向量的概念和基本运算.doc

完整版)向量的概念和基本运算
第六章 平面向量、复数
考试内容:
1．平面向量
向量．向量的加法与减法．实数与向量的积．平面向量的坐标表示．
线段的定比分点．平面向量的数量积．平面两点间的距离、平移．
2。复数
　　复数的概念．
　　复数的加法和减法．
　　复数的乘法和除法．
　　数系的扩充．

考试要求：
1．平面向量
(1）理解向量的概念,掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念．
　　（2）掌握向量的加法和减法．
　　（3）掌握实数与向量的积，理解两个向量共线的充要条件．
　　(4)了解平面向量的基本定理,理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算．
　　（5）掌握平面向量的数量积及其几何意义，了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题，掌握向量垂直的条件．
　　（6）掌握平面两点间的距离公式，以及线段的定比分点和中点坐标公式,并且能熟练运用．掌握平移公式．
2.复数
　　（1）了解复数的有关概念及复数的代数表示和几何意义．
　　（2）掌握复数代数形式的运算法则，能进行复数代数形式的加法、减法、乘法、除法运算．
　　（3）了解从自然数系列复数系的关系及扩充的基本思想．

g3。1053 向量的概念和基本运算
一、知识回顾
1.向量的概念
(1)向量的基本要素：大小和方向。(2)向量的表示：几何表示法 ；字母表示：a；
坐标表示法 a＝ｘｉ＋ｙj＝（ｘ，ｙ）。
（3)向量的长度：即向量的大小,记作｜a|。
（4)特殊的向量:零向量a＝O｜a｜＝O.
单位向量：aO为单位向量｜aO｜＝1.
(5)相等的向量：大小相等,方向相同(ｘ1，ｙ1)＝(ｘ2，ｙ2)
（6） 相反向量：a=—bb=-aa+b=0
(7）平行向量（共线向量）：方向相同或相反的向量，称为平行向量.记作a∥b.平行向量也称为共线向量.
2.向量的运算
运算类型
几何方法
坐标方法
运算性质
向量的
加法
1.平行四边形法则
2.三角形法则

向量的
减法
三角形法则

，
数
乘
向
量
1。是一个向量,满足:
2。>0时，同向；
〈0时，异向;
=0时,.

向
量
的
数
量
积
是一个数
1。时,
.
2.

3.重要定理、公式
（1）平面向量基本定理
e1，e2是同一平面内两个不共线的向量，那么，对于这个平面内任一向量,有且仅有一对实数λ1，
λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2。
（2）两个向量平行的充要条件
a∥ba＝λb(b≠0)x1y2－x2y1＝O。
（3）两个向量垂直的充要条件
a⊥ba·b＝Ox1x2＋y1y2＝O。
4)线段的定比分点公式
设点P分有向线段所成的比为λ,即＝λ,则
＝＋ （线段的定比分点的向量公式)
（线段定比分点的坐标公式)
当λ＝1时,得中点公式：
＝（＋）或
(5）平移公式
设点P(x，y）按向量a＝（ｈ，ｋ)平移后得到点P′（x′，y′），
则＝+a或
曲线y＝f(x）按向量a＝（ｈ,ｋ）平移后所得的曲线的函数解析式为：y－ｋ＝f(x－ｈ）
二、 基本训练
1．已知分别是的边上的中线,且,则为 （ ）
A。 B. C。 D。
2．已知，则是三点构成三角形的　　　(　　）
A。 充分不必要条件B。 必要不充分条件
C。 充要条件D.既不充分也不必要条件
3.若 （ )
A。 B. C. D.
4.设,则C、D的坐标分别是 （ )
A。 B. C. D.
5.已知,若，则。
6.对平面内任意的四点A,B,C，D，则.
7．若的方向相反，且
8．化简：
（1）_____________。
（2)______________。
（3)_______
9。（04年上海卷。理6）已知点,若向量与同向, =，则点B的坐标为.
10．判断下列命题是否正确
（1)若，则.
（2）两个向量相等的充要条件是它们的起点相同,终点相同。
（3）若，则是平行四边形。
（4）若是平行四边形，则。
(5）若，则。
(6)若,则。
三、例题分析
例1．已知是内的一点，若,求证：是的重心.
例2．已知，,,且，求x。 4
例3．是梯形,且，分别是和的中点，设，试用表示和
例4．已知，（如图），求证:A、B、C三点在一直线上的充要条件是存在不全为0的实数l、m、n使得.
A
B
C
O

例5在水流速度为的河中，如果要使船的速度行驶方向与两岸垂直，并使船速达到12，求船的航行速度与方向。
四、作业 同步练习 g3.1053 向量的概念和基本运算
1．下面给出四个命题：①对于实数m和向量，恒有
②对于实数m、n和向量，恒有
③若
④若,则m=n 其中正确的命题个数是 （ ）
A、1 B、2 C、3 D、4
2．在平行四边形中，若，则必有 ( )
A。 B。 C。 是矩形 D。 是正方形
3．已知，则的取值范围是 （ )

A。 ［3,8] B. （3，8） C. [3，13］ D. （3，13）
4。（04年浙江卷.文4)已知向量且,则=（ ）.
A．B. C. D.
5．下列命题中，正确的是( )
A. 若，则 B. 若，则C。 若，则 D。 若，则
6．下列说法中错误的是（ ）
A。向量的长度与向量的长度相等　B.任一非零向量都可以平行移动
C.长度不等且方向相反的两个向量不一定是共线向量 D.两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同。
7。若三点共线，则 （ ）
A. B. 3 C。 D. 51
8.已知正方形ABCD的边长为1，，则的模等于 （ ）
A。0 B。3 C。 D。2
9. (05全国卷III）已知向量，且A、B、C三点共线,则
10.（05湖北卷)已知向量不超过5，则k的取值范围是
11.（05广东卷)已知向量，，且，则x为_____________．
12．分别是的边的中点，且给出下列命题
①②③④
其中正确的序号是_________。
13．若,则__________。
14．两列火车，先各从一站台沿相反方向开出，走了相同的路程，这两列火车位移的和是______。
15．已知不共线，，当______时,共线.
16、证明：始点在同一点的向量的终点在同直线上。
17．如图,是以向量为边的平行四边形,又，试用表示。

A
C
B
O
18、如图,已知的夹角为1200，的夹角为300，用.
答案：
基本训练：1、B　　2、B　　3、B 4、A
5、 6、 7、8、（1） 　 （2） 　　 (3）9、
10、(1）×　　（2）×　　(3)×　　（4)√　　（5）√　　（6）×
例题分析：例1、略 例2、4
例3、,
例4、略
例5、沿水流方向且与河岸夹角为的方向行驶,速度为
作业：1—8、DCCABC
7、k=8、［－6,2]9、4 10、①②③④11、
12、13、　　　　14、略
15、，，
16、