，误差是不可避免的。差是不可避免的。混沌是由确定性系混沌是由确定性系统产生的，它的短期行生的，它的短期行为是可以是可以预测的。的。只要系只要系统处于混沌区，我于混沌区，我们就无法就无法对它的它的长期行期行为作出作出预测，但是混沌运，但是混沌运动并非并非绝对不可不可预测。实际上，混沌学研究从另一方面增加了人上，混沌学研究从另一方面增加了人们的的预见能力。能力。貌似无序的高貌似无序的高级有序性有序性混沌的特点混沌的特点l混沌混沌现象象给人人们的第一印象往往是混乱的第一印象往往是混乱 不不堪，毫无堪，毫无规则，但混沌不等于混乱，是一种，但混沌不等于混乱，是一种貌似无序的复貌似无序的复杂有序。有序。l混沌混沌绝不是不是简单地无序，而是被无序掩盖地无序，而是被无序掩盖着的高着的高级有序，貌似无序的复有序，貌似无序的复杂有序，有人有序，有人称其称其为混沌序。混沌序。倒分叉倒分叉倒分叉倒分叉周期窗口周期窗口周期窗口周期窗口自相似自相似层次次嵌套嵌套结构构普适性普适性普适性普适性普适性普适性逻辑斯蒂方程的有序性逻辑斯蒂方程的有序性通向混沌的道路倍周期分叉道路准周期道路阵发道路1平衡态两点周期四点周期无限倍周期凝聚混沌2平衡态周期运动准周期运动混沌3当动态系统演化到进入狭窄通道时表现为近似的规则运动，走出通道则表现为非周期的随机运动，总体看表现为一阵周期一阵混沌，最后完全转变为混沌。不是不是简单地模仿他地模仿他组织作用，而是依据自身特点作用，而是依据自身特点对他他组织作用作用加以吸收、加以吸收、变换、改造，、改造，创造具有自己特色的运造具有自己特色的运动体制，外来作用与体制，外来作用与自身特性相自身特性相结合，合，创造有自己特色的造有自己特色的结构、机制和行构、机制和行为模式，是非模式，是非线性系性系统的固有特性。的固有特性。他他组织混沌混沌非非周周期期回回归归性性 他他组织混沌混沌范德坡方程在周期性外力作用下呈范德坡方程在周期性外力作用下呈现随机行为。强迫布鲁塞尔器也可现随机行为。强迫布鲁塞尔器也可能出现混沌，郝柏林做出了详细讨能出现混沌，郝柏林做出了详细讨论，发现它的奇怪吸引子。还有许论，发现它的奇怪吸引子。还有许多他组织系统的混沌运动也得到研多他组织系统的混沌运动也得到研究。这些事实表明，混沌同样是非究。这些事实表明，混沌同样是非线性他组织系统的通有行为。线性他组织系统的通有行为。混沌的混沌的发现和混沌学的建立，同相和混沌学的建立，同相对论和量子和量子论一一样，是，是对牛牛顿确定性确定性经典理典理论的重大突破，的重大突破，为人人类观察物察物质世界打开了一个新的窗口。世界打开了一个新的窗口。总结总结混沌理混沌理论在在发展展过程中程中为我我们生活中很多不可以直接生活中很多不可以直接看出来的事情做出了合适的解看出来的事情做出了合适的解释，未来，未来还有更多的有更多的发展展前景和目前景和目标，其，其发展会很快的影响整个世界的展会很快的影响整个世界的变化，指化，指导我我们的生活的生活实际。Thank You!谢谢！