《空间向量在立体几何中的应用》教学设计.doc

《空间向量在立体几何中的应用》教学设计
一.教学目标
（一）知识与技能
1.理解并会用空间向量求线线角、线面角、二面角的余弦值；
2.理解并会用空间向量解决平行与垂直问题.
（二）过程与方法
1.体验用空间向量求线线角、线面角、二面角的余弦值的过程；
2.体验用空间向量解决平行与垂直问题的过程．
（三）情感态度与价值观
1.通过理解并用空间向量求线线角、线面角、二面角的余弦值，用空间向量解决平行与垂直问题的过程，让学生体会几何问题代数化，领悟解析几何的思想；
2.培养学生向量的代数运算推理能力；
3.培养学生理解、运用知识的能力．
二.教学重、难点
重点：用空间向量求线线角、线面角、二面角的余弦值及解决平行与垂直问题．
难点：用空间向量求二面角的余弦值．
三.教学方法：情景教学法、启发式教学法、练习法和讲授法．
四.教学用具：电脑、投影仪．
五.教学设计
（一）新课导入
1.提问学生：
（1）怎样找空间中线线角、线面角和二面角的平面角？
（2）能否用代数运算来解决平行与垂直问题？
（二）新课学习
1.用空间向量求线线角、线面角、二面角的余弦值.
（1）设是两条异面直线，是上的任意两点，是直线上的任意两点，则所成的角的余弦值为.
（2）设是平面的斜线，且是斜线在平面内的射影，则斜线与平面所成的角的余弦值为.设是平面的法向量，是平面的一条斜线，则与平面所成的角的余弦值为.
（3）设是二面角的面的法向量，则就是二面角的平面角或补角的余弦值.

A
B
C
D
E
F
G

x
y
z
例1：在棱长为的正方体中，分别是的中点，
（1）求直线所成角的余弦值.
（2）求直线与平面所成的角的余弦值.
（3）求平面与平面所成的角的余弦值.

分析：启发学生找出三条两两垂直的直线AB,AD,AA´，建立空间直角坐标系A-xyz，根据已知找出相关点的坐标，然后写出相关向量的坐标，并进行运算就可以得到所求的结果.
解：（1）如图建立坐标系，则.
.
.
故所成的角的余弦值为.
（2）所以在平面内的射影在的平分线上，又为菱形，为的平分线，故直线与平面所成的角为，建立如图所示坐标系，则，，.
故与平面所成角的余弦值为.
（3）由,所以平面的法向量为,下面求平面的法向量，设，由，，.
.
所以，平面与平面所成的角的余弦值为.
课堂练习：
A
B
C
P
D
E
x
y
z
1.如图，，，求二面角的余弦值.

参考答案：
解：建立如图所示空间直角坐标系，取的中点，连可证，作于，则向量的夹角的大小为二面角的大小。，为的中点，
，在中，.
，
，，.
二面角的余弦值为.
引导学生归纳：
用空间向量求二面角的余弦值时，是将求二面角的余弦值问题转化为求两平面的法向量的夹角的余弦值问题，这里要明确：
（1）当法向量的方向分别指向二面角内侧与外侧时，二面角的大小等于法向量的夹角的大小；
（2）当法向量的方向同时指向二面角的内侧或外侧时，二面角的大小等于法向量的夹角的补角.

2.利用向量向量解决平行与垂直问题.

例2：如图, 在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AA1＝4，,点D是AB的中点， （I）求证：AC⊥BC1； （II）求证：A1C //平面CDB1.

分析：启发学生找出三条两两垂直的直线CA,CB,CC1，建立空间直角坐标系C-xyz，根据已知找出相关点的坐标，然后写出相关向量的坐标，并进行运算就可以得到两条直线垂直或平行.

解：∵直三棱柱ABC－A1B1C1底面三边长AC＝3，BC＝4，AB＝5，∴AC、BC、C1C两两垂直，如图，以C为坐标原点，直线CA、CB、C1C分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，则C（0,0，0），A（3,0，0），C1（0,0，4），B（0,4，0），B1（0,4，4），D（，2,0）
（1）∵＝（－3,0，0），＝（0，－4,0），∴•＝0，∴AC⊥BC1.
（2）设CB1与C1B的交战为E，则E（0,2，2）.∵＝（－，0,2），＝（－3,0，4∴，∴DE∥AC1. ∵ DE平面CDB1，AC1平面CDB1.∴ AC1//平面CDB1.

引导学生归纳：
（1）垂直问题转化为：判定空间向量的数量积是否为零；
（2）

平行问题转化为：面面平行线面平行线线平行.

课堂练习：
2.在直三棱柱中，,
（1）求证（2）在上是否存在点使得
C
A
B
x
D

y
Z

（3）在上是否存在点使得.

参考答案：
解：直三棱柱，两两垂直，以为坐标原点，直线分别为轴轴，轴，建立空间直角坐标系，
则，.
（1），
.
（2）假设在上存在点，使得，则
其中，则，于是由于，且.
所以得，所以在上存在点使得，且这时点与点重合.
（3）假设在上存在点使得，则其中则，又
由于，，所以存在实数成立，所以，所以在上存在点使得，且使的中点.

引导学生感悟：
空间向量有一套良好的运算性质，它可以把几何图形的性质转化为向量运算，实现了数与形的结合，在解决立体几何的夹角、平行与垂直等问题中体现出巨大的优越性.

（二）课外作业
A
B
C
A1
B1
C1
M
1.如图, 在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ACB=90°，CB=1,CA=, AA1=,M为侧棱CC1上一点, ．
（1）求证: AM^平面；
（2）求二面角B－AM－C的大小；

2.如图，直三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的中点，AA1＝AC＝CB＝.
(1)证明：BC1∥平面A1CD；
(2)求二面角D－A1C－E的正弦值．

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